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【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第9讲 函数模型及其应用课件 理


第9讲
考试要求

函数模型及其应用

1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,A

级要求;2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函

数等)的广泛应用,B级要求.

知识梳理 几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型 一次函数型 反比例函数型 二次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) f ( x) =
k x +b(k,b为常数且k≠0)

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

指数函数型

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0, a>0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0, a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

对数函数型

幂函数型

(2)指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 y=ax(a>1) 单调递增 越来越快 y=logax (a>1) 单调 递增 越来越慢 y=xn(n>0)

单调递增 相对平稳 随n值变化

随x的增大逐渐表 随x的增大逐

图象的变化 现为与 y轴 平行 渐表现为与 而各有不同 x轴 平行
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( × ) (2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)

增长速度越来越快的形象比喻.( × )
(3)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (4)f(x) = x2 , g(x) = 2x , h(x) = log2x ,当 x∈(4 ,+∞) 时,恒 有h(x)<f(x)<g(x).( √ )

2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段

时间后,为了赶时间加快速度行驶,则下列图象与以上事件吻
合得最好的是________(填序号).

解析

小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来

越近,排除①. 因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变, 排除④.后来为了赶时间加快速度行驶,排除②.故③符合. 答案 ③

3.(2015· 南京、盐城模拟)用长度为24的材料围一矩形场地,中间 加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________.
解析 设隔墙的长为 x(0<x<6),矩形面积为 y,则 y=x× 24-4x 2 = 2 x (6 - x ) =- 2( x - 3) +18,∴当 x=3 时,y 最大. 2

答案 3

4.(2015· 四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单
位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k, b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保 鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析
b ? e ? =192, 48 1 1 22k 11k ? 由题意得 22k+b ∴e =192=4,∴e =2, ? =48, ?e 33k+b

∴x=33 时,y=e

=(e ) ·e

11k 3

b

?1?3 1 b =?2? ·e = ×192=24. 8 ? ?

答案 24

5.(2014· 北京卷改编) 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总
粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与 加工时间t(单位:分钟 ) 满足函数关系 p=at2+ bt +c(a, b ,c 是 常数 ),如图记录了三次实验的数据 .根据上述函数模型和实验 数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.

解析

根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5) ?0.7=9a+3b+c, ? 分别代入函数关系式,联立方程组得 ?0.8=16a+4b+c, 消去 c ?0.5=25a+5b+c, ?
? ? ?7a+b=0.1, 化简得? 解得 ?b=1.5, ? ?9a+b=-0.3, ?

?a=-0.2, 所以 p=- 0.2t2 +1.5t -

?c=-2.0. 1? 2 15 225? 45 1? 15?2 13 15 ? ? ? ? 2.0=-5 t - 2 t+ 16 +16-2=-5 t- 4 +16, 所以当 t= 4 = ? ? ? ? 3.75 时,p 取得最大值,即最佳加工时间为 3.75 分钟.

答案 3.75

考点一 二次函数模型

【例1】 A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核
电站给A, B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离 不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电 量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电 量为每月10亿度. (1)求x的取值范围; (2)把月供电总费用y表示成x的函数; (3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?



(1)x 的取值范围为 10≤x≤90. 5 2 (2)y=5x + (100-x)2(10≤x≤90). 2 5 15 2 15? 100?2 2 2 (3)因为 y=5x +2(100-x) = 2 x -500x+25 000= 2 ?x- 3 ? ? ? 50 000 100 50 000 + 3 ,所以当 x= 3 时,ymin= 3 .故核电站建在距 A 城 100 3 km 处,能使供电总费用 y 最少.

规律方法

在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问

题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的 对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解.

【训练1】 (2014· 武汉高三检测)某汽车销售公司在A,B两地销

售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=
4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中 x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌 的汽车,则能获得的最大利润是________万元.
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销售该 品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)
2 21 21 =-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x- 2 )2+0.1× 4 +32.因为 x∈

[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值 43 万元.

答案 43

考点二 指数函数、对数函数模型
【例2】 世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率

是________(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017).
设每年人口平均增长率为 x,则(1+x)40=2,两边取 lg 2 以 10 为底的对数,则 40 lg(1+x)=lg 2,所以 lg(1+x)= 40 ≈0.007 5, 所以 100.007 5=1+x, 得 1+x=1.017, 所以 x=1.7%. 解析
答案 1.7%

规律方法

在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细

胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示 . 通常可以表示

为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形
式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定 的值对应求解.

【训练2】

某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,

他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次
跌停 ( 每次下跌 10%) ,给出该股民关于这支股票的盈亏情况 (不考虑其他费用):①略有盈利;②略有亏损;③没有盈利也 没有亏损.其中说法正确的为________(填序号). 解析 设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后

的价格为 a(1 + 10%)n = a×1.1n 元,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n × (1 - 10%)n = a×1.1n × 0.9n = a × (1.1×0.9)n = 0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.

答案 ②

考点三 分段函数模型
【例 3】 某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的 1 和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)=2x(x+1)(39- 2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元) 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? 与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * ( x ∈ N ,且7≤x≤12). ? ? x

(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位:万人)与x的函数关 系式; (2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总

额为多少元?

解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x, 2 2 验证 x=1 也满足此式, 所以 f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为
2 * (- 3 x + 40 x )( 35 - 2 x )( x ∈ N ,且1≤x≤6), ? ? g(x)=? 160 2 * (- 3 x + 40 x ) · ( x ∈ N ,且7≤x≤12), ? x ? 3 2 * ? 6 x - 185 x + 1 400 x ( x ∈ N ,且1≤x≤6), ? g(x)=? * ? - 480 x + 6 400 ( x ∈ N ,且7≤x≤12). ?



①当 1≤x≤6,且 x∈N*时, g′(x)=18x2-370x+1 400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= 9 (舍去). 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N*时, g(x)=-480x+6 400 是减函数,∴当 x=7 时,g(x)max=g(7) =3 040(万元). 综上,2015 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总 额为 3 125 万元.

规律方法

(1) 很多实际问题中,变量间的关系不能用一个

关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的

票价与路程的函数就是分段函数 .(2)求函数最值常利用基本
不等式法、导数法、函数的单调性等方法 .在求分段函数的 最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最 小值.

【训练3】

某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物

总金额不超过800元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额 超过 800元,则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠,按下表 折扣分别累计计算.

可以享受折扣优惠金额
不超过500元的部分 超过500元的部分

折扣率
5% 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元, 可以获得的折扣金额为 y 元, 则 y 关于 x 的解析式为 ?0,0<x≤800, ? y=?5%(x-800),800<x≤1 300, ?10%(x-1 300)+25,x>1 300. ? 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元.
解析 若x=1 300元,则y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),

因此x>1 300. ∴由10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350(元). 答案 1 350

[思想方法]
解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选
择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下:

[易错防范] 1. 解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什 么,还要特别注意一些关键的字眼 ( 如“几年后”与“第几年 后”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会 做或函数解析式写错,故建议复习时务必养成良好的审题习惯. 2. 在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注意寻找 量与量之间的相互依赖关系. 3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.


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