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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第16讲 导数的综合应用


1 .掌握利用导数解决实际生活中的优化 问题的方法和步骤,如用料最少、费用 最低、消耗最省、利润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等综合问题 的解题方法.

1.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求 函数的最值问题 其解题的程序:读题(文字语言) ? 建模(数学语言) ? 求解(数学应用) ? 反馈(检验作答) 注意事项:

r />?1?函数建模,要设出两个变量,根据题意分析它们
的关系,把变量间的关系转化成函数关系式,并确 定自变量的取值范围;

? 2 ?问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合 问题的实际意义; ? 在函数定义域内只有一个极值, ?3
则该极值就是所求的最大(小)值.

2.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类

?1? 求参数的取值范围.多数给出单调性,利用导数
研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转 化、分类讨论、数形结合等思想方法,建立关于字 母参数的不等关系.

? 2 ? 用导数方法证明不等式.其步骤一般是:构造可
导函数 — — 研究单调性或最值 — —得出不等关系 — — 整理得出结论.

? 3? 与几何图形相关的最值问题.根据几何知识建立
函数关系,然后用导数方法求最值.

1.已知函数 f(x)=x3-3x+1,若方程 f(x)=a 有三个不同 的实数根,则 a 的范围是 (-1,3) .

【解析】 因为 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 所以当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0. 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0, 当 x=-1 时,f(x)有极大值为 f(-1)=3; 当 x=1 时,f(x)有极小值为 f(1)=-1, 所以 f(x)=a 有三个不同实根,则-1<a<3, 故 a 的取值范围是(-1,3).

2.已知 a=x,b=lnx,c=ex,其中 x>0,则 a,b,c 的大 小关系是(从小到大) b<a<c .

【解析】 令 f(x)=x-lnx, 1 x-1 则 f′(x)=1- x= x =0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以当 x=1 时,f(x)取最小值,f(1)=1, 所以 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-lnx≥f(1)=1>0, 所以 x>lnx. 又令 g(x)=ex-x,则 g′(x)=ex-1>0(x>0), 所以 x∈(0,+∞)时,g(x)>g(0)=1>0, 所以 ex>x,故 ex>x>lnx,即 b<a<c.

60-x 3.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x · 2
2

(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长是( A.30 C.50 B.40 D.其他

)

1 3 【解析】V(x)=-2x +30x2, 3 2 3 2 V′(x)=-2x +60x=-2(x -40x) 3 =-2x(x-40)(0<x<60). 由 V′(x)=0,得 x=40. 而当 0<x<40 时,V′(x)>0; 当 40<x<60 时,V′(x)<0, 所以 V(x)max=V(40)=16000, 所以当 x=40 时,V(x)取最大值.故选 B.

4.某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨)与每 1 2 吨产品的价格 P(吨/元)之间的函数关系为 P=24200-5x , 且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元,则该厂每月生产 200 元. 吨产品才能使利润达到最大,最大利润是 315 万

【解析】设生产 x 吨产品,利润为 y 元, 1 2 则 y=Px-R=(24200-5x )· x-(50000+200x) 1 3 =-5x +24000x-50000. 3 2 令 y′=-5x +24000=0,得 x=200. 所以当每月生产 200 吨产品时,利润达到最大,最大利 润是 315 万元.

5.设矩形 ABCD 的 A、B 两点在 y=sinx(0<x<π)的图象上, π C、D 两点在 x 轴上,且 D(x0,0)(0<x0<2),欲使矩形面积最大, 则 x0 的取值范围是( π A.(0,6) π π C.(4,3) ) π π B.(6,4) π π D.(3,2)

【解析】因为 D(x0,0),又 ABCD 为矩形, 由对称性可知 C(π-x0,0),A(x0,sinx0), 所以|CD|=π-2x0,|AD|=sinx0, π 所以矩形的面积 S(x0)=(π-2x0)sinx0(0<x0<2), 则 S′(x0)=πcosx0-2sinx0-2x0cosx0 =-2sinx0+(π-2x0)cosx0.

π π 2π π 3π 由 S′(6)=-2sin6+ 3 · 6=-1+ 3 >0, cos π π π π π 2 S′(4)=-2sin4+2· 4=- 2+ 4 <0. cos π π 可知 S′(x0)=0 在(6,4)有根,即为其最大值点,故选 B.



利用导数解决不等式问题

2x 【例 1】证明:当 x>0 时,ln(1+x)> . x+2

2x 【证明】 设 f(x)=ln(x+1)- (x>0), x+2 1 4 x2 所以 f′(x)= - 2= 2. x+1 ?x+2? ?x+1??x+2? 又 x>0,所以 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 2x 所以 f(x)>f(0)=0,即 ln(x+1)> (x>0). x+2

【点评】有关“超越型不等式”的证明,构造函 数,应用导数是常用证明方法.

素材1

(1)方程 xlnx-2=0 的根的个数是

1 ;

(2)当 x>0 时,不等式 xlnx-a>0 恒成立,则 a 的取值范围 1 是 (-∞,- e) .

【解析】(1)令 f(x)=xlnx(x>0),则 f′(x)=lnx+1. 1 由 f′(x)=0,得 x=e . 1 当 x∈(0,e)时,f′(x)<0; 1 当 x∈(e ,+∞)时,f′(x)>0, 1 1 所以 f(x)在(0,e)上递减,在(e ,+∞)上递增. 1 1 1 所以当 x=e 时,f(x)有最小值 f(e)=-e.

又当 0<x<1 时,f(x)<0;当 x 足够大时,f(x)的值也足够大. 故 xlnx-2=0 有且只有一个根. (2)由(1),a<xlnx 恒成立,则 a<[xlnx]min, 1 所以 a<- e.



利润最大问题

【例 2】受金融危机的影响,三峡某旅游公司经济效 益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一景点进行改 造升级,提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加 51 x 2 值 y 万元与投入 x 万元之间满足:y=50x-ax -ln10, 1 x ∈[t,+∞),其中 t 为大于2的常数.当 x=10 2x-12 时,y=9.2. (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 的值.

【解析】 (1)因为当 x=10 时,y=9.2, 51 1 2 即50×10-a×10 -ln1=9.2,解得 a=100, 51 x2 x 所以 f(x)=50x-100-ln10. 1 12t x 因为 ≥t 且 t>2,所以 6<x≤ . 2x-12 2t-1 12t 即投入 x 的取值范围是(6, ]. 2t-1

(2)对 f(x)求导, x2-51x+50 51 x 1 得 f′(x)=50-50-x =- 50x ?x-1??x-50? =- . 50x 令 f′(x)=0,得 x=50 或 x=1(舍去). 当 x∈(6,50)时,f′(x)>0,且 f(x)在(6,50]上连续, 因此,f(x)在(6,50]上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且 f(x)在[50,+∞)上连续.

因此,f(x)在[50,+∞)上是减函数. 所以 x=50 为极大值点. 12t 1 25 当 ≥50,即 t∈(2,44]时,投入 50 万元改造时取 2t-1 得最大增加值; 12t 25 12t 当 6< <50,即 t∈(44,+∞)时,投入 万元改 2t-1 2t-1 造时取得最大增加值.

【点评】收益问题备受人们的关注,它与数学密不可分.本 例注重知识迁移,通过问题的解决,培养运用导数的意识和 能力.

素材2

(1)已知某生产厂家年利润 y (单位: 万元)与年产量 x(单位: 1 3 万件)的函数关系式为 y=-3x +81x-234,则使该生产厂家 获得最大年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 )

B.11 万件 D.7 万件

(2)已知一家公司一年内共生产某品牌服装 x 千件全部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R(x) 万 元 , 且 R(x) =
? ?10.8- 1 x2 30 ? ? ?108 1000 ? x - 3x2 ?

?0<x≤10? ,而生产总成本为 Q(x)万元,且 ?x>10? 9 千件

Q(x)=10+2.7x,则该公司年生产这一品牌服装 时,获得的最大利润为 48.6 万元.

【解析】 (1)因为 y′=-x2+81,由 y′=0,得 x =9(-9 舍去). 当 x∈(0,9)时,y′>0;当 x∈(9,+∞),y′<0, 所以当 x=9 时,y 有最大值,故选 C.

(2)设年利润为 W(x), 则 W(x)=x· R(x)-Q(x)
? ?10.8x- 1 x3-10-2.7x ?0<x≤10? 30 ? =? 1000 ? ?108- 3x -10-2.7x ?x>10? ?



当 0<x≤10 时, 1 2 1 2 W′(x)=10.8-10x -2.7=-10x +8.1.

由 W′(x)=0,得 x=9,且 0<x<9 时,W′(x)>0;当 9<x≤10 时,W′(x)<0, 所以当 x=9 时,W(x)有最大值为 W(9)=48.6(万元), 1000 27x 当 x>10 时,W(x)=98-( 3x + 10 )≤98-2×30=38, 1000 27x 100 当且仅当 3x = 10 ,即 x= 9 时,w(x)取最大值 38. 又因为 38<48.6,综上可知,当 x=9 时,W(x)max=48.6. 答:当年产量为 9 千件时,年利润最大为 48.6 万元.



成本最低问题

【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长 度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半 80π 球形,按照设计要求容器的体积为 3 立方米,且 l≥2r.假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每 平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

【解析】(1)设容器的容积为 V, 4 3 80π 由题意知 V=πr l+3πr ,又 V= 3 ,
2

4 3 V-3πr 80 4 4 20 故 l= πr2 =3r2-3r=3( r2 -r). 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr c=2πr×3( r2 -r)×3+4πr2c,
2

160π 因此 y=4π(c-2)r + r ,0<r≤2.
2

160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- r2 8π?c-2? 3 20 = r2 (r - ),0<r<2. c-2 由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 令 3 20 =m,则 m>0, c-2

8π?c-2? 所以 y′= r2 (r-m)(r2+rm+m2).

9 ①当 0<m<2 即 c>2时, 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点.

9 ②当 m≥2 即 3<c≤2时, 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤2时,建造费用最小时 r=2; 3 20 9 当 c>2时,建造费用最小时 r= . c-2

【点评】 利用导数解决生活中的优化问题时, 既要注意将问题 中涉及的变量关系用函数关系表示, 还要注意根据实际意义确 定其定义域,求得的结果一定要检验是否与实际相符.

素材3

统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y 1 3 3 =128000x -80x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千 米. (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙 地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最 少?最少为多少升?

100 【解析】 (1)当 x=40 时, 汽车从甲地到乙地行驶了 40 = 2.5 小时, 1 3 3 要耗油(128000×40 -80×40+8)×2.5=17.5 升. 故当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地耗油为 17.5 升.

(2)当速度为 x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶 100 了 x 小时,设耗油量为 h(x)升, 依题意得: 1 3 100 3 h(x)=(128000x -80x+8)·x 1 2 800 15 =1280x + x - 4 (0<x≤120),
3 3 800 x -80 x 则 h′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120).

令 h′(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 令 h′(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 所以,当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值, 所以它是最小值. 故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 耗油最少,为 11.25 升.

备选例题 某水渠的横截面如图所示, 它的曲边是抛物线形,

口宽 AB=2 m,渠深 OC=1.5 m,水面 EF 距 AB 为 0.5 m. (1)求截面图中水面的宽度; (2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形,并要求渠深 不变,不准往回填土,只能挖土,试求当截面梯形的下底 边长为多少时,才能使挖出的土最少?

3 【解析】建立坐标系,设抛物线方程为 x =2p(y+2),
2

1 以 B 点坐标(1,0)代入抛物线方程得 p=3, 2 3 所以抛物线的方程为 x =3(y+2).
2

1 6 (1)把 F 点的坐标(a,-2)代入抛物线的方程得 a= 3 , 2 6 所以水面宽 EF= 3 m.

32 3 (2)设抛物线上的一点 M(t,2t -2)(t>0), 因改造水渠不能填土只能挖土, 还要求挖的土最少, 所 3 2 3 以只能沿过 M 点与抛物线相切的切线挖土,由 y=2x -2. 得 y′=3x, 所以过点 M 的切线的斜率为 3t, 所以切线 32 3 的方程为 y=3t(x-t)+(2t -2), 1 1 3 t 当 y=0 时,x1=2(t+ t );当 y=-2时,x2=2.

3 1 3 2 所以截面的面积 S=4(2t+ t )≥ 2 . 1 2 当且仅当 2t= t ,且 t>0,即 t= 2 时,截面的面积最 2 小,此时下底的边长为 2 m.

【点评】导数作为一个工具在解应用题时具有非常重要的 作用,复习中应将导数的应用提升一个高度.本例将实际 问题与抛物线、导数的几何意义结合考查,有助于训练学 生思维和创新意识.

1.应用导数证明不等式,关键在于 构造适当的函数. 2.利用导数解决优化问题,关键在 于建立目标函数,并且还要根据实 际问题,写出函数的定义域. 3.在求实际问题的最值时,如果只 有一个极值点,则此点就是最值点.


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