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广东省“六校联盟”2016届高三数学第三次联考试题 文


2016 届“六校联盟”高三第三次联考 文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知 U={y|y=lnx,x>1}, A ? ? y | y ? A.

? ?

1 ( 0, ) 3

B.

>
(0,+∞)
2

1 ? , x ? 3? ,则?UA=( x ? ?1 C. ? ,??) ?3

) D.(-∞,0]∪ ? ,??) )

?1 ?3

x ? i3 2.已知 x 为实数,若复数 z ? ( x ?1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则 的值为( 1? i
A.1 B.-1 C. i D.

?i
)

3.已知在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ? A.

5 ,则等比数列 {an } 的公比 q 的值为( 4
C.2 D.8

1 4

B.

1 2

4.设 a ? log 2 3 ? log 2 A. a ? b ? c

2, b ? log 2 9 ? log 2 3, c ? log
B. a ? b ? c

2

3, 则 a, b, c 的大小关系是(
D. a ? b ? c

)

C. a ? b ? c ) C.

5.在 ?ABC 中,已知 BC ? 3DC ,则 AD ? ( A.

????

6.直线 l 经过点 A(2,1)和 B(1, m ) (m? R ) ,那么直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是(
2

2 1 AB ? AC 3 3

B.

2 1 AB ? AC 3 3

? 2 ??? ? 1 ??? AB ? AC 3 3
?


D.

? 2 ??? ? 1 ??? AB ? AC 3 3
)

A. 0 ? ? ? ? C. 0 ? ? ?

B. 0 ? ? ? D.
x?2

?

?
4

?
4

4

?? ?

?
2

2

?? ?? 2 ?? ??



?

7.已知命题 p:函数 y ? a

? 3( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过(-2,4)点;命题 q:已知平面 ? ∥平面 ? ,
) D. ?p ? q

则直线 m ∥ ? 是直线 m ∥ ? 的充要条件. 则下列命题为真命题的是( A. p ? q B. ? p ? ? q C. p ??q

8.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到,现用油漆对该型号零件表面进行防锈处理,若 100 平方厘米的 零件表面约需用油漆 10 克,那么对 100 个该型号零件表面进行防锈处理 约需油漆( ).( ? 取 3.14) B. 1.45 千克 C. 1.57 千克 D. 1.97 千克

A. 1.13 千克

1

9.《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月 (按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( A.
16 29
2

)尺布. D.
1 2

B.

8 15

C.

16 31

10.设 F1, F2 是双曲线 x ? 面积等于( A. 4 2 )

y2 ? 1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点, 且 3 | PF 则 ?PF 1 |? 4 | PF2 | , 1 F2 的 24

B. 8 3

C.24

D.48

11.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,如 [1.2]=1,[-1.2]=-2;则函数 f(x)=[x [x]]在(-1,1) 上( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) D. 与 a 有关 D.是增函数

12.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f ( x) ? a x ? ( x ?1)2 ? 2a 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.若向量 a ? ? cos? ,1? , b ? ?1, 2 tan ? ? ,且 a //b ,则 sin ? ? 14.设 x, y ? 0, x ? y ? 9 ,则 x ? 1 ?

?

?

? ?

. .

y ? 5 的最大值为

15.点 ( a, b) 在两直线 y ? x ? 2 和 y ? x ? 4 之间的带状区域内(含边界) ,则 f (a, b) ?

a 2 ? 2ab ? b2 ? 2a ? 2b 的最小值与最大值的和为



16.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点在一个球面上,则该球的表面积为_______.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2a sin(C ? (1)求角 A 的值; (2)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 13 ,求△ABC 的面积.

?
3

) ? 3b.

18、(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 , Sn 为其前 n 项和,且 2S3 ? 5S1 ? 3S2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an , cn ?

T 1 ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求 n 的最大值. n?4 bnbn ?1
2

19、 (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC ,

AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB .
(1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的余弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ? 若存在,求出

EF ;若不存在,说明理由. EA

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 B 两点。 (1)若三角形 AF1F2 的周长为 4 3 ? 6 ,求椭圆的标准方程; (2)若|k|>

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1(-3,0) ,F2(3,0) ,直线 y=kx 与椭圆交于 A、 a 2 b2

2 ,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率 e 的取值范围。 4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2ln x ,函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?
2

a 有相同极值点. x

(1)求实数 a 的值; (2)若对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ( e 为自然对数的底数) ,不等式 值范围.

?1 ? ?e ?

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1 恒成立,求实数 k 的取 k ?1

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

AC 上的点(不与点 A , 己知△ABC 中,AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧 ?
C 重合) ,延长 BD 至 E。 (1)求证:AD 的延长线平分 ?CDE ; (2)若 ?BAC ? 30 ,△ABC 中 BC 边上的高 2 ? 3 ,求△ABC 外接圆的面积.
0

A
E

D
F

B

C

3

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? 1+ 2t ? x= ?y= 2t ?

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极

坐标系,曲线 C 的极坐标方程是ρ =

sin ? . 1-sin 2 ?

(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出此时 P 点的坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? x ? 1 ?

1 | x ?3| 2

(1)求不等式 f ( x ) ? 4 的解集; (2)若不等式 f ( x ) ? a ( x ? ) 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

1 2

2016 届六校联盟高三第三次联考

数学试题(文科)参考答案
4

命题学校:惠州市第一中学 一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C 11 C 12 B

二、填空题 13、

1 ; 2

14、 30 ;

15、32;

16、

7? a 2 3

17. 解:(Ⅰ)由 2a sin ? C ?

? ?

??

? ?? ? ? ? 3b ,变形为 2 sin A? sin C cos ? cosC sin ? ? 3 sin B 3? 3 3? ?

sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin?? ? ? A ? C ??
sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin? A ? C ?
??????2 分

sin A sin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin A cosC ? 3 cos A sin C sin A sin C ? 3 cos Asin C tan A ? 3
又? A ? ?0, ? ? ? A ? ,因为 sin C ? 0 ,所以 sin A ? 3 cos A ??????4 分

?
3

??????6 分

(Ⅱ)在 ?ABD 中, AB ? 3 , BD ? 13 , A ?

?
3
?????8 分

2 2 2 利用余弦定理, AB ? AD ? 2 ? AB ? AD ? cos A ? BD ,解得 AD ? 4 ,

又 D 是 AC 的中点 ? AC ? 8 , S ?ABC ?

1 ? AB ? AC ? sin A ? 6 3 ??????12 分 2
, ??????1 分

18. 解: (1)? 2S3 ? 5S1 ? 3S2 ,∴ 2(a1 ? a1q ? a1q2 ) ? 5a1 ? 3(a1 ? a1q)

化简得 2q2 ? q ? 6 ? 0 ??????????????????????2 分 解得: q ? 2 或 q ? ?

3 2

??????????????????????3 分

因为数列 ?an ? 的各项均为正数,所以 q ? ?

3 不合题意?????????4 分 2

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n .????????????????5 分 (2)由 bn ? log 2 an 得 bn ? log2 2 ? n ????????????????6 分
n

?

cn ?

1 1 1 1 ? ? ? ???????????7 分 bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1
??????????8 分
5

1 1 1 1 1 1 n ? 1? ? ? Tn ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

n Tn n ? 2 ? ? n ? 4 ( n ? 1)( n ? 4) n ? 5n ? 4

1 4 n? ?5 n

??????9 分

? ?

4 4 4 n ? ? 5 ? 2 n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 n ? ,即 n ? 2 时等号成立?????10 分 n n n

1 1 ? ??????????????????????11 分 4 n? ?5 9 n

?

Tn 1 的最大值是 ?????????????????12 分 n?4 9

19.解: (1)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC , 所以 BC⊥平面 ABE ???1 分 则 ?CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角 设 BC=a,则 AB=2a, BE ? ???2 分 ???3 分

2a ,所以 CE ? 3a ,

直角三角形 CBE 中, sin ?CEB ?

CB 1 3 ???4 分 ? ? CE 3 3

cos ?CEB ? 1 ?

1 6 ??????5 分 ? 3 3
6 . 3
??????6 分

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的余弦值为 (3)解:存在点 F ,且

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . 证明如下:??????7 分 EA 3 EF 1 ? ,连结 MF、BF、DF EA 3

连结 AC,交 BD 于点 M,在 AE 上取点 F,使 因为 AB ∥ CD , AB ? 2CD , 所以

CM CD 1 ? ? ,??????8 分 MA AB 2 CM 1 ? ,??????9 分 CA 3
EF 1 ? ,所以 FM / / EC ??????10 分 EA 3

所以

因为

EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD .
即点 F 满足

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

??????12 分

20.解: (Ⅰ)由题意得 ?
2 2 2

? ?c ? 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 a ? 2c ? 6 ? 4 3
2 2

??2 分

结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .

??3 分
6

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

??4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? a 2 b 2 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? y ? kx, ?
? a 2b 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 ,??6 分 b ? a2k 2
易知, AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 . 即 ??7 分

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

??8 分 ??9 分

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
2

将其整理为 k ? 因为 k ?

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2

??10 分

2 2 ,所以 12 ? a ? 18 ,即 2 3 ? a ? 3 2 4
2 3 ?e? 2 2 .
??12 分

所以离心率

21.解: (1) f ? ? x ? ? ?2 x ?

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 ?? ? x ? 0 ? ,??????????1 分 x x

由 f ? ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 1 ;由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 .

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数. ????????2 分
? x ? 1 是函数 f ? x ? 的极值点.????????????????3 分

? g? ?1? ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .?????????????????4 分
经验证,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,符合题意. ??5 分 (2)? f ? ? ? ?

?1? ?e?

1 1 ? 2, f ?1? ? ?1, f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3 ,易知 ?9 ? 2 ln 3 ? ? 2 ? 2 ? ?1 , 2 e e
????????6 分

即 f ? 3? ? f ? ? ? f ?1? .

?1? ?e?

?1 ? ??x1 ? ? ,3? , f ? x1 ?min ? f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3, f ? x1 ?max ? f ?1? ? ?1 ???7 分 ?e ?
由(1)知 g ? x ? ? x ?

1 1 ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x
7

当 x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1,3? 时, g? ? x ? ? 0 . 故 g ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1,3? 上为增函数. ??????8 分

?1 ? ?e ?

?1 ? ?e ?

1 1 10 1 10 ?1? ?1? ? g ? ? ? e ? , g ?1? ? 2, g ? 3? ? 3 ? ? ,而 2 ? e ? ? ,? g ?1? ? g ? ? ? g ? 3? . e 3 3 e 3 ?e? ?e? 10 ?1 ? ??x2 ? ? ,3? , g ? x2 ?min ? g ?1? ? 2, g ? x2 ?max ? g ? 3? ? . ???????9 分 3 ?e ?

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 1? 当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ,不等式 ? 1 恒成立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ?1? ? g ?1? ? ?1? 2 ? ?3 , ? k ? ?3 ? 1 ? ?2, 又? k ? 1,? k ? 1 .????10 分
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 2 ? 当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ,不等式 ? 1 恒成立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? 3? ? g ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3 ?

10 37 ? ? ? 2 ln 3 , 3 3

?k ? ?

34 34 ? 2 ln 3, 又 ? k ? 1,? k ? ? ? 2 ln 3 . ????????????11 分 3 3

综上,所求实数 k 的取值范围为 ? ??, ?

? ?

34 ? ? 2ln 3? ? ?1, ?? ? .???????12 分 3 ?

22. 解:( 1 )如图,∵A,B,C, D 四点共圆, ?CDF = ?ABC , 又 AB=AC , ∴ ?ABC ? ?ACB ,且 ?ADB ? ?ACB ,????2 分 ∴ ?ADB ? ?CDF ,对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF ,????4 分 故 AD 的延长线平分 ?CDE 。????????5 分 ( 2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC , ????6 分 连接 OC ,由题意 ? OAC= ? OCA = 15 , ?ACB ? 75 ,????7 分
? ?

∴ ?OCH ? 60 ,设圆半径为 r,则 r ?
?

3 r ? 2 ? 3 ,????9 分 2

得:r= 2 ,故外接圆面积为 4? 。 ???????????10 分

8

5 ? 3 ? 2 x? 2 ? 1 ?1 24.(1)函数 f ( x) ? ? x ? 2 ?2 5 ? 3 ?? 2 x ? 2 ?

x?3 1<x ? 3 ,???????3 分 x ?1
13 ???????4 分 3
13 } ??????????5 分 3

方程 f ( x) ? 2 的根为 x1 ? ?1, x2 ?

由函数 f ( x ) 的图像知 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? ?1或x ? (2)设 g ( x ) ? a ( x ? ) , g ( x) 表示过点 ( ?

1 2

1 , 0) ,斜率为 a 的直线,???????6 分 2

1 f ( x) ? a ( x ? ) 的解集非空即 y ? f ( x) 的图像在 g ( x) 图像下方有图像, 2
或与 g ( x) 图像有交点, 由图像可知 a ? ? ???????7 分

3 4 或a ? ??????????10 分 2 7

9


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