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上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级


上海重点中学 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x2 ? y 的准线方程是
2x x 2. 方程 C24 的解为 ? C24
2



. .

3. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

a = b

. .

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是

5. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送 方法共有 种. . (结果用最简分数表示)

6. 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中, 则每个盒子中至少有 1 个球的概率为

7. 已知 F1 ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F1 、 F2 、 F3 共同作用于一个物体上,使物体从点 ,则合力所做的功为 M 1 (1,-2,1)移到点 M 2 (3,1,-2) .

8. 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K, 抛物线的焦点为 F, M 是抛物线上的一点, 且 | FM |? 2 | FK | , 则△MFK 的面积为 .

9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择了 3 个点,刚好构 成直角三角形的概率是 .

10. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 .

11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后,可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好 拼接成该正四棱锥的 4 个侧面,则

b 的取值范围是 a



12. 已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为 离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为 .
2 3 4

?r
2

,又球心 O 到平面 α 的距

13. 若对于任意实数 x , 都有 x4 ? a0 ? a1 ? x ? 2? ? a2 ? x ? 2? ? a3 ? x ? 2? ? a4 ? x ? 2? , 则 a 3 的值为



14. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻 的着色方案如图所示:

由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 色方案共有 种. (直接用数字作答)

种,至少有两个黑色正方形相邻的着

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? A. 0 B. 1

3 只有一个公共点的直线有多少条? ( 4
C. 2 D. 3

)

16. 正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、G 、 H .设四面体 EFGH 的表面积为 T , 则 A.

T 等于 S
4 9
B.

(

)

1 9

C.

1 4

D.

1 3

17. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时, 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A. ( C. ) D.

1 36

B.

1 9

5 36

1 6

18. 给出下列四个命题: (1) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (4) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( )

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB ? 6 , AD ? 8 ,异面直线 PB 与 CD 所 成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 4 分,第 4 小 题满分 4 分. m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列的所有种数为
(m ? 1)! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果.

(1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务,则分别满足下列条 件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AP ? AB ? 2 , AD ? 4 , E、F 依次是 PB、PC 的中点.

(1)求直线 EC 与平面 PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示); (2)求三棱锥 P ? AFD 的体积.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于 点N .

(1)求证: CC1 ? MN ; (2)在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .拓展到空间,类比三角形的余弦 定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不少.下面请观察平面 勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去. 勾股定理的 类比 条件 结论 C2 请完成上表中的类比结论,并给出证明. AB⊥AC AB2+AC2=B OA、OB、OC 两两垂直 ? 三角形 ABC 四面体 O-ABC

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 )到定点 F (1, 0) 的距 离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 不同的两点,求 OA ? OB 的值; (3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0 ,求 ON 的取值范围.

上海重点中学 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分) 1. y ? ?

1 4

2. 0,2,4 3. 1

5 4. ? 4
5. 10 6.
C42 P33 4 ? 34 9

7. 4 8. 2 3 9.

1 3

10. 34

1 11. ( , ??) 2
12. 13. -8 14. 21;43 二、选择题(本大题满分 20 分) 15. D 16. B 17. D 18. C 三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 AC ,
2? r 3

由矩形 ABCD 内接于圆 O ,可知 AC 是圆 O 的直径,……2 分 于是 2r ? AC ? 62 ? 82 ? 10 ,得 r ? 5 ,……………4 分 由 AB ∥ CD ,可知 ?PBA 就是异面直线 PB 与 CD 所成的角,

即 ?PBA ? arctan 2 ,故 tan ?PBA ? 2 .………………7 分 在直角三角形 PAB 中, PA ? AB tan ?PBA ? 12 ,…………9 分 故圆柱的体积 V ? ?r 2 ? PA ? ?? 52 ? 12 ? 300? .……………12 分 20. (本题满分 14 分)
8 解: (1) C10 ? 7! ? 226800 ----------------------3 分

(2-i) 5!? P22 ? 240

----------------------6 分

(2-ii) 间接法: 7!? 6!? P22 ? 3600 ;插空法: 5!? P62 ? 3600 ----------------------10 分 (2-iii)
7! ? 5040

----------------------14 分

21. (本题满分 14 分) (1)解法一:分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,

0, 0) , B(2, 0, 0) , C(2, 4, 0) , D(0, 4, 0) , P(0, 0, 2) ,∴ E(1 ,, 0 1) , F(1 , 2, 1) , 各点坐标分别是 A(0,

EC ? (1 ,, 4 ? 1) ,
又∵ AB ? 平面 PAD ,

(2 分)

∴平面 PAD 的法向量为 n ? AB ? (2,0,0) , 设直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则

(4 分)

sin ? ?

EC ? n ? 2 ? 2 , 18 ? 2 6 | EC | ? | n |

(6 分)

∴直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 arcsin

2. 6

(7 分)

解法二:∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA ,又 CD ? AD ,∴ CD ? 平面 PAD ,取 PA 中点 G ,CD 中点 H , 联结 EG、GH、GD ,则 EG / / AB / / CD 且 EG ?

1 AB =1 , 2

? EGHC 是平行四边形,
∴ ?HGD 即为直线 EC 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt ?GAD 中, GD ? 12+42 = 17 , 在 Rt ?GHD 中, tan ?HGD ? (3 分)

HD ? 1 ? 17 , GD 17 17
17 . 17

(6 分) (7 分)

∴直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 arctan

(2)解法一:由(1)解法一的建系得, AF ? (1 4 0) ,设平面 AFD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ,, 2 1) , AD ? (0,, 点 P 到平面 AFD 的距离为 d ,由 AF ? n ? 0 , AD ? n ? 0 得 x ? 2 y ? z ? 0 且 4 y ? 0 ,取 x ? 1 得 n ? (1,0, ?1) , (9 分) ∴d ?

AP ? n ? 2 ? 2 , 2 n

(11 分) (13 分) (14 分)

又 AF ? FD ? 6 ,∴ S△ AFD ? 2 ? 6 ? 4 ? 2 2 , ∴ VP ? AFD ? ? 2 2 ? 2 ?

1 3

4. 3

解法二:易证 PE 即为三棱锥 P ? AFD 底面上的高,且 PE ? 底面 △AFD 边 AD 上的高等于 AE ,且 AE ?

2 , (11 分)

2 ,∴ S△ AFD ? 2 2 (13 分)
(14 分) (11 分) (14 分)

VP? AFD ? 1 ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 . 3 2 3

解法三:依题意, EF // 平面 PAD ,∴ VP? AFD ? VF ? PAD ? VE ? PAD ? VD? PAE

VD? PAE ? 1 ? 1 ? 1 ? PA ? AB ? AD ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 . 3 2 2 12 3
22. (本题满分 16 分) (1)证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ; (4 分)

2 2 2 (2)解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? ,其中 ? 为平面 CC1B1B 与平面 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

CC1 A1 A 所组成的二面角.

(7 分)

? CC1 ? 平面PMN , ? 上述的二面角为 ?MNP ,

在 ?PMN 中, PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN cos ?MNP
2 2 2 ? PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B1 ? PN ? CC , S ACC1A1 ? MN ? CC , S ABB1A1 ? PM ? BB1 ,
1 1

2 2 2 ? 有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? . 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

(10 分)

(3)空间勾股定理的猜想:
2 2 2 2 已知四面体 O-ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,则有 S? OAB ? S?OAC ? S?OBC ? S?ABC .

(13 分) 证法一:作 OD⊥AB,垂足为 D,连结 CD

1 1 1 1 2 S? ? AB2 ? CD2 ? ? AB2 ? (OC 2 ? OD2 ) ? ? AB2 ? OC 2 ? ? AB2 ? OD2 ABC ? 4 4 4 4

1 1 1 2 2 2 2 2 ? ? (OA2 ? OB2 ) ? OC 2 ? S? ? OA2 ? OC 2 ? ? OB2 ? OC 2 ? S? AOB ? AOB ? S?AOC ? S?COB ? S?AOB (16 分) 4 4 4
证法二:作 OH⊥平面 ABC,垂足为 H,易得 H 为△ABC 的垂心。连结 CH 并延长交 AB 于 E,连结 OE,则有 OE⊥AB。 在△OAB 中, S?OAB ?

1 1 2 AB ? OE ? S? AB2 ? OE 2 OAB ? 2 4

在 Rt△EOC 中, OE 2 ? EH ? EC
2 ? S? OAB ?

1 1 1 AB2 ? ( EH ? EC) ? ( AB ? EH ) ? ( AB ? EC) ? S?HAB ? S?CAB 4 2 2

2 2 同理,? S? OAC ? S?HAC ? S?BAC ,? S?OBC ? S?HBC ? S?ABC 2 2 2 2 于是 S? OAB ? S?OAC ? S?OBC ? (S?HAB ? S?HAC ? S?HBC ) ? S?ABC ? S?ABC

(16 分)

证法三:建立空间直角坐标系,设 A(a,0,0) , B(0, b,0) , C (0,0, c)

? ?OD ? AB ? 0 ? ax ? by ? 0 作 OD⊥AB,垂足为 D,则 D ( x, y, 0) 满足 ? ? ? AB // AD ? bx ? y( x ? a) ? bx ? ay ? xy
平方相加: x2 y 2 ? a2 x2 ? b2 y 2 ? a2 y 2 ? b2 x2 ? (a2 ? b2 )( x2 ? y 2 )
2 S? ABC ?

1 1 1 1 AB2 ? CD2 ? ( x2 ? y 2 ) ? (a2 ? b2 ? z 2 ) ? ( x2 ? y 2 ) ? (a2 ? b2 ) ? ( x2 ? y 2 ) ? z 2 4 4 4 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 x y ? x z ? y z ? S? OAB ? S?OAC ? S?OBC 4 4 4
(16 分)

?

23. (本题满分 18 分) 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离等于 P 到直线 x ? ?1 的距离,曲线 C 是 以原点为顶点, F (1, 0) 为焦点的抛物线 ∵

p ? 1∴ p ? 2 2

∴ 曲线 C 方程是 y 2 ? 4 x

(4 分)

(2)当 l 平行于 y 轴时,其方程为 x ? 1 ,由 ? 此时 OA ? OB=1 ? 4= ? 3 当 l 不平行于 y 轴时,设其斜率为 k , 则由 ?

? x ?1 解得 A(1, 2) 、 B(1, ?2) 2 ? y ? 4x
(6 分)

? y ? k ( x ? 1) 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 k2
(8 分)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? 1 , x1 +x2 ?

∴ OA ? OB=x1 x2 ? y1 y2 =x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

=1+k 2 ? k 2 ?
(3)设 M ( ∴ OM ? (

2k 2 ? 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ? ?3 2 k

(10 分)

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y2 ) 4 4

y12 y 2 ? y12 , y1 ), MN ? ( 2 , y2 ? y1 ) 4 4

∵ OM ? MN ? 0 ∴
2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 16

∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 y 2 ? ?( y1 ? ∴ y 2 ? y1 ?
2 2 2

16 ) y1

(12 分)

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12 256 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y12

(14 分)

当且仅当 y1 ?

∵ | ON |? (

2 y2 1 2 2 )2 ? y2 ? ( y2 ? 8)2 ? 64,又 4 4

2 y2 ? 64

(16 分) (18 分)

2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8, | ON |min ? 8 5,故 | ON | 的取值范围是 [8 5,??)


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