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2011年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅰ卷 一、选择题 1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? A. ? 2i B. ?i C. i 【测量目标】复数的基本概念以及四则运算. 【考查方式】给出复数及共轭复数直接运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B
2

( ) D. 2i

【试题解析】 z z ? z ? 1 ? z ? z ? 1 ? 2 ? ?1 ? i ? ? 1 ? ?i . 2.函数 y ? 2 x ( x …0) 的反函数为 ( ) B. y ?

x ( x ? R) 4 C. y ? 4x2 ( x ? R)
A. y ?

2

x ( x …0) 4 D. y ? 4 x2 ( x …0)

2

【测量目标】反函数的定义. 【考查方式】已知函数的表达式直接求反函数. 【参考答案】B

y2 【试题解析】由原函数反解得 x ? ,又原函数的值域为 y …0 ,所以函数 y ? 2 x ( x …0) 4

x2 ( x …0) . 的反函数为 y ? 4
3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b D. a ? b 【测量目标】充分、必要条件,不等式比较大小. 【考查方式】结合不等式比较大小判断充分、必要条件 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】即寻找命题 P ,使 P ? a ? b ,且 a ? b 推不出 P ,逐项验证知可选 A.
2 2 3 3





4.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ? ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 【测量目标】等差数列的通项、前 n 项和及性质. 【考查方式】解法一:直接利用前 n 项和公式计算. 解法二:利用前 n 项和的公式及性质. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】 解法一: S k ? 2 ? S k ? [(k ? 2) ?1 ?

解得 k ? 5 . 解法二: Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? [1 ? (k ? 1) ? 2] ? (1 ? k ? 2) ? 4k ? 4 ? 24 ,解得 k ? 5 . 5.设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移

(k ? 2)(k ? 1) k (k ? 1) ? 2] ? [k ?1 ? ? 2] ? 4k ? 4 ? 24 , 2 2

π 个单位长度后,所得的图 3

象与原图象重合, 则 ? 的最小值等于 A.

( ) C. 6 D. 9

1 3

B. 3

【测量目标】三角函数的周期性,三角函数图象的平移变换. 【考查方式】给出三角函数,图象平移,结合三角函数的周期性求值. 【参考答案】C

π (k ? Z) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 . ? 3 6.已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂 足. 若 AB ? 2, AC ? BD ? 1, 则 D 到平面 ABC 的距离等于 ( )
【试题解析】由题意得



?k ?

A.

2 3

B.

3 3

C.

6 3

D.1

【测量目标】空间内点到平面的距离,二面角. 【考查方式】给出两个平面,结合直二面角,利用等面积法求值. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【 试 题 解 析 】 如 图 , 过 D 作 DE ? BC , 垂 足 为 E , 因 为 ? ? l ? ? 是 直 二 面 角 ,

AC ? l ,∴ AC ? 平面 ? , ∴ AC ? DE , BC ? DE , AC I BC ? C ,∴ DE ? 平面 ABC , 故 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离.在 Rt ?BCD 中,
由等面积法得 DE ?

BD ? CD 1? 2 6 . ? ? BC 3 3

第 6 题图 7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本, 则不同的赠送方法共有 ( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 【测量目标】排列、组合的应用. 【考查方式】给出条件采用分类计数原理,分步计数原理进行简单的排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】B
1 【试题解析】分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 4 种; 2 二是取出 2 本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 6 种.故赠送方法共有 10 种.

8.曲线 y ? e A.

?2 x

1 3

? 1在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围 成的三角形的面积为 ( ) 1 2 B. C. D.1 2 3

【测量目标】导数的几何意义,三角形面积公式. 【考查方式】利用导数求切线方程,结合三角形面积公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A

【试题解析】 y? ? ?2e?2 x , ∴曲线 y ? e?2 x ? 1在点(0,2)处的切线的斜率 k ? ?2, 故切线方程 是 y ? ?2 x ? 2 ,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、 (

2 2 1 2 1 , ),∴三角形的面积是 S ? ? 1? ? . 3 3 2 3 3 5 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) ? 2 1 1 C. D. 4 2
( )

9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 剟x

1 A.2

1 B. ? 4

【测量目标】函数的周期性,奇偶性. 【考查方式】给出函数,利用函数的周期性、奇偶性,进而求值. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【 试 题 解 析 】 由 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 利 用 周 期 性 和 奇 偶 性 得 :

5 5 1 1 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ? (1 ? ) ? ? . 2 2 2 2 2 2 2 2 10. 已 知 抛 物 线 C : y ? 4x 的 焦 点 为 F , 直 线 y ? 2 x ? 4 与 C 交 于 A , B 两 点 . 则 c o s?AFB ? ( ) 4 3 3 4 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 5
【测量目标】直线与抛物线的位置关系,余弦定理. 【考查方式】给出抛物线和直线的方程,结合其位置关系,利用余弦定理求值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】联立 ?

? y2 ? 4x ? y ? 2x ? 4

消去 y 得 x ? 5x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1, x ? 4 ,不妨设 A 点在 x
2

轴的上方,于是 A , B 两点的坐标分别为(4,4), ?1, ?2? ,又 F (1, 0) ,可求得 AB ? 3 5,

AF ? 5, BF ? 2 .在 △ABF 中,由余弦定理 cos ?AFB ?
?

AF 2 ? BF 2 ? AB 2 4 ?? . 2 ? AF ? BF 5

11.已知平面 ? 截一球面得圆 M , 过圆心 M 且与 ? 成 60 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N . 若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 π ,则圆 N 的面积为 ( ) A.7 π B.9 π C.11 π D.13 π 【测量目标】二面角,球的性质. 【考查方式】结合图象,在空间里构造特殊三角形,利用勾股定理等知识求解三角形,进而 求面积. 【难易程度】较难 【参考答案】D 【试题解析】如图所示 , 由圆 M 的面积为 4 π 知球心 O 到圆 M 的距离 OM ? 2 3 , 在

Rt△OMN 中, ?OMN ? 30? ,
∴ ON ?

1 OM ? 3 ,故圆 N 的半径 r ? R2 ? ON 2 ? 13 , 2

∴圆 N 的面积为 S ? πr ? 13π .
2

第 11 题图 12.设向量 a , b , c 满足 a ? b ? 1 , a gb ? ? 于

1 , a ? c,b ? c ? 60? ,则 | c | 的最大值等 2
( )

A.2 B. 3 C. 2 D.1 【测量目标】平面向量的数量积运算,向量的线性运算,圆的性质. 【考查方式】给出向量,结合四点共圆的条件, ,利用平面向量的数量积运算,加、减法运 算求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】如图,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c ,则 ?BAD ? 120? , ?BCD ? 60? ,

uu u r

uuu r

uuu r

?BAD ? ?BCD ? 180? ,∴ A, B, C , D 四点共圆,当 AC 为圆的直径时, | c | 最大,最大
值为 2.

第 12 题图 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷 注意事项: 1 答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目. 2 第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答, 在试题卷上作答无效. 3 第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上(注意:在试 .. 卷上作答无效 ) ...... 13. (1 ? x )20 的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为 【测量目标】二项式定理. 【考查方式】给出二项式,利用二项式展开式的通项公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】0
9

.

r r r r 18 【试题解析】由 Tr ?1 ? C20 (? x ) ? (?1) C20 x 2 得 x 的系数为 C 2 20 , x 的系数为 C 20 , 而
9

r

9 2 C18 20 = C 20 ,所以 x 的系数与 x 的系数之差为 0.

14.已知 ? ? ( , π ) , sin ? ?

π 2

5 ,则 tan 2? ? 5

.

【测量目标】同角三角函数的基本关系,二倍角的正切公式. 【考查方式】给出正弦值,利用二倍角的正切公式求值. 【难易程度】容易 【参考答案】 ?

4 3

【试题解析】由 ? ? ( , π ) , sin ? ? ∴ tan 2? ?

π 2

sin ? 1 2 5 5 ?? , 得 cos ? ? ? ,故 tan ? ? cos ? 2 5 5

2 tan ? 4 ?? . 2 1 ? tan ? 3

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为(2, 9 27 0), AM 为 ?F . 1 AF2 的平分线.则 | AF 2 |?
C: 15.已知 F 1 、 F2 分别为双曲线
【测量目标】三角形的内角平分线定理,双曲线的定义和性质. 【考查方式】给出了双曲线,利用角平分线定理和双曲线的第一定义求值. 【难易程度】中等 【参考答案】6 【试题解析】 Q AM 为 ?F 1 AF2 的平分线, ∴

| AF2 | | MF2 | 4 1 ∴ | AF ? ? ? 1 |? 2 | AF 2 | (步骤 1) | AF1 | | MF1 | 8 2

又点 A ? C , 由双曲线的第一定义得 | AF (步 1 | ? | AF 2 |? 2 | AF 2 | ? | AF 2 |?| AF 2 |? 2a ? 6 . 骤 2) 16.己知点 E 、 F 分 别 在 正 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 棱 BB1 、 CC1 上 , 且

B1E ? 2EB, CF ? 2FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于
【测量目标】二面角. 【考查方式】结合正方体的结构,作辅助线找出二面角,进而求值. 【难易程度】中等 【参考答案】

.

2 3

【试题解析】延长 FE 交 CB 的延长线于 G ,连结 AG ,则 AG 为面 AEF 与面 ABC 的交线, 由 B1E ? 2EB, CF ? 2FC1 得 CF ? 2 BE ,∴ B 为 GC 中点. (步骤 1) 设正方体的棱长为 1,则 AG ? AC ?
2 2 2

2 ,又 GC ? 2 ,
?

∴ AC ? AG ? GC ∴ ?CAG ? 90 (步骤 2)

Q FC ? 平面 ABC ,∴ FA ? AG ∴ ?CAF 是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 ,
2 CF 2 ? 3 ? 在 Rt△ACF 中, tan ?CAF ? ,故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切 AC 3 2

值等于

2 .(步骤 3) 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

△ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 A ? C ? 90? , a ? c ? 2b ,求 C .
【测量目标】正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式. 【考查方式】给出三角形,利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式求解角. 【难易程度】容易 【试题解析】由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得: (步骤 1) sin A ? sin C ? 2 sin B ? o 又由 A ? C ? 90 , B ? 180 ? ( A ? C) ,故

cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C)
= 2 sin(90? ? 2C) = 2 cos 2C (步骤 2)

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2 cos(45? ? C) ? cos 2C ? ? 因为 0 ? C ? 9 0, ? 所以 2C ? 4 5? C , C ? 15? (步骤 3)
18.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ) X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望. 【测量目标】独立事件的概率、互斥与对立事件的概率及二项分布的数学期望. 【考查方式】利用独立事件的概率公式求解概率,利用二项分布的数学期望公式求期望. 【难易程度】容易 【试题解析】记 A 表示事件: 该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件: 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲 种保险; C 表示事件: 该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种; D 表示事件: 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (I) P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.3 , C ? A ? B (步骤 1)

P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8
(Ⅱ) D ? C , P( D) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2

(步骤 2)

X : B(100, 0.2) ,即 X 服从二项分布, (步骤 3) ? 0 .?2 .2 0 所以期望 EX ? 1 0 0 (步骤 4)
19.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (Ⅰ)证明: SD ? 平面 SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

第 19 题图 【测量目标】线面垂直的证明,线面角的计算,空间坐标系的应用. 【考查方式】解法一:通过作辅助线证明线面垂直,平移找线面夹角,在三角形中求角的大 小.解法二:空间向量坐标的应用. 【难易程度】中等 【试题解析】 解法一: (Ⅰ) 取 AB 中点 E ,连结 DE ,则四边形 BCDE 为矩形, DE ? CB ? 2 ,连结 SE ,则

SE ? AB , SE ? 3 . 2 2 2 又 SD ? 1 ,故 ED ? SE ? SD ,所以 ?DSE 直角. (步骤 1) 由 AB ? DE , AB ? SE , DE I SE ? E ,得 AB ? 平面 SDE , 所以 AB ? SD . SD 与两条相交直线 AB 、 SE 都垂直. 所以 SD ? 平面 SAB . (步骤 2)
另解:由已知易求得 SD ? 1, AD ? 5, SA ? 2 , 于是 SA ? SD ? AD ,可知 SD ? SA , 同理可得 SD ? SB ,又 SA I SB ? S .所以 SD ? 平面 SAB . (Ⅱ)由 AB ? 平面 SDE 知,平面 ABCD ? 平面 SDE .
2 2
2

作 SF ? DE ,垂足为 F ,则 SF ? 平面 ABCD , SF ?

作 FG ? BC ,垂足为 G ,则 FG ? DC ? 1 . 连结 SG .则 SG ? BC . 又 BC ? FG, SG I FG ? G ,故 BC ? 平面 SFG ,平面 SBC ? 平面 SFG .(步骤 1) 作 FH ? SG , H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC .

SD ? SE 3 . ? DE 2

21 SF ? FG 3 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 . ? 7 SG 7 由于 ED ? BC ,所以 ED ? 平面 SBC ,

FH ?

E 到平面 SBC 的距离 d 也为

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

21 . 7

d 21 21 ? , ? ? arcsin . (步骤 2) EB 7 7

第 19 题图 解法二: 以 C 为原点,射线 CD 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz . 设 D(1, 0, 0) ,则 A(2, 2,0) 、 B(0, 2, 0) . 又设 S ( x, y, z ) ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 . (Ⅰ) AS ? ( x ? 2, y ? 2, z), BS ? ( x, y ? 2, z), DS ? ( x ?1, y, z) ,
2 2 2 由 | AS |?| BS | 得 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? z ?

uur

uu r

uu u r

uur

uu r

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ,

故 x ?1. 由 | DS |? 1 得 y 2 ? z 2 ? 1, 又由 | BS |? 2 得 x2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4 ,

uu u r

uu r

1 3 . (步骤 1) ,z ? 2 2 r 1 3 uur 3 3 uur 3 3 uuu 1 3 于是 S (1, , ), AS ? (?1, ? , ), BS ? (1, ? , ), DS ? (0, , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 uu u r uur uu u r uu r DS gAS ? 0, DS gBS ? 0 . 故 DS ? AS , DS ? BS ,又 AS I BS ? S , 所以 SD ? 平面 SAB . (步骤 2) SBC (Ⅱ)设平面 的法向量 a ? (m, n, p) , uu r uur uu r uur 则 a ? BS , a ? CB, agBS ? 0, ag CB ? 0 . uur 3 3 uur 又 BS ? (1, ? , ), CB ? (0, 2, 0) , 2 2 ? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? (步骤 3) 2 2 ? 2n ? 0 ? uu u r 取 p ? 2 得 a ? (? 3,0, 2) ,又 AB ? (?2,0,0), uuu r uuu r AB ga 21 cos ? AB, a ?? uuu r ? . 7 | AB |g |a|
即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ,故 y ? 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

21 . 7

(步骤 4)

第 19 题图 20.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (I)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1 .
k ?1

【测量目标】等差数列的定义及其通项公式,用裂项相消法求和. 【考查方式】利用等差数列的定义求数列通项,用裂项相消法求和,进而证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】 (Ⅰ)由题设 即 {

1 1 ? ? 1, 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 是公差为 1 的等差数列. (步骤 1) } 1? a n 1 1 又 =1 ,故 =n . 1? a n 1? a1 1 所以 an ? 1 ? (n ? N? ) (步骤 2) n
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

1 1 n ?1 ? n , ? ? n n ?1 n ? 1g n n n n 1 1 1 Sn ? ? bk ? ? ( ? ) ? 1? ? 1 (步骤 3) k k ?1 n ?1 k ?1 k ?1

bn ?

1 ? an?1

?

21.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

y2 ? 1在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 2 uur uu u r uu u r ? 2 的直线 l 与 C 交与 A 、 B 两点,点 P 满 足 OA ? OB ? OP ? 0 . (I)证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一圆上.
已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x ?
2

第 21 题图 【测量目标】平面向量在平面几何中等的应用,圆锥曲线的综合应用. 【考查方式】 根据给出的椭圆方程和直线方程的关系,利用坐标向量,及四点共圆的性质 证明. 【难易程度】中等

y2 ? 1并化简得 【试题解析】 (I) F (0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 ,代入 x ? 2
2

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), P( x3 , y3 ) ,
则 x1 ?

(步骤 1)

2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2 2 由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ? , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1, 2 2 所以点 P 的坐标为 ( ? , ?1) . 2 y2 2 ? 1, 经验证点 P 的坐标 ( ? , ?1) 满足方程 x 2 ? 2 2 故点 P 在椭圆 C 上 (步骤 2) 2 2 (II)由 P ( ? , ?1) 和题设知, Q ( ,1) , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 2 2 2 ① y?? x. 2 2 1 设 AB 的中点为 M ,则 M ( , ) , AB 的垂直平分线 l2 的方程为 4 2 2 1 ② y? x? . 2 4 2 1 由①、②得 l1 、 l2 的交点为 N (? (步骤 3) , ). 8 8

2 2 2 1 3 11 , ? ) ? (?1 ? )2 ? 2 8 8 8 3 2 , | AB |? 1 ? (? 2) 2 g | x2 ? x1 |? 2 3 2 , | AM |? 4 | NP |? (? 2 2 2 1 1 2 3 3 , ? ) ?( ? ) ? 4 8 2 8 8 3 11 | NA |? | AM |2 ? | MN |2 ? , 8 | NP |?| NA | , 故 | NP |?| NQ | , | NA |?| NB | , 又 | NA |?| NP |?| NB |?| NQ | , 所以 A 由此知 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心, NA 为半径的圆上. (步骤 4) | MN |? (
22.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... (I)设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; x?2

(II)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式 连续抽取 20

次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证 明: p ? (

9 19 1 ) ? 2 10 e

【测量目标】利用导数解决不等式问题. 【考查方式】将导数、概率与不等式结合,利用导数解决问题. 【难易程度】较难 【试题解析】

x2 (步骤 1) ( x ? 1)( x ? 2)2 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 为增函数, 又 f (0) ? 0 ,因此当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 (步骤 2) 100 ? 99 ? 98 ? L ? 81 (II) p ? . 10020 2 2 2 又 99 ? 81 ? 90 ,98 ? 82 ? 90 ,L 91? 89 ? 90 , 9 19 所以 p ? ( ) .由(I)知: 10 2x 当 x>0 时, ln(1 ? x ) ? x?2 2 因此 (1 ? ) ln(1 ? x) ? 2 . x 1 10 10 ? 2 ,即 ( )19 ? e 2 . 在上式中,令 x ? ,则 19 ln 9 9 9 9 19 1 所以 p ? ( ) ? 2 (步骤 3) 10 e
(I) f ?( x) ?


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