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广东省江门市2011-2012学年第二学期普通高中高二调研测试数学(理科)


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江门市 2011-2012 学年第二学期普通高中高二调研测试


参考公式:锥体的体积公式 V ? 方差公式 s ?
2

学(理科)
1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

本试卷共 21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.不能使用计算器.

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] . n

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

⒈复数 Z ? (3 ? 4 i ) i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⒉等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,若 an ? 9 ? 2n ,则使得 S n 最大的序号 n ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

⒊如图 1,空间四边形 OABC 中,点 M 在 OB 上,且 OM ? 2 MB ,点 N 为 AC 的 中点。若 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则 MN ?
2 1 1 A. ? a ? b ? c 3 2 2 2 2 1 C. a ? b ? c 3 3 2 1 1 1 B. a ? b ? c 2 2 2 1 2 1 D. a ? b ? c 2 3 2
M B
图1

O

C
A

N

⒋若 sin

?

4 ? 3 ? ? , cos ? ,则角 ? 的终边所在的直线是 2 5 2 5

A. 7 x ? 24y ? 0 C. 24x ? 7 y ? 0

B. 7 x ? 24y ? 0 D. 24x ? 7 y ? 0

⒌设 ? 、 ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题中,正确的是 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? ⒍已知离散型随机变量 X 的 的分布列如右表,则 EX ? A. 0 .9 B. 1.0 C. 1 . 1
X P

B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ?
?2 0.15

1 0.50

2

a

D. 1.2

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开始 输入 m

⒎阅读图 2 的程序框图,若输入 m ? 6 ,则输出 i ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

⒏将正偶数按下表排列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 第二行 第三行 第四行 …… 16 32 2 14 18 30 …… 4 12 20 28 6 10 22 26 …… 8 24

i ? m ?1
i 整除 m ?
是 输出 i 结束 图2 否

i ? i ?1

则 2012 所在的位置是 A.第 252 行第 3 列 C.第 251 行第 3 列 B.第 252 行第 4 列 D.第 251 行第 4 列

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题)

⒐在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 4 , a7 ? 6 ,则 a9 ? _______ . ⒑对于曲线 C :
x2 y2 ? ? 1 ,给出下面四个命题: 4 ? k k ?1

①曲线 C 不可能表示椭圆;

②当 1 ? k ? 4 时,曲线 C 表示椭圆;

③若曲线 C 表示双曲线,则 k ? 1 或 k ? 4 ; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ? 其中所有正确命题的序号为__ _ __ .
5 . 2

⒒若 X ~ N (1 , 4) , P(?1 ? X ? 3) ? 0.6826, P( X ? 3) ? ________ . ⒓已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 . 它的否定 ? p : __________ __________ __ .
?x ? y ? 5 ? 0 ? ⒔已知 x 、 y 满足 ? x ? 3 ,且 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? 3 ,则常数 k ? ____. ?x ? y ? k ? 0 ?
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

2 ⒕ ( x 2 ? ) 8 的展开式中, x 4 的系数是_ x
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_

__ (用数字表示) .

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⒖曲线 y ? e x , y ? e , x ? 0 围成的图形的面积 S ? _______(用数字表示) .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2
x ? 3 sin x , x ? R . 2

? ⑴求 f (? ) 的值; 3

⑵求函数 f ( x) 的单调递增区间.

⒘(本小题满分 13 分) 如图 3,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中 点. ⑴求多面体 AEFCD? A1 B1C1 D1 的体积; ⑵求 D1 F 与平面 B1 EF 所成角的余弦值.
E B A F D

C

A1 B1
⒙(本小题满分 13 分)

D1
图3

C1

已知某同学上学途中必须经过三个交通岗, 且在每一个交通岗遇到红灯的概
1 率均为 ,假设他在 3 个交通岗是否遇到红灯是相互独立的,用随机变量 ? 表示 3

该同学上学途中遇到红灯的次数. ⑴求该同学在第一个交通岗遇到红灯,其它交通岗未遇到红灯的概率; ⑵若 ? ? 2 ,则该同学就迟到,求该同学不迟到 的概率; ... ⑶随机变量 ? 的数学期望和方差. ⒚(本小题满分 14 分) 设 Pn (an , an?1 )( n ? N ? ) 是直线 l :y ? 2 x ? 1 上的点列, 其中 P 1是 l 与 y 轴 的交点. ⑴求 a1 , a2
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⑵用数学归纳法证明:对于一切正整数 n , an ? 2 n?1 ? 1; ⑶记直线 l 与直线 x ? an 、 x ? an?1 、 x 轴围成的梯形的面积为 bn ( n ? N ? ) , 试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

⒛(本小题满分 14 分) 已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,过点 M (2 , 4) 作圆 C 的两条切线,切点分别 为 A 、 B ,直线 AB 恰好经过椭圆 T : 点. ⑴求椭圆 T 的方程; ⑵记过点 M 的两条切线中经过第二象限的为 l ,P 是椭圆 T 上任意一点,P 到直线为 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围.
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点和上顶 a2 b2

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x . ⑴证明:当 0 ? x ? 1 时, e x ?
1 ; 1? x

⑵若函数 h( x) ?| 1 ? f (? x) | ?af ( x) ? 3 ( a ? 0 是常数)在区间 [? ln 3 , ln 3] 上 有零点,求 a 的取值范围.

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一、选择题 二、填空题 ⒐9 BCDD CABA

学(理科)
评分参考

⒑③④(只填 1 个正确的给 3 分;若填有错误的,则为 0 分) ⒓ ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ( x0 全写成 x 不扣分; ? 写成 ? 给 3
2

⒒0.1587
分)

⒔0 三、解答题

⒕1120

⒖1

? ? ? ⒗⑴ f (? ) ? 2 sin 2 (? ) ? 3 sin( ? ) ……1 分, 3 6 3
1 3 ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? ) ……3 分, ? ?1 ……5 分 2 2
⑵ f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ……7 分, ? 2 sin( x ?
2k? ?

?
6

) ? 1 ……9 分,解不等式 2? ( k ? Z )……11 3

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

……10 分,得 2k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

分,所以 f ( x) 的单调递增区间为 [2k? ?

?
3

, 2k? ?

2? ] ( k ? Z )……12 分 3

(是否包含区间端点不扣分; k ? Z 写一次即可) ⒘⑴
VB1 ? BEF ?

VABCD? A1B1C1D1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 8

……1





1 1 1 1 1 Sh ? ? S ?BEF ? B1 B ……2 分, ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ……3 分,所以, 3 3 3 2 3 23 ……4 分 3

多面体 AEFCD? A1 B1C1 D1 的体积 V ? V ABCD? A1B1C1D1 ? VB1 ? BEF ?

⑵以 B1 为原点, B1C1 、 B1 A1 、 B1 B 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系……5 分,则 B1 (0 , 0 , 0) , D1 (2 , 2 , 0) , E (0 , 1 , 2) , F (1 , 0 , 2) ……6 分,

? ?n ? EF ? 0 设 平 面 B1 EF 的 一 个 法 向 量 为 n ? (a , b , c) , 则 ? ……8 分 , 即 ? n ? B F ? 0 1 ?

?a ? b ? 0 ? ?a ? 2c ? 0
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……9
c

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, 则






n ? D1 F

c ?1

n ? (?2 , ? 2 , 1)

……10





? o n ,s D1 F ??

| n | ? | D1 F |

……11 分, ?

8 ……12 分, D1 F 与平面 B1 EF 所成角 9

的余弦值 cos? ? sin ? n , D1 F ??

17 ……13 分。 9

⒙⑴用事件 Ai (i ? 1 , 2 , 3) 表示该同学在第 i 个交通岗遇到红灯, 事件 B 表示 “在第一个交通岗遇到红灯,其它交通岗未遇到红灯”……1 分, 则 B ? A1 A2 A3 ,且事件 Ai (i ? 1 , 2 , 3) 两两相互独立……2 分,
1 2 2 4 所以 P( B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? ……4 分 3 3 3 27

⑵因为该同学经过三个交通岗时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成 3 1 次独立重复试验,即 ? ~ B (3 , ) ……6 分,所以该学生不迟到的概率为: 3 20 0 1 0 2 3 1 1 1 2 2 P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ( ) ? ……9 分 3 3 3 3 27 1 2 7 20 3 1 3 2 0 ( ) ( ) ] ?1? ? ( 或 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1 ? [C32 ( ) 2 ( )1 ? C3 ……9 3 3 3 3 27 27 分) 1 1 ⑶ ? ~ B (3 , ) ,所以 ? 的数学期望 E? ? np ? 3 ? ? 1 ……10 分,方差 3 3
1 2 2 D? ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? ……12 分 3 3 3

答(略)……13 分(这是全部三个小问的答,共 1 分;若每问求得的结果 都有文字说明,则没有这个“答”也不扣分。这 1 分记在第⑶小问) ⒚⑴依题意, a1 ? 0 ……1 分, a2 ? 2a1 ? 1 ? 1 ……2 分 ⑵ n ? 1 时,由得 a1 ? 0 ? 21?1 ? 1 ,命题成立……3 分, 假设当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立, 即 ak ? 2 k ?1 ? 1……4 分, 因为 Pk (ak , ak ?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上,所以 ak ?1 ? 2ak ? 1 ……6 分, ? 2 ? (2 k ?1 ? 1)? ? 2( k ?1)?1 ? 1, 所以,当 n ? k ? 1 时命题成立……7 分。 综上所述,对于一切正整数 n , an ? 2 n?1 ? 1……8 分。

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a n ?1 ? a n ? 2 ? (a n ?1 ? a n ) ……10 2

⑶ ( 方 法 一 ) 依 题 意 bn ?
? 3 ? 4 n?1 ? 2 n?1 ……11 分,

分 ,

3 ? (1 ? 4 n ) 1 ? 2 n Sn ? ? ……13 分, ? 4 n ? 2 n ……14 分。 1? 4 1? 2

(方法二)依题意, S n 是直线 l 与直线 x ? a1 、 x ? an?1 、 x 轴围成的梯形 的面积……10 分, S n ?
a2 ? an?2 ? (a n ?1 ? a1 ) ……12 分, ? 4 n ? 2 n ……14 分。 2

⒛⑴观察知, x ? 2 是圆 C 的一条切线,切点为 A(2 , 0) ……1 分,根据圆的 切线性质,MC ? AB ……2 分, 所以 k AB ? ?

1 k MC

1 所以直线 AB 的 ? ? ……3 分, 2

1 方程为 y ? 0 ? ? ( x ? 2) ……4 分。直线 AB 与 y 轴相交于 (0 , 1) ,依题意 a ? 2 , 2
b ?1

……5 分,所求椭圆 T 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……6 分 4

⑵设 l :y ? 4 ? k ( x ? 2) , 即 kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 , 解d ? ……7 分,得 k ?

| k ? 0 ? 0 ? 4 ? 2k | k 2 ?1

?2

3 ……8 分, l 在椭圆 T 外,若 P 到直线 l 的距离取最大(小) 4 3 x ? b ……9 分, 4

值, 则经过 P 且与 l 平行的直线 PQ 与椭圆 T 相切, 设 PQ :y ?

? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 由 ? 得 13x 2 ? 24bx ? 16(b 2 ? 1) ? 0 ……10 分 , 由 ? ? 0 解 得 ?y ? 3 x ? b ? 4 ?

b?

? 13 ……11 分,所以 l : 3x ? 4 y ? 10 ? 0 , PQ : 3x ? 4 y ? 2 13 ? 0 ……12 2

分, l 与 PQ 之间的距离 d 0 ?

| 10 ? 2 13 | 3 ?4
2 2

?

10 ? 2 13 ……13 分,所求 d 的取值 5

?10 ? 2 13 10 ? 2 13 ? , 范围为 ? ? ……14 分. 5 5 ? ?

(第⑴问学生正确求出方程既给满分,若用到第⑵问评分的知识方法,在不 重复给分前提下相应给分; 第⑵问若学生用参数方程求解, 可参考上述评分给分)
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x 0 ? x ? 1) 21.⑴设 g ( x) ? (1 ? x)e(其中 ……1 分, g / ( x) ? (1 ? x)e x ? e x ? ? xe x

……2 分,g / ( x) ? 0 ,g ( x) 在区间 [ 0 , 1 ) 单调减小……3 分, 所以 g ( x) ? g (0) ? 1 , 1 即 (1 ? x)e x ? 1,因为 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0 ,所以 e x ? ……4 分 1? x
?x x ? ?? e ? ae ? 2 , ⑵依题意, h( x) ? ? ? x x ? ?e ? ae ? 4 ,

x ? 0, x ? 0.

……5 分

/ 设 h1 ( x) ? ?e ? x ? aex ? 2 (其中 a ? 0 , 0 ? x ? ln 3 ) , h1 ( x) ? e ? x ? aex ? 0 ,

h1 ( x) 在 [0 , ln 3] 上 单 调 递 增 ……6 分 , h1 ( x) 在 [0 , ln 3] 上 有 零 点 当 且 仅 当
7 7 h1 (0)h1 (ln 3) ? 0 ,解 h1 (0)h1 (ln 3) ? (a ? 3)( 3a ? ) ? 0 得 ? a ? 3 ……7 分 3 9
/ 设 h2 ( x) ? e ? x ? aex ? 4(其中 a ? 0 , ? ln 3 ? x ? 0 ) , h2 ( x) ? ?e ? x ? aex ,解

1 / h2 ( x) ? 0 得 x ? ? ln a ……8 分 2
1 / 当 0 ? a ? 1 时,? ln a ? 0 ,h2 ( x) ? 0 ,h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上单调递减……9 2

分,h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上有零点当且仅当 h2 (? ln 3) ? 0 或 h2 (0)h2 (? ln 3) ? 0 ,解得
a ? 3 与 a ? 1 不符……10 分

同理,当 a ? 9 时, h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上无零点……11 分
1 1 当 1 ? a ? 9 时, ? ln 3 ? ? ln a ? 0 , h2 ( x) 在 [? ln 3 , ? ln a] 上单调递减,在 2 2
1 [ ? ln a , 0) 上 单 调 递 增 ……12 分 , h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上 有 零 点 当 且 仅 当 2 1 1 h2 (? ln 3)h2 (? ln a ) ? 0 或 h2 (0)h2 (? ln a ) ? 0 ,解得 3 ? a ? 4 ……13 分 2 2

7 7 综上所述, a 的取值范围为 [ , 3] ? [3 , 4] ? [ , 4] ……14 分 9 9

第 8 页 共 8 页

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