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数列放缩法技巧


数列放缩法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性 和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各 类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的 结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1.(1)求 ?
k

?1 n

2 4k ? 1
2

的值;

(2)求证: ?

1 5 ? . 2 3 k ?1 k

n

解析:(1)因为

2 4n 2 ? 1

?

n 2 1 2n 2 1 1 ,所以 ? 2 ? 1? ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1

(2)因为

1 1 4 1 ? ? 1 ? ? 2 ? 2? ? ?, 2 1 4n ? 1 n ? 2n ? 1 2n ? 1 ? n2 ? 4

所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5
1 4 4 1 ? ? 1 ? 2? 2 ? 2? ? ? 2 n 4n 4n ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
1 2 1 1 ? ? ? 2 C Cn (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 n ?1

技巧积累:(1)

(2)

r (3) Tr ?1 ? C n ?

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? r ? ? ? ? (r ? 2) r r!(n ? r )! n r! r (r ? 1) r ? 1 r n

1 1 1 1 5 ? ??? ? (4) (1 ? ) n ? 1 ? 1 ? n 2 ?1 3 ? 2 n(n ? 1) 2
(5)
1 1 1 ? n ? n n 2 (2 ? 1) 2 ? 1 2
n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2

(7) 2( n ? 1 ? n ) ?

1 n

? 2( n ? n ? 1)

(8) ?

1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ?? n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?

1

(10)

n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !
2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

(11) 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?
n

(12)
2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? n (n ? 2) n 2 n n n n n n ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

(13)

1 n3

?

1 n ? n2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) ? ? n(n ? 1) ? n ?1 ? n ?1
1 1 ? n ?1 n ?1
n n

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

(14) 2

n ?1

2n 1 2n ? 2 ? 2 ? (3 ? 1) ? 2 ? 3 ? 3(2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? n ? 3 2 ?1 3
n n n

(15)

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !
1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ? ? i? j i2 ? 1 ? j2 ?1 ?1

(16)

(17)

j 2 ? 1)

例 2.(1)求证: 1 ?

1 1 1 7 1 ? 2 ??? ? ? (n ? 2) 2 2 6 2(2n ? 1) 3 5 (2n ? 1)

(2)求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? ? 4 16 36 2 4n 4n

(3)求证:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
1 2 ? 1 3 ??? 1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

2

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? (2n ? 1)

所以

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 1 ? ) 4 16 36 4 4 n 4n 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1
,再结合

(3)先运用分式放缩法证明出
1 n?2

? n ? 2 ? n 进行

裂项,最后就可以得到答案 (4)首先
1 n ? 2( n ? 1 ? n ) ? 1 2 1 3 2 n ?1 ? n ??? 1 n

,所以容易经过裂项得到

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

?

再证

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

而由均值不等式

知道这是显然成立的,所以 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 n2 ? 1 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? ,所以 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

解析:一方面:因为

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

另一方面: 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 n ? ??? 2 ? 1? ? ??? ? 1? ? 4 9 n 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1
6n 1 1 1 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n (n ? 1)(2n ? 1)
3

当 n ? 3 时, n ?
n ?1

当 n ? 2 时,

6n 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
例 4.(2008 年全国一卷) 设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列

?an ? 满足 0 ? a

1

? 1. an?1 ? f (an ) .

1) ,整数 k ≥ 设 b ? (a1,

a1 ? b .证明: ak ?1 a1 ln b

?b.
m

解析:由数学归纳法可以证明

?an ? 是递增数列,故存在正整数 m ? k ,使 a
k

? b ,则

ak ?1 ? ak ? b ,否则若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1 知
am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
m ?1

因为 ? am ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1
m ?1

k

? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b
m m

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,
m m

求证: n

m ?1

? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.
n

解析:首先可以证明: (1 ? x) ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要
k ?1 n

证n
n

m ?1

? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:
? (k ? 1)m?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m?1 ? 1 ? (n ? 1) m?1 ? n m?1 ? n m?1 ? (n ? 1) m?1 ?
k ?1 n

? [k
k ?1 n k ?1

m ?1

? 2m?1 ?1m?1

? ? [(k ? 1)m?1 ? k m?1 ]
m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,即等价于 故只要证 ?[k k ?1 k ?1 k ?1 n n n

k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m ,
即等价于 1 ?
m ?1 1 m ?1 1 ? (1 ? ) m ?1 ,1 ? ? (1 ? ) m ?1 k k k k
4

而正是成立的,所以原命题成立.

例 6.已知 an ? 4n ? 2n , Tn ?

2n ,求证: T1 ? T2 a1 ? a2 ? ? ? an

3 ? T3 ? ? ? Tn ? . 2

1 2 3 n 1 2 n 解析: Tn ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ?

4(1 ? 4n ) 2(1 ? 2n ) 4 n ? ? (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 1? 4 1? 2 3

2n 2n ? n ?1 4 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 4 ? 4 ? 2 ? 2n ?1 4 ? 2 ? 2n ?1 所以 3 3 3 3 3 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? ? 4 ? 3 ? 2n ?1 ? 2 2 2 ? (2n ) 2 ? 3 ? 2n ? 1 Tn ? ?
n ?1

2n

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n 2 (2 ? 2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?
? 3? 1 1 1 1 1 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ?? 2? 3 3 7 2 ? 1 2n ?1 ? 1 ? 2

从而 T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn 例 7.已知 x1

? 1 , xn ? ? , ? ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )

n(n ? 2k ? 1, k ? Z )

求证:

4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
1
4

证明:

x 2 n x 2 n ?1

?

1
4

(2n ? 1)( 2n ? 1)
1
4

?

1
4

4n ? 1
2

?

1
4

4n
2

2

?

1 2? n
?

?

2 2 n

,因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以
所以
4

x 2 n x 2 n ?1

?

2 2 n

?

n ? n ?1

2( n ?1 ? n)

1 ? x2 ? x3

4

1 ??? x4 ? x5

4

1 ? x2 n x2 n ?1

2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *)

二、函数放缩 例 8.求证:
ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? (n ? N * ) . 2 3 4 3 6
n

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 n
x x
2 3 4 3

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3

1 1 1 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 因为 ? ? ? ? n ? ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2
? ? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ?? ?? ? ??? ? ? ? ??? ? ? 2 ? 3 n ?1 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 6 3n ? ? ?

5

所以

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 2 3 4 6 6 3
ln 2? ln 3? ln n? 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) 2(n ? 1) 2? 3? n?
2

例 9.求证:(1) ? ? 2,

ln n 1 1 ln x ln n ? ln n 2 解析:构造函数 f ( x) ? ,得到 ? ? 2 ,再进行裂项 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ,求和后 x n(n ? 1) n n n n
可以得到答案 例 10.求证: 函数构造形式:

ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2)

1 1 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 n
n ?1 n 2 n ?1 n ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 n n ?1 1 n n ?1
y

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln

1 函数构造形式: ln x ? x, ln x ? 1 ? x
当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ?
n

E F

D C B n x

1 , x

O

A n-i

首先: S ABCF 取 i ? 1 有,

1 1 1 ? ln x |n ? ? ,从而, ? i ? n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n x x n ?i n ?i

?

n

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n

所以有

1 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ,相加后可 ? ln 2 , ? ln 3 ? ln 2 ,?, ? ln n ? ln( n ? 1) , n 3 n ?1 2
1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) 2 3 n ?1
n 1 1 1 , 从而有 取i ?1 ? i ? ? ? ln x |n ? n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) x n ? i x n ?i n ?i

以得到:

n

另一方面 S ABDE ?

有,

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1
1 2

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ?

1 1 1 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ,所以综上有 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 n n
6

1 1 1 1 1 1 例 11.求证: (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e 和 (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e . 9 81 3 2! 3! n!
解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 解析: ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?
2 n?3

3 ,叠加之后就可以得到答案 n(n ? 1) ? 1

3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) (加强命题) x ?1 x x ?1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) 例 13.证明: ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 3 4 5 n ?1 4

函数构造形式: ln( x ? 1) ? 2 ?

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2? x ,令 f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ?1 ? x ?1 x ?1

? 2,

2 2 2 所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n ? 1 有, ln n ? n ? 1

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 所以 ln n ? n ? 1 ,所以 3 4 5 n ?1 4 n ?1 2

例 14. 已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? 解析: a n ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . 证明 an ? e2 . n ?n 2
2

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? n )a n ,然后两边取自然对数,可以得 n(n ? 1) n(n ? 1) 2 2

到 ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? n ) ? ln a n n(n ? 1) 2

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案)放缩思路:
a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? n 。于是 ? n ) ? ln a n ? ? ln a n ? 2 ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 n ?n 2 n ?n 2 n ?n 2
2

ln a n ?1 ? ln a n ?

1 ? ( ) n ?1 1 1 n?1 n ?1 1 1 1 1 1 ? n , (ln a ? ln a ) ? 2 2 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ? 2. ? ? i ?1 i n ?n 2 1 n n 2 i ? i 2 i ?1 i ?1 1? 2
2

1

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的
n 作用;当然,本题还可用结论 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩: 1 1 1 )(a n ? 1) ? a n ?1 ? (1 ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

7

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?
n ?1

1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n
2

? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e . 例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? f ( x) 在
x ? 0 上恒成立.

(I)求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数; x

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 求证: 12 ln 2 2 ? 12 ln 32 ? 12 ln 4 2 ? ? ?
2 3 4 1 n ln(n ? 1) 2 ? 2 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? N * ).

解析:(I) g ' ( x) ?

f ( x) f ' ( x) x ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数 ? 0 ,所以函数 g ( x) ? 2 x x
f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数,所以 x

(II)因为 g ( x) ?

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 (3)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ?? x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn
f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
8

所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn ) 令 xn ?

?1 ? 1 1 1 1 ln 2 2 ? 2 ln 3 2 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln( n ? 1) 2 ? ,有 ? ? 2 2 ? ?? 2 3 4 (n ? 1) (1 ? n) ?2 ?
? ? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? ??? ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1)n ? ? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? ? ? ? ? ?

? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ?

1 ?? 1 1 ? n ? ? ?? ?? ? ??? 2(n ? 1)(n ? 2) ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ?
1 所以 12 ln 2 2 ? 1 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? 2 2 3 4 1 n ln(n ? 1) 2 ? 2 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? N * ).

(方法二)

ln(n ? 1) 2 ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ? ln 4? ? ? 2 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) ? n ?1 n ? 2 ?

所以

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 2 2 2 3 4 (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ?

1 , n ?1
4 1 n ln(n ? 1) 2 ? 2 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? N * ).
f (a ? b) ? f (b).

所以 12 ln 2 2 ? 12 ln 32 ? 12 ln 4 2 ? ? ?
2 3

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)
? f ( x) ? x ln x, ? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k. ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln x , k?x x 2x ? k k 令g ?( x) ? 0, 则有 ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2

k k ∴函数 g ( x )在[ , k )上单调递增,在 (0, ] 上单调递减. 2 2

k k ∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x) ? g ( ). 2 2
而 g ( ) ? f ( ) ? f (k ? ) ? k ln
k 2 k 2 k 2 k ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2, 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2, 即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2.
9

令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.

? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.
? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).
例 17. ⑴设函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求

f ( x) 的最小值;

⑵设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,证明

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n .
解析:对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x log2 x)? ? [(1 ? x) log2 (1 ? x)]?
? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ?

1 1 1 ? . ? log2 x ? log2 (1 ? x). 于是 f ?( ) ? 0. 2 ln 2 ln 2

1 1 当 x ? 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2 1 1 所以 f ( x)在x ? 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2 (Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立.

(ii)假定当 n ? k 时命题成立,即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 , 则 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k. 当 n ? k ? 1时,若正数 p1 , p2 ,?, p2
k ?1

满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1, 令 x ? p1 ? p2 ? ? ? p , q1 ? p1 , q2 ? p2 ,?, q ? p2 . 2 2
k k

x

x

k

x

则 q1 , q2 ,?, q2k 为正数,且 q1

? q2 ? ? ? q2k ? 1.

由归纳假定知 q1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? q2k log2 q2k ? ?k.

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? x(q1 log2 q1 ? q2 log2 q2 ? ? ? q2k log2 q2k

? log2 x) ? x(?k ) ? x log2 x,



同理,由 p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 可得

p2k ?1 log2 p2k ?1 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1

? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x) log2 (1 ? x).
综合①、②两式



p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1
10

? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) ? ?(k ? 1).即当 n ? k ? 1 时命题也成
立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 证法二: 令函数 g ( x) ? x log2 x ? (c ? x) log2 (c ? x)(常数c ? 0, x ? (0, c)),那么
x x x x g ( x) ? c[ log 2 ? (1 ? ) log 2 (1 ? ) ? log 2 c], c c c c

利用(Ⅰ)知,当 对任意 x1

x 1 c ? (即x ? )时, 函数g ( x)取得最小值. c 2 2

? 0, x2 ? 0, 都有
x1 ? x2 x ? x2 ? ( x1 ? x2 )[log2 ( x1 ? x2 ) ? 1] . ① log2 1 2 2

x1 log2 x1 ? x 2 log2 x 2 ? 2 ?

下面用数学归纳法证明结论. (i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1, 有

p1 log 2 p1 ? p2 log 2 p2 ? 当n ? k ? 1时, p1 , p2 ,

? p2k log 2 p2k ? ?k . ? p2k ?1 ? 1. ? p2k ?1 ?1 log 2 p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 log 2 p2k ?1

, p2k ?1 满足p1 ? p2 ?

令H ? p1 log 2 p1 ? p2 log 2 p2 ?
由①得到

H ? ( p1 ? p2 )[log 2 ( p1 ? p2 ) ? 1] ? 因为( p1 ? p2 ) ?
由归纳法假设

? ( p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 )[log 2 ( p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) ? 1],

? ( p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) ? 1,

( p1 ? p2 )log2 ( p1 ? p2 ) ?
H ? ?k ? ( p1 ? p2 ?

? ( p2k?1 ?1 ? p2k?1 )log2 ( p2k?1 ?1 ? p2k?1 ) ? ?k, 得到

? p2k?1 ?1 ? p2k?1 ) ? ?(k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立. 例 18. 设关于 x 的方程 x 2 ? m x ? 1 ? 0 有两个实根 ? , ? , 且? ? ? , 定义函数 f ( x) ?
2x ? m .若 x2 ?1

? , ? 为正实数,证明不等式: | f ( ?? ? ?? ) ? f ( ?? ? ?? ) |?| ? ? ? | . ??? ???
解析:? f ( x) ?

2x ? m 2( x 2 ? 1) ? (2 x ? m) ? 2 x 2( x 2 ? m x ? 1) ? f ?( x) ? ? ? 2 x ?1 ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
11

当 x ? (? , ? )时, x

2

? mx ? 1 ? ( x,? )(x ? ? ) ? 0 ? f ?( x) ? 0

? f ( x)在(? , ? ) 上为增函数? ?, ? ? R? 且? ? ?
?

?? ? ?? ?? ? ?? ? (? ? ? )? ? ( ? ? ? ) ?? ? ? ?0, ??? ??? ???

?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ? (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) ?? ?? ? ? ? 0?a ? ??? ??? ??? ???
由可知 f (a) ? f (

?? ? ?? ?? ? ?? ) ? f ( ? ) 同理可得 f (a) ? f ( ) ? f (? ) ??? ???

? f (? ) ? f ( ? ) ? f (
?| f (

?? ? ?? ?? ? ?? )? f( ) ? f ( ? ) ? f (? ) ??? ???

?? ? ?? ?? ? ?? 1 1 )? f( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | 又由(Ⅰ)知 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,?? ? ?1 ??? ??? ? ?

?| f (? ) ? f ( ? ) |?|
三、分式放缩 姐妹不等式:

1 1 ? ?? ? |?| |?| ? ? ? | 所以 | f ( ?? ? ?? ) ? f ( ?? ? ?? ) |?| ? ? ? | a ? ?? ??? ???

b b?m b b?m (a ? b ? 0, m ? 0) ? (b ? a ? 0, m ? 0) 和 ? a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.

1 1 1 ) ? 2n ? 1 和 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? 3 5 2n ? 1

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

也可以表示成为

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? ? 2n ? 1 和 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
解析: 利用假分数的一个性质

1 2n ? 1

b b?m ? (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m 3 5 7 2 n ? 1 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? 2n 2 4 6 2n 1 3 5 2n ? 1 2 4 6

?(

1 1 1 2 4 6 2n 2 ) ? 2n ? 1. ? ? ? ) ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

12

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 解析: 运用两次次分式放缩:

2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n 相乘,可以得到:
2

(加 1) (加 2)

3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7

1 1 1 ) ? 3 3n ? 1. 所以有 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? 4 7 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 解析: 1 ?
1 1 1 n ? ??? n ? 2 3 2 ?1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? n ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 3 2 4 4 2 ?1 2 2 2 2

(

1 1 1 1 n 1 n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? n 2 2 2 2 2 2 2

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列

?An ?与曲线 y ? 2 x ( x ≥0)上的点列 ?Bn ?满足 OAn
为 an .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N .
?

? OB n ?

1 ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距 n

(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 .
b1 b2 bn?1 bn

1? 1 解析:(1) 依题设有: An ? ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? ,由 OBn ? 得: ? n?
n

?

?

bn 2 ? 2bn ?

1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * ,又直线 A B 在 x 轴上的截距为 an 满足 2 n n
n n

? an ? 0? ? ?

1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n? ?

an ?

bn 1 ? n 2bn

2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ?

1 n bn
2

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 1 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 1 2 n n 1 ? 2 n b n b 1 ? n 2bn n bn n n

?

?

13

显然,对于 1 ?
n

* 1 ? 0 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N n ?1

(2)证明:设 cn ? 1 ?

bn ?1 , n ? N * ,则 bn
1

cn ?

1 ?1 ? n2

? n ? 1?

2

?1

1 ? 1 ?1 n2

? 1 1 ? ?n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?
2

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ?1 ? 2 2 n ? 1 1 2n ? 1 n ? ?? ? ? 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? 2 2 2 ?1 ? 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?
设 Sn ? c1 ? c2 ?
1 1 Sn ? ? ? 3 4

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

?

1 1 ?1 1? ? 1 ? k ? ? ? ??? 2 ? 2 ?1 2 ? 3 4 ? ? 2 ?1
k

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

? 2?

1 1 ? 22 ? 3 ? 2 2 2

? 2k ?1 ?

1 k ?1 ? 。 2k 2

4009 所以,取 n0 ? 2 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

? b2 ? ?1 ? b 1 ?

? ? b3 ? ??? ?1 ? ? ? b2

? bn ?1 ? ? 4017 ? 1 ? ? 2008 ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 n ? ? ?

故有

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 < n ? 2008 成立。 b1 b2 bn?1 bn

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x ) 的定义域为 [-1,0],值域也为[-1,0].若数列 {bn } 满足 bn ?
f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 n3

Tn ,问是否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。
2 解析:首先求出 f ( x) ? x ? 2x ,∵ bn ?

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ?

1 1 1 ? ??? , 2 3 n

14

∵ ?

1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? , ? ? ? ? 4 ? ? ,? 8 2 4 4 2 5 6 7 8

1 2
k ?1

?1

?

1 1 1 1 k ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2k 时, Tn ? ? 1 , 2 ?2 2 2 2 2
k ?1

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数,则当 n ? 2
Tn ? 2m ? 2 ?1 ? m ? A. 2
n

2m?2

时,必有

故不存在常数 A 使 T

? A 对所有 n

? 2 的正整数恒成立.

? x ? 0, ? 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 Dn ,设 Dn 内整数坐 ? y ? ? nx ? 3n ?

标点的个数 为 an .设 S n ?

1 a n?1
n

?

1 an? 2

???

1 1 1 1 7n ? 11 1 ? ??? ? ,当 n ? 2 时,求证: ? . a1 a2 a3 a 2n 36 a2n
1 1 1 1 7n ? 11 只要证 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a 2n 36

解析:容易得到 a
S2 n ? 1 ?
S2 n ? 1 ?

? 3n ,所以,要证

1 1 1 7n ? 11 ? ??? n ? ,因为 2 3 2 12

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? n ?1 ??? n 2 3 4 5 6 7 8 2 ?1 2 ? 2 2

? 1?

1 3 7 7n ? 11 ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? ,所以原命题得证. 2 2 12 12
x ?4 ? n , x1 ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, xn ? 1

五、迭代放缩 例 25. 已知 xn?1

?| x
i ?1

n

i

? 2 | ? 2 ? 21? n

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ?

1 2 n ?1

,然后相加就可以得到结论

例 26. 设 S n ?

1 sin 1! sin 2! sin n! ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|< 1 n 2 2 2
2 2 2

? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) 解析: | S n ? k ? S n |?| sin( n ? ??? | n ?1 n?2 n?k

?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k n ?1 n?2 n?k 2 2 2 2 2 2

15

?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2
n n 0 1 n

又 2 ? (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n

所以 | S n ? k ? S n |? 1n ? 1
2

n

六、借助数列递推关系 1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 例 27.求证: ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 解析: 设 a n ?
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后 2(n ? 1) 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

就可以得到 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 所以
1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a n ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 ,从而 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证:

1 1 1 ? ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a1 a2 an

解析: an? 2 ? a n?1 ? n ? 2 ? a n ? an ?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有

1 1 1 1 ? ??? ? ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 2 an?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a1 a2 an a1

七、分类讨论
n 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,



1 1 ? ? a4 a5

?

1 7 ? am 8
16

解析:容易得到 a n ?

2 n?2 2 ? (?1) n ?1 . , 3
1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1
1 1 1 ) ??? ( ? ) a6 a m?1 a m
7 . 8

?

?

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时
?

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩) 2 2 2 2 2 n ?3 2 1 1 ①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ?( ? a4 a5 a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? 2 2 2 2 2 4 2 8 2 2 2

②当 m ? 4 且 m 为奇数时

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? (添项放 a 4 a5 a m a m?1 a 4 a5 am
a m?1 8

缩)由①知 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 7 . 由①②得证。
a4 a5 am

八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 f ( x ) ?

2x ?1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 x2 ? 2

? 1 ? f ( x) ? 1 2

1 1 ?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 解析:由 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 知 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 0 2 2 2 2 2( x ? 2)

1 由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? ,最大值为 1 2
1 ? ?3 ? ? a ? b ? 3 ? 因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, ? 2 ? ??3 ? a ? b ? 3

?a ? b ? ?3, a ? b ? 3 ? 即 a , b 满足约束条件 ? 1 , 1 ? a ? b ? ?3, ? a ? b ? 3 ? ? 2 2

由线性规划得,a ? b 的最大值为

5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ?

? n(n ?1). 求证

解析: 此数列的通项为 ak ? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.? k ? k (k ? 1) ? k ? k ? 1 ? k ? 1 ,
2 2

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

1 ? ? k ? Sn ? ? (k ? ) ,即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) . 2 2 2 2 2 k ?1 k ?1
2

n

n

17

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 若放成
k (k ? 1) ? k ? 1则得 S ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ? n 2 2 k ?1
n 2

ab ?

a?b 2



,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33.已知函数 f ( x) ?

4 1 1 f (1) ? ,且 f ( x) 在[0,1]上的最小值为 ,求证: bx ,若 5 1? a ? 2 2
1 1 ? . 2 n ?1 2

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

解析: f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) x x x 2? 2 1? 4 1? 4 2?2
1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

? (1 ?

例 34.已知 a , b 为正数, 且

1 1 (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 . ? ?1, 试证: 对每一个 n ? N ? , a b

1 1 a b 解析: 由 1 ? 1 ? 1得 ab ? a ? b ,又 (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而 a b b a a b n 0 n 1 n?1 r n?r r n n (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,
n n n 1 n?1 r n ?r r n?1 令 f (n) ? (a ? b) ? a ? b ,则 f ( n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为
i n?i Cn ? Cn ,倒序相加得 1 r n?1 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
n 1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2 ? 2) ? 2

n

n ?1



n n n 2n n ?1 所以 f ( n) ? (2 n ? 2) ? 2 ,即对每一个 n ? N ? , (a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2 .

n

例 35.求证 C ? C ? C ? ? ? C ? n ? 2
1 n 2 n 3 n n n
n ?1 2

n?1 2

(n ? 1, n ? N )
n 2 n ?1

1 2 3 n 解析: 不等式左 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n ? n 1? 2 ? 2 2 ??? 2 n?1 = n ? 2

,原结论成立.
n

例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (e x1 ?

1 1 e x1 e x2 1 x2 x1 ? x2 ) ? ( e ? ) ? e ? ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 x1 x2 x2 e e e e e ?e

18

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e
x

n ?1

? 1)

n 2

例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n) ? 2n (n ? 1)n 解 析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k 1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为

k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n
所以 (k ? )( 2n ? 1 ? k ?
1 k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n , 所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n) ? 2 (n ? 1) .
n n

例 38.若 k ? 7 ,求证: S n ? 解析: 2Sn ? ( ?
1 n

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy ,
1 x 1 y

1 1 2 , ? ? x y xy

所以 ( x ? y)( ? ) ? 4 ,所以 所以 2Sn ? 所以 Sn ?

1 1 4 ? ? ,当且仅当 x ? y 时取到等号. x y x? y

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 1 1 1 1 3 ? ? 2? ? 所以 Sn ? ? ? ??? ? 1 n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2 k ?1 k ?1 2 1? k ? n
a2 . 16

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ?
a2 . 16

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x1 (1 ? x1 )][x2 (1 ? x2 )] ?

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]n-2n- 1 ·f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ?

2 ( x ? 0) , x
19

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? ) ? (2 x ? ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.

2 x

2 x

2 n 2 n n ?1 n n ?1 n (2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] ? 2 ? f ?( x ) ? (2 x ? ) ? 2 ? (2 x ? n ) x x
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn
1 n?2 2 n?4 x ? Cn x ? 令 S ? Cn n?2 ? Cn

1 x
n?4

n ?1 ? Cn

1 x n?2

).

1 x
n?4

n ?1 ? Cn

1 x
n?2

1 1 1 1 2 n ?1 由倒序相加法得: 2S ? C n ( x n?2 ? n?2 ) ? C n ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x x x
1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? 2 n (2 n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N ? 时,命题成立
x 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a ? x(a ? 1)

(1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

2

1 , 又a ? 1? x ? ? log a ln a,同理:f ' ( x) ? 0, ln a ' 有x ? ? log a ln a, 所以f ( x)在(??, ? log a ln a)上递减,在( ? log a ln a, ??)上递增;所以f ( x) min ? (1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0, 即:a x ln a ? 1,? a x ? f (? log a ln a) ? 1? a ? e
1 e
n ?1 ? Cn (a n ?1 ln a ? 1) n ?1 ? Cn )

1 ? ln ln a 1 ? ln ln a 1 , 若f ( x) min ? 0, 即 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ,? a的取值范围是 ln a ln a e

1 2 (2) S (n) ? Cn (a ln a ? 1) ? Cn (a 2 ln a ? 1) ? 1 2 2 ? (Cn a ? Cn a ?

n ?1 n ?1 1 2 ? Cn a ) ln a ? (Cn ? Cn ?

1 1 2 ? [Cn (a ? a n ?1 ) ? Cn (a 2 ? a n ? 2 ) ? 2
n 2 n n n

n ?1 ? Cn (a n ?1 ? a)]ln a ? (2n ? 2) n 2

n ? a (2 ? 2) ln a ? (2 ? 2) ? (2 ? 2)(a ln a ? 1) ? (2n ? 2) f ' ( ), 所以不等式成立。 2
例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 f ? x ? ? 对任意正数 a ,证明: 1 ? f ? x ? ? 2 .
1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? . ? ? ax ? 8 1? x 1? a

20

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由 f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 8 1? ax

,

若令 b ?

1 1 1 8 ? ? ,则 abx ? 8 ① ,而 f ? x ? ? ② ax 1? x 1? a 1? b
1 1 1 1 1 1 ? ? , , , ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

(一) 、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f ? x ? ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b

?
?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)
1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x ? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a

? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为

1 ? 1, 1? b

1 1 1 1 1 2 ? ? ?2. ? ? ? 1 ,此时 f ? x ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ) 、当 a ? b ? 7 ③,由①得 , x ?

8 1 ab ? , , ab ab ? 8 1? x

因为

1 b b2 b ? 1? ? ? [1 ? ]2 所以 2 1? b 1 ? b 4(1 ? b) 2(1 ? b)

1 b ? 1? ④ 2(1 ? b) 1? b

同理得

1? a b ab ? 1 a ? ? 2 ? 1? ⑤ ,于是 f ? x ? ? 2 ? ? ?⑥ 2? ab ? 8 ? 2(1 ? a) 1? a ? 1? a 1? b ?

今证明 只要证

a b ab a b ab ? ?2 ⑦, 因为 , ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b) 1? a 1? b ab ? 8
ab ab ,即 ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③,此为 ? (1 ? a)(1 ? b) ab ? 8

显然. 因此⑦得证.故由⑥得 f ( x) ? 2 .综上所述,对任何正数 a, x ,皆有 1 ? f ? x ? ? 2 .
21

例 43.求证: 1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1

解析:一方面:

1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二)

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ? ? 3n ? 1 n ? 1 ??
? ? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? (3n ? 1)( n ? 1) 3n(n ? 2) (n ? 1)( 3n ? 1) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ?? ? ?2n ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? (2n ? 1) 2 ? n 2 (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1)

另一方面: 十、二项放缩

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

0 1 0 1 n 2 n ? Cn ? Cn ? n ? 1, 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)
? e2

例 44. 已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? 解析: a n ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . 证明 an n ?n 2
2

1 1 1 )(a n ? 1) ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?
n ?1

? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n

即 ln(an

?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .
1 n

n 例 45.设 a n ? (1 ? ) ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n

? 4.

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b 整理上式得 a
n?1

? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略) 1 1 , b ? 1 ? 代入( ? )式得 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? )以 a ? 1 ? n ?1 n

n ?1

(1 ?

1 1 n ?1 ) ? (1 ? ) n . 即 {an } 单调递增。 n n ?1

22

1 n 1 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 代入( ? )式得 1 ? (1 ? 2n 2 2n 2n 1 n 此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? ) ? 4 ,又因为数列 {an } 单调递增,所以 n 1 对一切正整数 n 有 (1 ? ) n ? 4 。 n
以 a ? 1, b ? 1 ?
n 注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ? ) ? 3. 简证如下:

1 n

1 1 1 1 2 n 1 ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n n n n nn 1 1 ? ? 2. 对通项作如下放缩: 只取前两项有 a n ? 1 ? C n n
k Cn

1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n

故有 a n ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2 ②上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:

n m i i 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 ni Am ; (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) .(01 ? mi An 年全国卷理科第 20 题)
1

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {bn } : bn ? (1 ? n) n 是递减数列;借鉴此结论可有 如下简捷证法:数列 {(1 ? n) n } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) ? (1 ? n) , 即 (1 ? m) n ? (1 ? n) m 。 当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努 力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见 文[1]。
n n 1? n. 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a ? b ? 2
1
1 m 1 n

1 1 1 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, , b 成等差数列,设 a ? ? d , b ? ? d , 2 2 2
1 ? ?1 ? 1? n 从而 a n ? b n ? ? ? ?d? ?? ?d? ? 2 ?2 ? ?2 ?
n n

2 8 例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2)

2 n 3 1 解析: 观察 ( ) 的结构,注意到 ( ) n ? (1 ? ) n ,展开得 3 2 2

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 1 1 2 3 , (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? 2 2 2 8 8 2 2 1 (n ? 1)( n ? 2) 即 (1 ? ) n ? ,得证. 2 8

23

例 48.求证:

ln 3 ? ln 2 1 ln 2 ? ln(1 ? ) ? . n 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N* 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1 ? an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到

(a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 ,
也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a
f ( x) 为

? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说

N* 上的单调增函数.

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一 发现就有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到
( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到 1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,

所以可以得到 f (1) ? 2



接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ②
f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54, f (54) ? f [ f (27)] ? 81

在此比较有技巧的方法就是:

81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断

f (28) ? 55 ③

24

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可 能地列出来,然 后就可以得到结论.所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难.

f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an ,
所以数列 an ? f (3 ), n ? N 的方程为 an ? 2 ? 3 ,从而
n *

n

1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) , a1 a2 an 4 3

一方面

1 1 1 0 1 (1 ? n ) ? ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 4 3 4

1 1 1 1 1 2n n 所以 (1 ? n ) ? (1 ? ,所以,综上有 )? ? ? 4 3 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1 ? . an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ; ② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ( x2 ) ? 3. (Ⅰ)求 f?0?的值; (Ⅱ)求证:f?x?≤4; (Ⅲ)当 x ? (

1 1 , ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . 3n 3n?1

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由①对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ) 解: 任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , ∴ f (0) ? 3.

则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3,

因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: f (

1 1 ) ? n?1 ? 3(n ? N*) n ?1 3 3

1 1 (1) 当 n=1 时, f ( 0 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 0 ? 3 ,不等式成立; 3 3

25

(2) 假设当 n=k 时, f (

1 1 ) ? k ?1 ? 3(k ? N*) 3 3
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 f( k ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? 6 ?1 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3

1 1 得3f ( 1 ) ? f ( k ?1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. k 3 3 3

即当 n=k+1 时,不等式成立由(1) 、 (2)可知,不等式 f ( 数都成立.

1 1 ) ? n?1 ? 3 对一切正整 n ?1 3 3

1 1 1 1 , n?1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) ,而 x ?[0,1], f ? x ? n n 3 3 3 3 3 1 1 1 单调递增 ∴ f ( n ) ? f ( n?1 ) 所以, f ( x) ? f ( n?1 ) ? 3x ? 3. 3 3 3 例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1, ai ? 0 (i ? 1,2? n)

于是,当 x ? (

求证:

2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3

2 2 an an 1 ?1 ? ? ? an?1 ? an an ? a 1 2

解析:构造对偶式:令 A ?
B?

2 2 2 an an a12 a2 ?1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

则 A? B ?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 a12 ? a2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

= (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B 又?
ai2 ? a 2 j ai ? a j ? 1 (ai ? a j ) 2

( i,

j ? 1,2?n)

?A?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 1 1 ? ?(a1 ? a 2 ) ? (a 2 ? a3 ) ? ? ? (a n ?1 ? a n ) ? (a n ? a1 )? ? 4 2

十一、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 解析:

1 1 1 4 ? ??? ? n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 7

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? n ?1 n ?1 2 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 4 7 3 ? 2 ? 1 28 3 ? 2 3 ? 2 n ?1
1 11 1 4 47 48 4 ? ? ? ? ? ? 1 84 84 7 28 3 1? 2

例 56. 设 a n ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2
26

解析: a n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? a ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . a 2 3 n 2 3 n 2 又 k ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ,

?

1 1 1 1 ? ? ? , 2 k (k ? 1) k ? 1 k k

于是 a n ? 1 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? 1 ? 2.
2 3 n 2 2 3 n ?1 n
n
2 例 57.设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1, 有

(i)an ? n ? 2 ; (ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析: (i) 用数学归纳法: 当 n ? 1 时显然成立, 假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 , 则当 n ? k ? 1 时
ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利用上述部分放缩的结论 ak ?1

? 2ak ? 1 来放缩通项,可得
1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注:上述证明 (i) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:

ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1
十二、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | 示: 因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 (ii)当 0 ? x ?

?
2

时,构造单位圆,如图所

sin x ? x ?| sin x |?| x |
当x ?

?
2

时 | sin x |?|

x|

所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x |

(iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有

| sin x |?| x | ( x ? R)
十三、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加
27

强.如要证明 f ( x) ? A ,只要证明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有
1 k k 1 k3 1 k (k 2 ? 1)

?k
k ?1

n

1 k

? 3.

解析:

?

?

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) ? (k ? 1)k k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k 2 k (k ? 1) ? k ? k ?1 k ?1 ? ? ? k ?1 ? k ?1
? 1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1

n 从而 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? k ?1

k k

1

3

2

4

3

5

1 1 2 1 1 ? ? 1? ? ? ?3 2 k ?1 k ?1 k k ?1
1 ? ? 1 ? 2?? ? ? k? ? k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1 ? 1 1 1 ?? ? k ? k ? k ?1 ? k2 ? k (k ? 1) ? 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ? k ? k ?1 1 k k? ? k ?1 ?

所以 ?
k ?1

n

1 k k

? 1? ?
k ?2

n

1 k k

? 1 ? 2(1 ?

1 ) ? 3. k

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向 加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ?
f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C (C ? 0, A ? B) .

例 60.已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ?
2

1 ,求证: 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). an

解析: an
2

2

? 1 ? 2 2 2 ?? ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2 ,从而 an ? an?1 ? 2 ,所以有 n ?1 ? ?
2 2 2 2 2 2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1,
所以 an ? 2n ?1 又 an
2

2

2

? 1 ? 2 ? ?? a ? ? a k ?1 ? 3 ,所以 an 2 ? an?12 ? 3 ,所以有 n ? 1 ? ? a n?1 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

28

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 引申:已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ?
1 ,求证: an
2

?a
k ?1

n

1
k

? 2n ? 1 .

解析:由上可知 an ? 2n ?1 ,又 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 , 所以 1 ?
an
n

1 2n ? 1

?

2 2 n ? 1 ? 2n ? 3

? 2n ? 1 ? 2n ? 3

从而 ?

1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2) k ?1 ak

1 1 ? 又当 n ? 1 时, ? 1 ,所以综上有 a1 k ?1 a k

?

n

2n ? 1 .

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列

?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) .
记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? 求证:当 n ? N 时.
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

(1) an ? an?1 ;

(2) S n ? n ? 2 ;

★(3) Tn ? 3 .

解析:(1) an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,结论成立; (ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 从而 ak ?12 ? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1
an?1 ? an ? 0 ? an?1 ? an
2 2

所以综上有 0 ? an ? 1 ,故

(2)因为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a32 ? a2 2 ? 1? a3 ,?, an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 , 相加后可以得到: an?12 ? a12 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?12 ,所以
2 Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2

(3)因为 an?1 ? an?1 ? 1 ? an ? 2an ,从而 an?1 ? 1 ?

2

2

a 1 2a n ? n?1 ,所以有 ,有 1 ? an?1 2an an?1

29

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?n1?1 ,从而 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 a2
a a ?1 1 1 ,所以 ? n?n1?1 ? ? n (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 a2 1 ? a2 2 n?1

a a 1 1 ,所以 ? n 21n ? ? nn (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 a2 1 ? a2 2 ?2
Tn ? 1 ? a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 2 ?2 1 ? a2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 . 例 61.(2008 年陕西省高考试题)已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

3 3an 2, . , an ?1 ? , n ? 1, 5 2an ? 1

1 1 ?2 ? 2, ; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(2)证明: a1 ? a2 ?

? an ?

n2 . n ?1

解析:(1)依题,容易得到 an ?

3n 2 ? 1 ? n ,要证 n 2?3 3

x ? 0 , an ≥ 1 ?
1? x

1 ?2 ? 2, , ? x ? , n ? 1, 2 ? n (1 ? x) ? 3 ?

即证 1 ?

2 1 1 ? 2 2 2 1 ? ? ? ? x ? 1 ? 1? ? ? n ? n 2 ? n 2 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)

即证
? (t ) ? ?

2 2 ? 3n 2 ? n ? n ? 1 ? 0 ,设 t ? 1 所以即证明 2 1? x 1 ? x 3 (1 ? x) 3
n

2?3 2 2 ? 3n 2 2 ? 2 ? n ? 1 ? 0 ,这是显然成立的. ? t ? 2t ? n ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) 从而 ? (1) ? 0 ,即 ? n n 3 3 3 3 2 ? , 2, 所以综上有对任意的 x ? 0 , an ≥ 1 ? 1 2 ? ? ? x? , n ?1 1 ? x (1 ? x) ? 3n ?

(法二)
?

1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? 1 ?1 ? x ? ? ? ? x? ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x ) 3 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? ? ?
?1 ? 2 1 1? 1 ? ? an ? ? an ≤ an ,? 原不等式成立. ? ? (1 ? x) ? ? 1 ? x ? a (1 ? x) 2 ? ? ? a 1 ? x a ? ? n n ? n ?
2

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

30

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ?

? an ≥
?

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? x?? ? ? x?? 2 ? 2 ? 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
? 2 ? ? nx ? . n 3 ?

?

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32

1 2 2 ?取 x ? ? ? ? 2? n?3 3

2? 1? 1? n ? ? 2? 3 1? 3 ? 1? ? n ?? ? ? ?1 ? n ? , 1 3 ? ? ? n? 3 ? n ?1 ? ? 3 ? ?

则 a1 ? a2 ?

? an ≥

n n2 n2 ? ? .? 原不等式成立. 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?

十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间

[0, n](n ? N *) 上的最小值为 bn ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求
证:

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 . a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n
证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明
2

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2 4 ( 2n)

1 2n ? 1
1 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) (方法一) ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ??? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ?

所以

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

(方法二)因为
2

1 1?1 2 3 3 ?1 4 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ,相乘得: ? ? , ? ? ,?, ? ? 2 2 ?1 3 4 4 ?1 5 2n 2n ? 1 2n ? 1

1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ?

?

1 . 2n ? 1

(方法三)设 A=

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ,B= ,因为 A<B,所以 A2<AB, 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)
2

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 1 ? 所以 ? , 从而 ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 ? ?

1 . 2n ? 1

31

下面介绍几种方法证明

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n
2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 2

(方法一)因为 2n ? 1 ? 以有

1 2n ? 1

? 2n ? 1 ? 2n ? 1 , 所

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ?
1 ? n?2 ? n n?2

1 2 ? ,因为 n?2 n?2 ? n
1 2n ? 1

2 , n?2 ? n

所以

令 n ? 2n ? 1 ,可以得到

? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 an ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2n ? 1 , a n ?1 ? an 所以 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2

2(n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1 ,从而

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an ?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 3)a n?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ? 3 2

又 an ?

1 ,所以 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? 2n ? 1

2n ? 1 ?

3 ? 2n ? 1 ? 1 2

(方法四)运用数学归纳法证明:

?
k ?1

n

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1
1 3 ?1 2

(i)当 n ? 1 时,左边=

1 3

,右边= 3 ? 1 ?

2 3 ?1

?

显然不等式成立;

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时, ?
i ?1

k

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,
1 2k ? 3

1 3

?

1 5

???

1 2k ? 1

?

1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?

,

32

所以要证明
2k ? 1 ?

?
i ?1

k ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1 ,只要证明
1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 2

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ?

,这是成立的.

这就是说当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有
a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ?? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f ( x) ? sin x .如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,
2 ? cos x

求 a 的取值范围. 解析:因为 f ( x) ?

sin x cos x(2 ? cos x) ? sin 2 x 1 ? 2 cos x ,所以 f ' ( x) ? ? 2 ? cos x (cosx ? 2) 2 (cosx ? 2) 2

设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则
g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ? 1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ? a, 2 2 (cos x ? 2) (cos x ? 2) cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

g (0) ? 0
因为 | cos x |? 1 ,所以

2 3 ? 1? ? ? ?? 1, ? 2 cos x ? 2 (cosx ? 2) 3? ?
1 时, f ( x) ≤ ax 恒成 3

(i)当 a ? 1 时, g ' ( x) ? 0 恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ?
3

立. (ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2

(iii)当 0 ? a ? 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .

1 3

arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 因此 h( x) 在 ?0, arccos3a ? 上单调增加.故当 x ? (0,
arccos3a) 时, f ( x) ? sin x ? sin x ? ax 即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0,
2 ? cos x 3

1 ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? ? ,?? ? ?3 ?

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n 且 0 ? a ? 1 , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,
3

求证:
tan x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2
33

证明:容易得到 tan

xi sin xi sin xi 由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi ? ? 2 cos xi ? 1 2

就可以知道 tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2
1 ? x ? ax e .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 1? x

★同型衍变:(06 年全国一卷)函数 f ( x) ? 求 a 的取值范围.

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ?

ax2 ? 2 ? a ?ax e . (1 ? x) 2

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒 有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (任取一点, 比如取 x 0 ?
a ? 2 , a ? 2 )为减函数, a a

故在区间(0,

a?2) a



1 2

a?2 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a

a 不满足要求. (ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax 1 ? x ? 1 , 这时 a 满足要求. e ≥ 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.

34


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