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圆锥曲线经典性质总结及证明!!!


Gandongle 椭圆双曲线的经典结论
一、椭 圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径 PF1 为直径的圆必

与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 导) 5. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 弦 P1P2 的直线方程是 6. 椭圆
x a
2 2

x a x a

2 2

?

y b y b

2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1 .(求

2 2

2 2

?

? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点
? 1 .(结合 4)

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点
2

? F1 P F 2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ? F P F ? b ta n
1 2

?
2

.(余弦定理+面积公式+

半角公式) 7. 椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的焦半径公式:

| M F1 | ? a ? ex 0 , | M F 2 |? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M ( x 0 , y 0 ) ).(第二定义)

8.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 焦 点 F 的 椭 圆 准 线 于 M 、 N 两 点 , 则 MF ⊥ NF

9. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上

根据第 8 条,证毕

10. AB 是 椭 圆

x a

2 2

?
2 2

y b

2 2

? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则

k OM ? k AB ? ?

b a
2 2

, 。 (点差法)
x a
2 2

即K

AB

? ?

b x0 a y0

11. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 椭 圆
x0 x a
2

?

y b

2 2

? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.(点差法)
x a
2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 椭 圆
2 2 2 2

?

y b

2 2

? 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是

x a

?

y b

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.(点差法) 二、双曲线

1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角.(同上) 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点.(同上) 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.(同上)

4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支) (同上) 5. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 是
x0 x a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程

?

y0 y b
2

? 1 .(同上)

6. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切
x0 x a
2

线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

?

y0 y b
2

? 1 .(同上)

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意
2

一点 ? F1 P F 2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F ? b c o t
1 2

?
2

.(同上)

8. 双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 )

当 M ( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | M F1 |? ex 0 ? a , | M F 2 | ? e x 0 ? a . 当 M ( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | M F1 |? ? ex 0 ? a , | M F 2 |? ? e x 0 ? a (同上) 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.(同上) 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 A1、 2 为双曲线实轴上的顶点, Q, A A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.(同上) 11. AB 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB
? b x0 a y0
2
2 2

2

的中点,则 K OM ? K

AB

,即 K

AB

?

b x0 a y0
2

2

。 (同上)

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 方程是
x0 x a
2

x a
2 2

2 2

?

y b
2

? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的

?

y0 y b
2

?

x0 a

? x
2 2

y0 b ?

2 2 2

.(同上)
? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 程是
x a
2 2

y b

a

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.(同上)

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆 1. 椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直 x a
2 2

线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

?

y b

2 2

? 1.

证明

2. 过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0, b>0)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直
b x0 a y0
2 2

线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k B C ? 证

(常数). 明

3. 若 P 为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点,

? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F1 ? ? ,则

a?c a?c

? ta n

?
2

co t

?
2

.

证法 1(代数)















4. 设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上

任意一点,在△PF1F2 中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有
s i n? s i n ? ? s i n?
2 2

?

c a

? e .(上条已证)

5. 若椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0

<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比 例中项. 6. P 为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,

则 2 a ? | A F 2 |? | P A | ? | P F1 |? 2 a ? | A F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线时,等号成 立.

7. 椭 圆
2 2

( x ? x0 ) a
2
2 2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

? 1 与 直 线 A x ? B y ? C ? 0 有 公 共 点 的充 要 条 件是
2

A a ? B b ? ( A x0 ? B y0 ? C ) .

8. 已知椭圆 (1)
1

x a

2 2

? ?

y b

2 2

?1 (a>b>0)O 为坐标原点, Q 为椭圆上两动点, O P ? O Q . , P、 且 1 ? 1 a
2

| OP |

2

| OQ | a b
2 2 2 2

2

?

1 b
2

; (2) |OP| +|OQ| 的最大值为

2

2

4a b
2

2

2 2

a ?b

; (3)S ? O P Q

的最小值是 证

a ?b

. 明

9. 过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 | PF | | MN | ? e 2

MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 证

. 明

(图片有误,ep=b^2/a) 10. 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a ?b
2 2

线与 x 轴相交于点 P ( x 0 , 0 ) , 则 ?
x a
2 2

a

? x0 ?

a ?b
2

2

.

a

11. 设 P 点是椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点

记 ? F1 P F 2 ? ? ,则(1) | P F1 || P F 2 | ?
x
2

2b

2

1 ? cos ?

.(2) S ? P F F ? b ta n
2
1 2

?
2

.

12. 设 A、B 是椭圆

? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, 2 2 a b ? P A B ? ? , ? P B A ? ? , ? B P A ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有

?

y

2

(1) | P A | ?
x a

2 ab | cos ? |
2

a ? c co s ?
2 2 2

2 .(2) ta n ? ta n ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?

2a b
2

2

2 2

b ?a

cot ? .

2 2

13. 已知椭圆

?

y b

2 2

? 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 证 明

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直.(之前有类似的) 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (角分线定理+合比公式) (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.(角分线定理) 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.(角分线定理) 双曲线 1. 双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴 x a
2 2

平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 上) 2. 过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1. 同 (

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互
b x0 a y0
2 2

补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k B C ? ? (同上) 3. 若 P 为双曲线
x a
2 2

(常数).

?

y b

2 2

? 1(a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1,
c?a c?a

F

2

是 焦 点 , ? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F1 ? ? , 则
? tan

? tan

?

co t ( 或 2 2

?

c?a c?a

?

c o t ).(同上) 2 2

?

4. 设双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)

为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ? F1 P F 2 ? ?
? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有
s in ? ? (s in ? ? s in ? ) ? c a ? e .(同上)

,

5. 若双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,

则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线

内一定点,则 | A F 2 | ? 2 a ? | P A | ? | P F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线且 P 和
A , F 2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7. 双曲线
2

x a

2 2
2

?

y b
2 2

2 2
2

? 1 (a>0,b>0)与直线 A x ? B y ? C ? 0 有公共点的充要条
2 2

件是 A a ? B b ? C . 8. 已知双曲线
x ? y b
2 2

? 1(b>a >0) O 为坐标原点, Q 为双曲线上两动点, , P、

a 且OP ? OQ .

(1)

1
2

? a b
2 2

1 | OQ |
2 2

| OP |

2

?

1 a
2

?

1 b
2

; (2) |OP| +|OQ| 的最小值为

2

2

4a b
2

2

2 2

b ?a

; (3)S ? O P Q

的最小值是

b ?a x a
2 2

.(同上)
y b
2 2

9. 过双曲线

?

? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 | PF | | MN | ? e 2

M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 10. 已知双曲线
x a
2 2

.(同上)

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的 a ?b
2 2

垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x 0 , 0 ) , 则 x 0 ? 11. 设 P 点是双曲线
x a
2 2

a

或 x0 ? ?

a ?b
2

2

.

a

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2

为 其 焦 点 记 ? F1 P F 2 ? ?
S ?PF F ? b co t
2
1 2

, 则 (1) | P F1 || P F 2 | ?

2b

2

1 ? cos ?

.(2)

?
2

.(同上)
x
2 2

12. 设 A、B 是双曲线

? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的 2 b 一点, ? P A B ? ? , ? P B A ? ? , ? B P A ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距 a

?

y

2

离心率,则有(1) | P A | ?
2

2 ab | cos ? |
2

| a ? c co s ? |
2 2 2

.
2 2 2

(2) ta n ? ta n ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?
x a
2 2

2a b
2

b ?a

cot ? .

13. 已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲

线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.(同上) 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直.(同上) 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为 常数 e(离心率).(同上) (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点).(同上) 16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. (同上) 17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.(同上)
x a
2 2

18. 已知椭圆

?

y b

2 2

? 1 上一点 P0 ( x 0 , y 0 ) ,以直线与椭圆交于 M,N 两点,恒有

P0M⊥PON,则直线横过 ( x 0 ?

a ?b
2

2 2

a ?b
2

, y0 ?

b ?a
2

2 2

a ?b
2

)





19. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,不再椭圆上的一点 P,过 P 做倾斜角互补的两直线,

与椭圆交于 A,B,C,D 四点,则 A,B,C,D 四点共圆 证 明

其他常用公式:
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算 弦长,常用的弦长公式: A B ?
1? k
2

x1 ? x 2 ?

1?

1 k
2

y1 ? y 2

2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 3、知直线横截距 ,常设其方程为

(A,B 不同时为 0)的形式。 (它不适用于斜率为 0 的直线)

与直线

垂直的直线可表示为



4、两平行线 5、若直线 则 6、圆的一般方程: (斜率)且 与直线 (在

间的距离为 平行



轴上截距) (充要条件) ,特别提醒:只有当

时,方程

才表示圆心为

,半径为

的圆。二元二次方程 条件是 且 且 。

表示圆的充要

7、圆的参数方程: 的参数方程的主要应用是三角换元:

( 为参数),其中圆心为

,半径为 。圆 ;

8、 切线长:过圆 的切线的长为

为直径端点的圆方程 ( ( )外一点 ) 所引圆

9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距

,弦长一半

及圆的半径 所构成

的直角三角形来解: 共弦)系为 在直线方程.。 ,当

; ②过两圆 时,方程



交点的圆(公 为两圆公共弦所

抛物线焦点弦性质总结 30 条
1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切;

2. x 1 ?x 2 ?

p

2

;
2

4

3. y 1 ?y 2 ? ? p ; 4. ? A C ' B ? 9 0 ; 5. ? A ' F B ' ? 9 0 ; 6. 7.
A B ? x1 ? x 2 ? p ? 2 ( x 3 ?
1 AF ?
'

?

?

p 2

)?

2p s in ?
2

;

1 BF

?

2 P

;

8. A、O、 B 三点共线; 9. B、O、 A 三点共线; 10. S ? A O B ? 11.
S? 2
AOB
'

P

2

2 s in ?
? (



AB

P 3 ) (定值) ; 2

12. A F ?
'

P 1 ? cos ?

; BF ?

P 1 ? cos ?



' 13. B C 垂直平分 B F ; ' 14. A C 垂直平分 A F ;
'

15. C F ? A B ;
'

16. A B ? 2 P ; 17. C C ' ? 18. K A B =
P y3

1 2

AB ?

1 2

( AA ' ? BB ' ) ;


y2

19. ta n ? =
2

x2-

p 2

;

20. A 'B ' ? 4 A F ? B F ; 21. C 'F ?
1 2 A 'B ' .

22. 切线方程 y 0 y ? m ? x 0 ? x ? 3、 是抛物线 y AB
2

? 2 px(p>0) 焦点弦, 是 AB 的中点, 是抛物线的准线,AA 1 ? l , Q l

BB 1 ? l ,过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有

结论 6PA⊥PB. 结论 7PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10 FA ? FB ? PF
2

结论 11 S ? PAB

min

? p

2

二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ①xp ?
y1 y 2 2p

, yp ?

y1 ? y 2 2

结论 13 PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. 结论 14 ? PFA ? ? PFB 结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16 23.
FA ? FB ? PF
2


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