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河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三第二次质量考评 数学(文)


中原名校 2017—2018 学年第二次质量考评 高三数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?? x, y ?

? ?

? x2 y 2 ? ? 1? , B ? 4 3 ?
C.3 D.4
2

?? x, y ? y ? 3 ? ,则 A I
x

B 的子集的个数是(



A.1

B.2
2

i 为虚数单位) 2. 已知复数 z1 ? x ? x ? i , ( x? R, , 若 z1 ? z2 ? 0 , 则 x 的值是 ( z2 ? ?2 ? x i
A. ? 1 B. ?1 C.1 D. ?2



3.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? ? ? A. ? 2 B. ?1
2

? ?log 2 ? 4 ? x ? , x ? 0 ,则 f ? 3? ? ( f x ? 1 ? f x ? 2 , x ? 0 ? ? ? ? ? ?
D.2



C.1

4.已知函数 f ? x ? ? 2ax ? 4 ? a ? 3? x ? 5 在区间 ? ??,3? 上是减函数,则 a 的取值范围是( A. ? 0,



? ?

3? ? 4?

B. ? 0, ? 4

? ?

3? ?

C. ?0,

? 3? ? ? 4?

D. ?0, ? 4 )

? 3? ? ?

2 5.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负实根的充要条件是(

A. a ? 1 6.函数 f ? x ? ?

B. a ? 1

C. 0 ? a ? 1 )

D. 0 ? a ? 1 或 a ? 0

log 2 x 的大致图象是( x

A.

B.

C.

D.

·1·

7. 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? , 满足 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? , 当 x ? ?1 0 , ( ) B. e ? 1 C. 1 ? e

? 则f? ? ,f ? x? ? ex ?1 ,

2023 ? ?? ? 2 ?

A. 1 ? e

D. e ? 1

8.直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相交于两点 A , B ,线段 AB 的中点为 a 2 b2


M ?1,1? ,则椭圆的离心率是(
A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 4


9.已知函数 f ? x ? ? 2 f ? ?1? ln x ? x ,则 f ? x ? 的极大值为( A.2 B. 2 ln 2 ? 2 C. e D. 2 ? e

2 10.若方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一个根在区间 ? 0,1? 内,另一根在区间 ?1, 2 ? 内,则

b?3 的取值范围 a?2

是(

) B. ?1, ? 2

A. ? ,1?

?2 ? ?5 ?

? 5? ? ?

C. ?1,

? 5? ? ? 2?

D. ?

?2 ? ,1? ?5 ?

11.一棱长为 6 的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方 体的外接球的表面积是( A. 4? B. 6? ) C. 12? D. 24?

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? 12.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? ? ? ,且 f ? x ? 1? ? f ? x ?1? ,若 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 ? ? ? ? 2x ? 3 g ? x? ? ,则方程 g ? x ? ? f ? x ? 在区间 ? ?1,5? 上所有实根之和为( ) x?2

A.3

B.4

C.5

D.6

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知 f ? x ?

? x ? 1? ?

? a sin x (a?R ) ,则 f ? ?2? ? f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ? 2? ? . x ?1
2

2

·2·

14.已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D? , AB ? 3 , AA? ? AD ? 4 ,则 B 到平面 AB?C 的距离是. 15.直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于两不同点 A , B .其中 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,若 y1 y2 ? ?36 ,则 直线 l 恒过点的坐标是. 16.已知函数 f ? x ? ? e ? 2ax 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是.
x

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. )
17. 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 已知 cos C ? cos A ? 3 sin A cos B ? 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围. 18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的 100 位居民调查结果统计如下: 支持 年龄不大于 50 岁 年龄大于 50 岁 合计 (1)根据已有数据,把表格数据填写完整; (2)能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关? (3)已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性,其中 2 位是女教师,现从这 5 名女性 中随机抽取 3 人,求至多有 1 位女教师的概率. 10 70 100 不支持 合计 80

?

?

n ? ad ? bc ? 附: K ? ,n ? a?b?c?d ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k

19.在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ CD , ?PAD 是等边三角形,已知

AD ? 2 , BD ? 2 3 , AB ? 2CD ? 4 .
(1)设 M 是 PC 上一点,求证:平面 MBD ? 平面 PAD . (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

·3·

3 x2 y 2 20.已知椭圆 D : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的短轴长为 2,离心率是 . a b 2
(1)求椭圆 D 的方程; (2)点 E ? 0,2? ,轨迹 D 上的点 A , B 满足 EA ? ? EB ,求实数 ? 的取值范围.
2 2 21.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

uu r

uur

?

?

(1)若 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线是 3x ? y ? 4 ? 0 ,求实数 a 的值;
?1 (2)当 a ? 0 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 有且仅有一个零点,若此时 x ? ? ?e , e ? ? , g ? x? ? m 恒

成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 1? t ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ?16cos? ? 0 , ? y ? 3 ? 2t

直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,点 P ?1,3? . (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求

1 1 ? 的值. PA PB

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 2 . (1)若存在 x 使不等式 a ? f ? x ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围; (2)若不等式 a ?

4 ? f ? x ? ? 0 对任意正数 a 恒成立,求实数 x 的取值范围. a

·4·

中原名校 2017—2018 学年第二次质量考评 高三数学(文)参考答案 一、选择题
1-5:DBADA 6-10:CCABD 11、12:BC

二、填空题
13.5 14.

6 34 17

15. ? 9, 0 ?

16. ?

?e ? , ?? ? ?2 ?

三、解答题
17.解: (1) cos C ? cos A ? 3 sin A cos B ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? cos ? A ? B ? ? 0 化简得 sin B ? 3 cos B 所以 B ?

?

?

?
3

(2)由正弦定理

a c b 2 3 ? ? ? b sin A sin C sin B 3

所以 1 ? a ? c ?

2 3 b ? sin A ? sin C ? 3

b?

?? 3 ? 2? ? ? ? A ? ? 3 sin ? A ? ? , sin A ? sin C ? sin A ? sin ? 6? 2 ? sin A ? sin C ? ? 3 ? ?

0? A?

? ? ?1 ? 2? ? ,∴ sin ? A ? ? ? ? ,1? , 3 6? ?2 ? ?
·5·



1 ? b ?1 2

综上: b 的取值范围是 ? ,1? 18.解: (1)

?1 ? ?2 ?

n ? ad ? bc ? 100 ? ? 200 ? 600 ? ? (2) K ? ? 4.762 ? 3.841 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? 80 ? 20 ? 30 ? 70
2

2

2

所以能在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. (3)记 5 人为 abcde ,其中 ab 表示教师,从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是:

abc , abd , abe , acd , ace , ade , bcd , bce , bde , cde 共 10 个,其中至多 1 为教师有 7
个基本事件: acd , ace , ade , bcd , bce , bde , cde 所以所求概率是

7 . 10

19.解: (1)在三角形 ABD 中由勾股定理 AD ? BD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD ? AD 所以 BD ? 平面 PAD 又 BD ? 平面 BDM . 所以平面 MBD ? 平面 PAD .

·6·

(2)取 AD 中点为 O ,则 PO 是四棱锥的高

PO ? 3
底面 ABCD 的面积是三角形 ABD 面积的

3 ,即 3 3 2

所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 ? 3 3 ? 3 ? 3

1 3

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a ? 2 , b ? 1, c ? 3 设 20.解: (1)由已知 ?b ? 1 ? ?c ? 3 ? 2 ?a
D 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4
1 或 3. 3

(2)过 E ? 0,2? 的直线若斜率不存在,则 ? ? 设直线斜率 k 存在 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? 2 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
?? ? 0, ?1? ? ? x ? x ? ?16k , ? 2 ? ? 1 2 1 ? 4k 2 则? ? x x ? 12 , ? 3? ? 1 2 1 ? 4k 2 ?x ? ? x , 4 2 ? ? ? 1

? 12 ? ?16k ? ? ? 由(2) (4)解得 x1 , x2 代入(3)式得 2 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k 2
化简得

2

? 3 ? 1 ? ? ? 2 ? 4? 2 ? ?1 ? ? ? 64 ? k
3 代入上式右端得 4

2 由(1) ? ? 0 解得 k ?

3 ? 1 ? ? 2 16 ?1 ? ? ? 4
·7·

解得

1 ?? ?3 3

综上实数 ? 的取值范围是 ? ,3? . ?3 ?
2 2 21.解: (1) f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 , (x ? 0)

?1 ?

?

?

f ? ? x ? ? ? 2x ? 2? ln x ? x ? 2 ? 2ax
由已知 f ? ?1? ? ?1 ? 2a ? ?3 ,∴ a ? ?1
2 2 (2)由已知 g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? x ? 0 ( x ? 0 )

?

?

即方程 ? x ? 2? ln x ? ax ?1 ? 0 ( x ? 0 )有唯一的实数根 所以 a ?

1 ? ? x ? 2 ? ln x (x ? 0) x 1 ? ? x ? 2 ? ln x ( x ? 0 )的图象有唯一的交点 x

即直线 y ? a 与函数 y ?

构造函数 h ? x ? ?

1 ? ? x ? 2 ? ln x 1 2 ln x ? ? ln x ? (x ? 0) x x x

1 ? x ? 2 ln x (x ? 0) x2 2 令 y ? 1 ? x ? 2ln x , y? ? ?1 ? ? 0 , y ? x h? ? x ? ?
而 x ? 1 , y ? 0 ∴ h? ?1? ? 0 ; 0 ? x ? 1 , y ? 0 , h? ? x ? ? 0 ; x ? 1 , y ? 0 , h? ? x ? ? 0 ∴ 0 ? x ? 1 , h ? x ? ? ; x ? 1 , h ? x ? ? 且 x ? 0 , h ? x ? ? ?? ; x ??? , h ? x ? ? ?? 所以 a ? h ?1? ? 1
2 2 ?1 已知可化为 m ? g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ( e ? x ? e )的最小值

?

?

g? ? x ? ? ? x ?1?? 2ln x ? 3? ( e?1 ? x ? e )
?1 所以 g ? x ? 在 e ,1 上减,在 ?1, e ? 上增

?

?

所以 m ? g ? x ?max ? g ?1? ? 0
·8·

综上实数 m 的取值范围是 ? ??,0? 22.解: (1)直线 l 的普通方程 y ? 2 x ? 1 曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? 16 x

? 5 t ?x ? 1? ? 5 (2)直线的参数方程改写为 ? 代入 y 2 ? 16 x ?y ? 3? 2 5 t ? 5 ?

4 2 4 5 35 t ? t ? 7 ? 0 ,∴ t1 ? t2 ? 5 , t1t2 ? ? , 4 5 5
t ?t 1 1 8 10 ? ? 1 2 ? PA PB t1t2 35
23.解: (1) f ? x ? ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? 3 已知等价于 a ? f ? x ?min ? 3 所以实数 a 的取值范围 ? 3, ??? (2) a ? 0 , a ?

4 ? 4 ( a ? 2 取等号) a

已知可化为 f ? x ? ? ? a ?

? ?

4? ? ?4 a ?min
5 3 ?x? . 2 2

所以 x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ? 因此实数 x 的取值范围 ? ?

? 5 3? , . ? 2 2? ?
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·9·


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