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朝阳区2011-2012年高三年级第一学期期末统一考试(数学文)


北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(文史类)
第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。

2012.1

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知集合 M ? { x | x ? 3}, N ? { x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N 等于 A. ? C. { x | 0 ? x ? 3}
? x ? 3} 2 D. { x | 2 ? x ? 3}





B. { x |

1

2.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x , 3) ,且 a ⊥ b ,则实数 x 的值为 A. ? 9 3. 函数 y ? ?
?x2 ?





B. ? 1
( x ? 0)

C. 1

D. 9

? 2 x ? 1( x ? 0 ) ?

的图象大致是





4. 设数列 ? a n ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 且 a1 , a 3 , a 6 成等比数列,则 ? a n ? 的前 n 项和 S n 等于 ( ) A.
n
2

?

7n 8

B.

n

2

?

7n 4

C. )

n

2

?

3n 4

D. n ? n
2

8

4

2

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ? 1 C. ? 2 D. 0

1

6. 函数 f ( x ) ? 2 ?
x

2 x

? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是(



A. (1, 3)

B. (1, 2)

C. (0 , 3)
?
7 ) ,b ? f (

D. (0, 2 )
?
6 ) ,c ? f(

7. 已 知 函 数 f ( x ) ? s i n x ? ( ) A. a ? b ? c

3 c o s ,设 a ? f ( x

?
3

) ,则 a, b, c 的大小关系是

B. c ? a ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a
2

8. 已知集合 A ? {( x , y ) | x ? n , y ? na ? b , n ? Z } , B ? {( x , y ) | x ? m , y ? 3 m ? 1 2, m ? Z } .若存在实数
a , b 使得 A ? B ? ? 成立,称点 ( a , b ) 为“£”点,则“£”点在平面区域 C ? { ( x , y ) | x ? y ? 108} 内的
2 2

个数是 A. 0

( B. 1

) C. 2

D. 无数个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.
x ? 1, ? ? y ? x, 9. 若变量 x , y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? 2 x ? 3 y ? 6, ?

.

10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取 200 辆汽车进行测速分析,其时速的频率分布直方图如图 所示,则时速在区间 [60, 70) 上的汽车大约有 辆.
0 04 0 03 0 02 0 01
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频率 组距
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O

40 50

60 70

80 时速(km/h)

11. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 是 .
3

3 2 主视图 2 俯视图 2 侧视图 2

12. 设直线 x ? m y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交于 A , B
2 2

两点,且弦 A B 的长为 2 3 ,则实数 m 的值是

.

13. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y (万元)与机器运转 时间 x (年数, x ? N )的关系为 y ? ? x ? 1 8 x ? 2 5 .则当每台机器运转
2
?

年时,年平均利润最大,最大值是

万元.
2

14. 已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c ,在 a , b , c 三个数中取两个较大的数,按上述 规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. (1)若 a ? 1, b ? 3 ,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________; (2)若 p ? q ? 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 ( q ? 1) ( p ? 1) ? 1 ( m , n 为正整数) ,则 m , n 的值分
m n

别为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在锐角三角形 A B C 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足 3 a ? 2 b sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ?
??? ???? ? 7 , c ? 2 ,求 A B ?A C 的值.

16. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,平面 SA D Q 为 S B 的中点. (Ⅰ)求证: C D ? 平面 S A D ; (Ⅱ)求证: P Q // 平面 S C D ;

?

平面 A B C D .四边形 A B C D 为正方形,且 P 为 AD 的中点, S Q C P A D B
·

(Ⅲ)若 S A ? S D , M 为 B C 中点,在棱 S C 上是否存在点 N , 使得平面 D M N ⊥平面 A B C D ,并证明你的结论.

M

17. (本题满分 13 分) 如图,一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头 A 所指区 域的数字就是每次游戏所得的分数 (箭头指向两个区域的边界时重新转动) 且箭 , 头 A 指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家 庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘,得分记为 ( a , b ) (假设儿童和 成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动) . (Ⅰ)请列出一个家庭得分 ( a , b ) 的所有情况; (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和,且总得 分为偶数的家庭可以获得一份奖品.请问一个家庭获奖的概率为多少? 2 3 5 5 3 2 A

3

18. (本题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ? a ln x ?
ax 2
2

? 2 x, a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,试求函数 f ( x ) 的单调区间. 19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

1 2

,且过点 P (1, ) , F 为其右焦点.
2

3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设过点 A ( 4, 0 ) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、N 两点 (点 M 在 A , N 两点之间) 若 △ AMF 与 △ M F N , 的面积相等,试求直线 l 的方程. 20. (本题满分 14 分) 数列 { a n } , {b n } ( n ? 1, 2, 3, ? )由下列条件确定:① a1 ? 0, b1 ? 0 ;②当 k ? 2 时, a k 与 b k 满足:当
a k ?1 ? b k ?1 ? 0 时, a k ? a k ?1 , b k ?
a k ?1 ? b k ?1 2

;当 a k ?1 ? b k ?1 ? 0 时, a k ?

a k ?1 ? b k ?1 2

, b k ? b k ?1 .

(Ⅰ)若 a1 ? ? 1 , b1 ? 1 ,求 a 2 , a 3 , a 4 ,并猜想数列 { a n } 的通项公式(不需要证明) ; (Ⅱ)在数列 {b n } 中,若 b1 ? b 2 ? ? ? b s ( s ? 3 ,且 s ? N * ),试用 a 1 , b1 表示 b k , k ? {1, 2 , ? , s} ; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 { c n } ( n ? N *) 满足 c 1 ?
1 2

, c n ? 0 , c n ?1 ? ?

2

2?m

m am

c n ? c n (其中 m 为给
2

定的不小于 2 的整数),求证:当 n ? m 时,恒有 c n ? 1 .

4

北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(文史类)答案
一、选择题: 题号 答案 ( 1) D (2) B (3) B (4) A (5) D (6) C

2012.1

(7) B

(8) A

二、填空题: 题号 (9) 答案
18 5

(10)
80

(11)
3 3

(12)
? 3 3
5

(13)
8 255

(14)
8,1 3

注:若有两空,则第一个空 3 分,第二个空 2 分. 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 3 a ? 2 b sin A ? 0 , 根据正弦定理得:
3 sin A ? 2 sin B sin A ? 0 .?????????????????????3 分

因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B ?
?
3

3 2

. ??????????????????5 分

.

???????????????????6 分

?
3

.因为 b ?
2

7 ,c ? 2 ,

根据余弦定理,得 7 ? a ? 4 ? 4 a co s
2

?
3

, ??????????????8 分

整理,得 a ? 2 a ? 3 ? 0 .由于 a ? 0 ,得 a ? 3 . ???????????10 分 于是 co s A ?
b ?c ?a
2 2 2

?

7?4?9 4 7

?

7 14



????????????11 分

2bc
??? ???? ? ??? ???? ?

所以 A B ?A C ? A B ? A C co s A ? cb co s A ? 2 ?

7?

7 14

? 1 . ?????13 分

(16) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为四边形 A B C D 为正方形,则 C D 又平面 SA D ? 平面 A B C D , 且面 SA D ? 面 A B C D ? A D ,

? AD

. ???????1 分

5

所以 C D

?

平面 S A D .

?????????????????????3 分

(Ⅱ)取 SC 的中点 R,连 QR, DR. 由题意知:PD∥BC 且 PD= BC.???????4 分
2 1

S R(N) Q C P A D O B ·M

在 ? S B C 中, Q 为 S B 的中点,R 为 SC 的中点, 所以 QR∥BC 且 QR= BC.
2 1

所以 QR∥PD 且 QR=PD,

则四边形 P D R Q 为平行四边形. ???????????????????7 分 所以 PQ∥DR.又 PQ ? 平面 SCD,DR ? 平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD. ???????????????????????10 分 (Ⅲ)存在点 N 为 S C 中点,使得平面 D M N ? 平面 A B C D . ??????11 分 连接 P C 、 D M 交于点 O ,连接 P M 、 SP , 因为 P D // C M ,并且 P D ? C M , 所以四边形 P M C D 为平行四边形,所以 P O ? C O . 又因为 N 为 S C 中点, 所以 N O // SP .???????????????????????????12 分 因为平面 SA D ? 平面 A B C D ,平面 SA D ? 平面 A B C D = A D ,并且 S P ? A D , 所以 S P ? 平面 A B C D , 所以 N O ? 平面 A B C D , ????????????????????13 分 又因为 N O ? 平面 D M N , 所以平面 D M N ? 平面 A B C D .????????????????????14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,一个家庭的得分情况共有 9 种,分别为 (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2) ,
(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 2), (5, 5)

. ??????????????????????7 分

(Ⅱ)记事件 A:一个家庭在游戏中获奖,则符合获奖条件的得分情况包括 ( 2 , 2 ) (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5) 共 5 种, , ?????????????????11 分 所以 P ( A ) ?
5 9


5

所以一个家庭获奖的概率为 .
9

???????????????????13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) .
x
2

??????????????????1 分
1 x ( x ? 1) x
2

当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x ?

? 2 x ,因为 f ? ( x ) ?

? x?2?

?0,

?3 分

2

所以函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上单调递增,则当 x =e 时,函数 f ( x ) 取得最大值
e
2

f ( e )?

1 ?

? 2e .

?????????????????????????5 分

2

6

(Ⅱ) f ? ( x ) ?

ax ? 2 x ? a
2

.

?????????????????????6 分

x

当 a ? 0 时,因为 f ? ( x ) ? ? 2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上单调递减;?7 分 当 a ? 0 时,⑴当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 时,即 a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上单调
2

递增;

??????????????????????9 分
2

⑵当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x ) ? 0 解得,
1? 1? a a 1? 1? a a
2 2

0? x?

,或 x ?

1?

1? a a 1?

2

.

????????????????10 分

由 f ?( x ) ? 0 解得

? x?

1? a a 1?

2



????????????11 分

所以当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,

1? a a

2

) 上单调递增;在

(

1?

1? a a

2

,

1?

1? a a

2

) 上单调递减, (

1?

1? a a

2

, ? ? ) 单调递增.

???13 分

(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为
c a ? 1 2
? y
2 2

,所以 a ? 2 c , b ?
3 2

3c .

?????????????1 分
1 4c
2

设椭圆方程为

x

2 2

? 1 ,又点 P (1,

) 在椭圆上,所以

?

3 4c
2

? 1,

4c

3c

解得 c ? 1 ,
2

????????????????????????????3 分
x
2

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1.

??????????????????????4 分

4

3

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4 ) , ???????????????????????5 分

? y ? k ( x ? 4 ), ? 2 2 消去 y 整理,得 y 由? x ? ? 1, ? 3 ? 4

(3 ? 4 k ) x ? 32 k x ? 64 k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

??????????????????6 分

由题意知 ? ? (32 k ) ? 4(3 ? 4 k )(64 k ? 12) ? 0 ,

7

解得 ?

1 2

? k ?

1 2

.

??????????????????????????7 分
32k
2 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 因为 △ A M F 与 △ M F N 的面积相等,

3 ? 4k

, ? ? ? ? ? ? ①, x1 x 2 ?

64k ? 12
2

3 ? 4k

2

.? ②.

所以 A M ? M N ,所以 2 x1 ? x 2 ? 4 . ? ? ? ? ? ? ③ 由①③消去 x 2 得 x1 ?
4 ? 16k 3 ? 4k
2

??????????????10 分

2

.?????? ④
64k ? 12
2

将 x 2 ? 2 x1 ? 4 代入②得 x1 ( 2 x1 ? 4 ) ?
4 ? 16k 3 ? 4k
2

3 ? 4k

2

.?????? ⑤

将④代入⑤

2

(2 ?

4 ? 16k 3 ? 4k

2

2

? 4) ?

64k ? 12
2

3 ? 4k

2



整理化简得 3 6 k ? 5 ,解得 k ? ?
2

5 6

,经检验成立.

??????????12 分

所以直线 l 的方程为 y ? ? (20) (本小题满分 14 分)

5 6

( x ? 4) .

????????????????13 分

(Ⅰ)解:因为 a 1 ? b1 ? 0 ,所以 a 2 ? a 1 ? ? 1 , b 2 ?
a 2 ? b2 2

a 1 ? b1 2

? 0.

??1 分

因为 a 2 ? b 2 ? ? 1 ? 0 ,则 a 3 ?
a4 ? a 3 ? b3 2 ? a3 2 ? ? 1 2
2

? ?

1 2

, b3 ? b 2 ? 0 .

??????2 分

.

????????????????????3 分
n?2

?1? 猜想当 n ? 2 时, a n ? a 2 ? ? ? ?2?

?1? ? ?1? ? ? ?2?

n?2

? ? 2

1
n?2

.

? ? 1, n ? 1, ? 则 an ? ? 1 ? ? n?2 , n ? 2. ? 2

??????????????????????4 分

(Ⅱ)解:当 2 ? k ? s 时,假设 a k ?1 ? b k ?1 ? 0 ,根据已知条件则有 b k ? b k ? 1 , 与 b1 ? b 2 ? ? ? b s 矛盾,因此 a k ?1 ? b k ?1 ? 0 不成立, ????????5 分

8

所以有 a k ?1 ? b k ?1 ? 0 ,从而有 a k ? a k ?1 ,所以 a k ? a1 .

????????6 分

当 a k ?1 ? b k ?1 ? 0 时, a k ? a k ?1 , b k ? 所以 b k ? a k ?
a k ?1 ? b k ?1 2 ? a k ?1 ? 1 2

a k ?1 ? b k ?1 2

,

( b k ?1 ? a k ?1 ) ;

??????????8 分

当 2 ? k ? s 时,总有 b k ? a k ? 又 b1 ? a1 ? 0 ,

1 2

( b k ? 1 ? a k ? 1 ) 成立.

所以 {b k ? a k } ( k ? 1, 2 , ? , s )是首项为 b1 ? a 1 ,公比为
?1? b k ? a k ? ( b1 ? a 1 ) ? ? ?2?
k ?1

1 2

的等比数列, ??9 分

, k ? 1, 2, ? , s ,
k ?1

又因为 a k ? a1 ,所以 b k ? ( b1 ? a 1 ) ?
2?m

?1? ? ?2?
2

? a1 .

??????????10 分

(Ⅲ)证明:由题意得 c n ? 1 ? ?

2

m am
? 1 m

cn ? cn

cn ? cn . 1 m cn ? 0 .
2

2

因为 c n ? 1 ?

1 m

c n ? c n ,所以 c n ? 1 ? c n ?
2

所以数列 { c n } 是单调递增数列.

??????????????????11 分

因此要证 c n ? 1( n ? m ) ,只须证 c m ? 1 . 由 m ? 2 ,则 c n ? 1 ?
1 m cn ? cn <
2

1 m
1

c n c n ?1 ? c n ,即

1 c n ?1 1 )?

?

1 cn 1

? ?

1 m

. ?12 分

因此

1 cm

? (

1 cm

?

1 c m ?1

)?(

1 c m ?1

?

)?? ? (

1 c2

?

c m?2

c1

c1

? ?

m ?1 m m

?2 ?

m ?1 m

.

所以 c m ?

m ?1

?1.

故当 n ? m ,恒有 c n ? 1 .

?????????????????????14 分

9


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