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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程课件


第8讲
考试要求

函数与方程

函数的零点与方程根的联系,一元二次

方程根的存在性及根的个数的判断,B级要求.

知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点 ? 函
数y=f(x)有 零点 .

(3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断 f(b)<0 ;则函数 y = f(x) 在 (a , b) 上存在 的一条曲线;② f(a)·

零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)
=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二次函数 Δ=0 Δ<0

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

与x轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

无交点

零点个数

两个

一个

零个

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断 ), 则f(a)· f(b)<0.( × )

(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(4)当x>0时,函数y=2x与y=x2的图象有两个交点.( × )

2.(2015· 安徽卷改编 ) 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ________. ①y=cos x;②y=sin x;③y=ln x;④y=x2+1. 解析 由于y=sin x是奇函数;y=ln x是非奇非偶函数;y=x2 +1是偶函数但没有零点;只有y=cos x是偶函数又有零点. 答案 ①

3.(2014· 泰州联考)若 x1, x2 是方程 则 x1+x2=________.

1 ? ? 1 2x=?2?-x +1的两个实根, ? ?

解析

1 1 ? ? 1 - + 1 x x ∵2 =?2? x ,∴2 =2x-1, ? ?

1 ∴x=x -1 即 x2+x-1=0, ∴x1+x2=-1.
答案 -1

4.(2015· 苏北四市调研 )函数 的零点个数是________.
解析

2 ? ?ln x-x +2x,x>0, f ( x) = ? ? ?4x+1,x≤0

当 x>0 时,令 g(x)=ln x,

h(x)=x2-2x. 画出 g(x)与 h(x)的图象如图: 故当 x>0 时,f(x)有 2 个零点. 1 当 x≤0 时,由 4x+1=0,得 x=- ,综上函 4 数 f(x)的零点个数为 3.

答案 3

5.(2014· 湖北卷改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,
f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为________.

解析

当x≥0时,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得

x1=3,x2=1. 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x), ∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0, 得x3=-2- 7 ,x4=-2+ 7 >0(舍), ∴函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是{-2- 7 ,1,3}. 答案 {-2- 7 ,1,3}

考点一 函数零点的判断与求解 1 ?1?x 【例 1】 (1)函数 f(x)=x2-?2? 的零点个数为________. ? ?
(2)(2015· 江苏卷)已知函数 f(x)=|ln
1

? ?0,0<x≤1, x|, g(x)=? 2 ? ?|x -4|-2,x>1,

则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为________.
解析 (1)因为 y=x2在
?1?x x∈[0,+∞)上单调递增,y=?2? 在 ? ?
1

x∈R

上单调递减,所以

?1?x f(x)=x2-?2? 在 ? ?

x∈[0,+∞)上单调递增,又

1 ?1?x 1 f(0)=-1<0,f(1)= >0,所以 f(x)=x2-?2? 在定义域内有唯一 2 ? ? 零点.

?-ln x,0<x≤1, ? 2 (2)令 h(x)=f(x)+g(x), 则 h(x)=?-x +ln x+2,1<x<2,当 ?x2+ln x-6,x≥2, ? 1 1-2x 1<x<2 时,h′(x)=-2x+ x= x <0,故当 1<x<2 时 h(x)单调递减,在同一坐标系中画出 y=|h(x)|和 y=1 的图象 如图所示.
2

由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.

答案 (1)1 (2)4

规律方法

函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点,令f(x)

=0,有几个解就有几个零点. (2) 零点存在性定理,要求函数在区间 [a ,b]上是连续不断的 曲线,且f(a)· f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点 个数. (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即 得零点个数.

【 训 练 1 】 (2015· 南 京 、 盐 城 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x) =
x ? ?2 -1,x≤1, ? 则函数 ? ?1+log2x,x>1,

f(x)的零点为________.

解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x= ,又因为 x>1,所以 2 此时方程无解.综上,函数 f(x)的零点只有 0.
答案 0

考点二 根据函数零点存在情况,求参数的取值范围
【例 2】(2014· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数, ? 2 1? 当 x∈[0,3)时,f(x)=?x -2x+2?.若函数 y=f(x)-a 在区间 ? ? [-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ________.
解析 作出函数 y=f(x)与 y=a 的图象,根据图象交点个数得出 a 的取值范围.作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)= 1 1 f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=2,观察图象可得 0<a<2.

答案

? 1? ?0, ? 2? ?

规律方法

已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法

和思路: (1) 直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过

解不等式确定参数范围; (2) 分离参数法,先将参数分离,
转化成求函数值域问题加以解决; (3) 数形结合,先对解析 式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然 后观察求解.

【训练 2】

(2015· 南 通 、 淮 安 三 调 ) 已 知 函 数 f(x) =

3 2 ? ?2x +3x +m,0≤x≤1, ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两 ? ?mx+5,x>1,

个不同的交点,则实数 m 的取值范围是________.

解析

当x∈(0,1)时,f′(x)=6x2+6x>0,则f(x)=2x3+3x2+

m在[0,1]单调递增,又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不 同的交点,所以在区间[0,1]和(1,+∞)上分别有一个交点,

则f(1)=m<0,且f(1)=m+5>0,解得-5<m<0.
答案 (-5,0)

考点三 二次函数的零点问题 【例3】 已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.

(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集; (2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点, 求实数a的取值范围.

解 (1)因为不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2], 所以 a=-3,于是 f(x)=x2-3x+2. 由 f(x)≥1-x2,得 2x2-3x+1≥0, 1 解得 x≤2或 x≥1, ? ? ? 1 2 所以不等式 f(x)≥1-x 的解集为?x?x≤2 或x≥1 ?. ? ? ?

(2)函数 g(x)=2x2+ax+3 在区间(1,2)上有两个不同的零点, ?g(1)>0, a+5>0, ? ? ? ?g(2)>0, ?2a+11>0, 则? 即? a ?-8<a<-4, ?1<-4<2, ? ? ?a<-2 6或a>2 6, 2 ?Δ =a -24>0, 解得-5<a<-2 6. 所以实数 a 的取值范围是(-5,-2 6).

规律方法

解决与二次函数有关的零点问题: (1) 可利用一

元二次方程的求根公式; (2) 可用一元二次方程的判别式及 根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.

【训练3】 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一
个零点比1小,求实数a的取值范围. 解 法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分

别为x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2-1)<0,

∴x1x2-(x1+x2)+1<0,
由根与系数的关系,得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即a2+a-2<0,∴-2<a<1. 法二 函数图象大致如图,则有f(1)<0,即1+(a2-1)+a-

2<0,得a2+a-2<0,∴-2<a<1.

故实数a的取值范围是(-2,1).

[思想方法] 1.判定函数零点的常用方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.

2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个 数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 .

[易错防范] 1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y= f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要

条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合
函数图象.


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