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2013届广东省六校高三第三次联考理科数学及答案


广东省六校 2013 届高三第三次联考理科数学试题
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、 选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求,把答案填涂在答卷相应地方上)

(1 1. 复数 z 满足 z ? ? i ) ? 2i , 则 z 等于(
A.1 A.

{x | 0 ? x ? 1} 3.已知甲: ? B.

) C. 2 C. {x | x ? 0} D. 3 ) D. {x | x ? 1} )

2

2.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? B ? ( U B. {x | 0 ? x ? 1}

?a ? 1 ?a ? b ? 2 , 乙: ? ,则甲是乙的( b?1 ab ? 1 ? ?

A.充分非必要条件 C.充要条件 4. 函数 f ( x) ? 2sin ? A.

B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

? x ?? ? ? 的最小正周期为( ?3 ??
B.

) D. 6? ) D.30

? 3

2? 3

C. 3?

5. 等差数列 ?a n ? 中, a6 ? a10 ? 30 , a4 ? 10 ,则 a16 的值为( A.15 B.20 C.25

6. m n 是两条不同的直线,?,?,? 是三个不同的平面, 若 , 则下列命题中的真命题是 ( ) A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? 7. 已知实数 a , b 满足 ? A. 1 C. 3 B.若 m ? ?,m // ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? // ? )
开始

? ?1 ? a ? b ? 1 , 则 2a ? b 的最大值是 ( ? ?1 ? a ? b ? 1
B. 2 D. 4

8. 利用随机模拟方法可估计某无理数 m 的值, 为此设计如右图所示的程序框图,其中 rand() 表示产生区间(0,1)上的随机数, P 为 s 与 n 之 比值,执行此程序框图,输出结果 P 是 m 的 估计值,则 m 是 ( A. ) B.

n=0, s=0

否 n<10000 是

1 e

1 ?
II 卷 (非选择题)

x=rand(),

y=rand() 否 是

P=s / n
输出 P

C. ln2

D. lg3

y?

1 x?1
s=s+1

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分, 把答案填在答卷相应地方上) (一)必做题:第 9~13 题为必做题

结束

n=n+1

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 1 页 共 10 页

频率

9. 统计某校 1000 名学生的数学期中考成绩,得到 样本频率分布直方图如右图示,若不低于 80 分 即为优秀。据此估计,从这 1000 名学生中随机 选出 1 名学生,其数学期中考成绩为优秀的概 率是 10. 与椭圆 .

0.04 组距 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0005 40 50 60 70 80 90 100

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且离心率为 2 的 25 9

分数

双曲线标准方程是_______.

11. 已知 O 为坐标原点,点 C 是线段 AB 上一点, 且 A(1,1), C(2,3) , BC ? 2 AC , 则向量 OB 的坐标是_____ . 12. 设 P 为曲线 C: y ? x3 ? x 上的点,则曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角取值范围为_____. 13. 下图所示一系列数表依次是三项式 (a ? b ? c)n (n ? 0,1, 2,3,?) 展开式系数按一定规 律排列所得,可发现数表的第 k 行共有 k 个数。依此类推, 数表 6 的第 3 行第 1 个数为 ______,数表 6 的第 5 行第 3 个数为______.

??? ?

??? ?

??? ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生任选做一题,全答的只计算前题的得分. 14、 已知直线 L 的参数方程为: ?

?x ? t ? ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为: ? y ? a ? 3t ?

? x ? sin ? ( ? 为参数). 若直线 L 与圆 C 有公共点, 则常数 a 的取值范围是____. ? ? y ? cos ? ? 1
15. 如图所示,圆 O 的直径 AB=12,C 为圆周上一点, BC=6,过 C 作圆 O 的切线 l ,过 A 做直线 l 的垂线, 垂足为 D,AD 交圆 O 于 E, 则 DE= 指定区域作答,否则不给分) 16.(本小题满分 12 分) .

D

E A

C O
B

l

三、解答题: (共 6 题,满分 80,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,必须在答卷

B C 在锐角 ?ABC 中, , , 分别为内角 A , , 所对的边, 且满足 3a ? 2b sin A ? 0 . a b c
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

??? ??? ? ? 7 ,求 AB ? AC 的值.
2 ,有且 3

17. (本小题满分 12 分)某厂批量试验生产一种零件,对其中每个零件有 A 、 B 两项技术 指标需要检测,各项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 2 页 共 10 页

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格 12 品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检测,求其中 至少 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意抽取该种零件 3 个,设 ? 表示其中合格品的个数,
仅有一项技术指标达标的概率为 求 E? 与 D? . 18. (本小题满分 14 分)某企业某年生产某种产品,通过合理定价及促销活动,确保产销平 衡(根据市场情况确定产量,使该年所生产产品刚好全部销售完毕) ,年产量、年销量均 为 x 万件。已知每生产 1 万件产品需投入 32 万元的生产费用, 另外该年生产设备折旧、 维修等固定费用总共为 4 万元。每件产品定价为平均每件生产成本的 150%进行销售,

k ( k 为常数),当年促销费 t ?1 用 t ? 0 万元时年销量是 x ? 2 万件。 (Ⅰ)将年的利润 y (万元)表示为促销费 t (万
年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足关系: 6 ? x ? 元)的函数; (Ⅱ)该企业年促销费投入多少万元时,企业年利润最大?相应年产量及最 大年利润为多少?注:生产成本=固定费用 ? 生产费用 (不包括促销费用) 利润=销售收入 ? 生产成本 ? 促销费 19.(本小题满分 14 分)在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,
P

AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,
A C B D

PQ 且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 ,求 的值.
3

PB

20. (本小题满分 14 分) 数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 Sn ? an ? ? n ( n ? N * ) 恒成 立.(1) 求数列 an 的通项公式;(2) bn ? ln(an ? 1) ,求 ?an bn ? 的前 n 项和; (3) 求证:

? ?

? ?

1 1 1 ? 2 ??? n ?2. 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (ax ? 1)ln( x ? 1) ? x .(1) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 求证:当 x ? 0 时 (3) 若 (1 ? 小值。

1 1 1 ? ? 恒成立; ln( x ? 1) x 2

1 n? a ) ? e 对任意的 n ? N * 都成立(其中 e 是自然对数的底), 求常数 a 的最 n

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 3 页 共 10 页

参考答案
1.B 2. B 3.A 4. D
2

5. C
2

6. C 7. B 8. C 11. 答(4,7) 14.答 [?1, 3] 15.答 3

9. 答 0.2 12. 答 [0,

10. 答:

?
2

) ?[

3? ,? ) 4

x y ? ?1 4 12
13. 答 10, 30

注:第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分 第 8 题提示:框图表示的随机模拟方法是: 已知点(x,y)为区域 ? 曲线 y ?

?0 ? x ? 1 内随机取点求其在 ?0 ? y ? 1

1 下方的概率 P 的估计值,由积分可得条件区域面积为 ln2,故满足条件的概 x ?1
5 5 4 3 2 2 3 4 5

率 P 为 ln2. 第 13 题: (a ? b ? c) ? (a ? b) ? 5(a ? b) c ? 10(a ? b) c ? 10(a ? b) c ? 5(a ? b)c ? c

(a ? b)5 ? a5 ? 5a4b ? 10a3b2 ? 10a2b3 ? 5ab4 ? b5
其系数为数表 6 第一斜列的数即各行第一个数

5(a ? b)4 c ? 5(a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4 )c ? 5a4 c ? 20a3bc ? 30a2b2 c ? 20ab3c ? 5b4 c
其系数为第二斜列的数(即第 2 行起各行第 2 个数)

10(a ? b)3 c2 ? 10(a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 )c2 ? 10a3c2 ? 30a2bc2 ? 30ab2 c2 ? 10b3c2
其系数为第三斜列的数(即第 3 行起各行第 3 个数)

5(a ? b)c4 ? 5ac4 ? 5bc4 其系数为第四斜列的数。
法二:由杨辉三角可知数表 n 的第一斜列数为杨辉三角数, 第 k 行的数是由杨辉三角相应各数乘以此行第一个数而得到的。 三、解答题: (共 6 题,满分 80,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.解: (Ⅰ)由正弦定理得

a b ? ………… 1 分 sin A sin B 因为 3a ? 2b sin A ? 0 , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0 , ………… 2 分
因为 A 为锐角 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ?

?
?
3

3 . 2

……………3 分 ……… 4 分

. .因为 b ?
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B ?

3

7,

根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos 整理,得 (a ? c) ? 3ac ? 7 .
2

?
3



……………6 分

由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . 于是 cos A ?
2 2 2

……… 8 分

b ?c ?a 7? 4?9 7 , ……… 10 分 ? ? 2bc 14 4 7 ??? ???? ??? ???? ? ? 7 ? 1. 所以 AB ? AC ? AB ? AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ? ……… 12 分 14 3 ? ? 两项技术指标达标的概率分别为 P 、 P2 . 17.解: (Ⅰ)设 A 、 B P ? 4 …………1 分 1 ? 1 ? ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 4 页 共 10 页 2 1 2 ? 1 12 ?

由题意得: P ? 1 ∴

2 , 3

…3 分,解得: P2 ?

3 . 4

…………4 分

一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P P2 ? 1
5 5 5

2 3 1 ? ? . 3 4 2

……………5 分

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至少 3 个零件是合格品的概率为:

1 ?1? 4 ?1? 5 ?1? P3 ? C ? ? ? C5 ? ? ? C5 ? ? ? . 2 ? 2? ? 2? ? 2? 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B(3, ) , 2 1 3 ? E? ? 3 ? ? , 2 2 1 1 3 D? ? 3 ? ? ? . 2 2 4
3 5

……………8 分 ……………10 分 ……………11 分 ……………12 分

(注:全题没有文字表述的扣 2 分) 18.解: (Ⅰ)依题意: x ? 6 ?

k ,将 t ? 0 , x ? 2 代入得 k ? 4 , t ?1 4 所以年销售量 x ? 6 ? (t ? 0) ……………………2 分 t ?1
……………4 分 ……………5 分

依题意,产销平衡即年产量等于年销量 x 万件,所以当年生产 x (万件)时,

4 128 ) ? 4 ? 196 ? , t ?1 t ?1 128 ? ? 平均每件产品生产成本= ?196 ? ??x t ?1? ?
年生产成本 ? 32 x ? 4 ? 32(6 ? 年销售收入= ??196 ?

?? ??

128 ? ? 3? 128 ? 150%?x ? ?196 ? ? ? x ?? ? , ……………6 分 t ?1? ? 2? t ?1?

年利润 y=年销售收入—年生产成本—促销费,

3? 128 ? ? 128 ? 64 ? t (t ? 0) …………8 分 ?196 ? ? ? ?196 ? ? ? t ? 98 ? 2? t ?1? ? t ?1? t ?1 64 64 ? ? (Ⅱ)因为 y ? 98 ? …………9 分 ? t =99 ? ? t ? 1 ? ? t ?1 t ?1? ?
所以 y ?

64 64 ? 2 (t ? 1)? t ?1 t ?1 64 ? y ? 99 ? 2 (t ? 1)? ? 83 . t ?1 64 当且仅当 t ? 1 ? ,即 t ? 7 时, ymax ? 83 , t ?1 t ? 0?t ? 1 ?

…………11 分 …………12 分 …………………13 分
z P

所以当促销费投入 7 万元时,企业年利润最大, 此时年产量 x=5.5 万件,年利润最大值为 83 万元 ……………14 分 19. (Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB .………………2 分 因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,所以 CD // m .……4 分 (Ⅱ)证明:因为 AP ? 平面 ABCD , AB ? AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,

A C B x

D y

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 5 页 共 10 页

则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2,0) , C (2, 2 2,0) . …………6 分 所以 BD ? (?4, 2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) , AP ? (0,0, 4) , 所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 , BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 . 所以 BD ? AC , BD ? AP . ……………8 分 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC . …………………………………9 分 (Ⅲ)解:设

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

PQ ? ? (其中 0 ? ? ? 1 ) Qxyz) , (, , PB

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

? x ? 4? , ??? ? ??? ? ? 所以 PQ ? ? PB . 所以 ( x, y, z ? 4) ? ? (4,0, ?4) .? ? y ? 0, ? z ? ?4? ? 4, ? ??? ? 即 Q(4? , 0, - 4? + 4) ? CQ ? (4? ? 2, ?2 2, ?4? ? 4) . ……………11 分 ??? ? 由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4, 2 2,0) . ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ? BD 因为 sin ? ? cos ? CQ, BD ? ? ??? ??? , ……………12 分 ? ? CQ ? BD


3 ?4(4? ? 2) ? 8 ? . 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

A

D

O C

PQ 7 7 ? . …………14 分 ? [0,1] .所以 12 PB 12 B 法 2:(II) 依题意: Rt ?BAD ∽ Rt ?ADC , 0 所以 ?ABD ? ?DAC ,又因为 ?ABD ? ?ADB ? 90 , 0 所以 ?ADB ? ?DAC ? 90 ,所以 BD ? AC …..6 分 又因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面ABCD , 所以 BD ? AP …..8 分 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC . ………9 分 PQ ? ? (其中 0 ? ? ? 1 ) Qxyz) , (Ⅲ)解:设 , (, , PB 直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? . 记 AC 交 BD 于 O ,连结 PO .过 Q 作 QE 平行于 BD ,交 PO 于 E . 连结 CE 、 CQ . 由(2)知, BD ? 平面 PAC ,? QE ? 平面 PAC ,
解得 ? ?

P

A C B

D

? ?QCE 即为 CQ 与平面 PAC 所成角.? sin ?QCE ?


QE 3 ①. …11 分 ? CQ 3

PQ QE ? k ( 0 ? k ? 1) ?k. ,则 PB BO 在 Rt?ACD 中,? CD ? 2 , AD ? 2 2 ,? AC ? 2 3 . AB BO 4 BO ? ? 易证 ?ACD ∽ ?BAO ,? ,即 , AC AD 2 3 2 2

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 6 页 共 10 页

4 6 4 6 ,? QE ? ②. k 3 3 在 Rt?PAB 中,? PA ? 4 , AB ? 4 ,? PB ? 4 2 , ? PQ ? 4 2k .

? BO ?

在 Rt?PAC 中,? PA ? 4 , AC ? 2 3 ,? PC ? 2 7 . 根据余弦定理有: 即

PB2 ? PC 2 ? BC 2 PQ2 ? PC 2 ? CQ 2 , ? 2PB ? PC 2PQ ? PC

……………13 分

(4 2 ) 2 ? (2 7 ) 2 ? (2 3 ) 2

2? 4 2 ? 2 7 2 解得 CQ ? 32k 2 ? 48k ? 28 7 将②,③代入①,解得 k ? . 12 20. 解:由 Sn ? an ? ? n 得

?

(4 2k ) 2 ? (2 7 ) 2 ? CQ 2 2 ? 2 7 ? 4 2k
③.



……………14 分

n=1 时, S1 ? a1 ? ?1, S1 ? a1 ? a1 ? ?

1 2

…….1 分 …….2 分

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

Sn ? an ? ?n ? Sn?1 ? an?1 ? ?(n ? 1) ? Sn ? an ? ( Sn?1 ? an?1 ) ? ?1 …….3 分 ? 2an ? an?1 ? 1? 2(an ? 1) ? an?1 ? 1 a ?1 1 1 1 a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 0 ? n ? ?q?0 2 2 an?1 ? 1 2 1 1 …….4 分 ??an ? 1? 是以 为首项,公比 q ? 的等比数列 2 2 1 1 ? an ? 1 ? (a1 ? 1)q n?1 ? n ? an ? n ? 1 …….5 分 2 2 1 1 n ( ln (2) bn ? ln(an ? 1) ? ln n ? ? n ln 2 , anbn ? ( n ? 1)? ? n ln 2) ? (n ? n )? 2, ….6 分 2 2 2 1 2 n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (1 ? )?ln 2 ? (2 ? 2 )? 2 ? ? ? (n ? n )? 2 ln ln 2 2 2 1 2 n ? ? …….7 分 ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ?? 2 ln 2 2 2 ? ? ?1 ? …….8 分 ? ? n(n ? 1) ? Tn ?? 2 , 其中 ln ?2 ? 1 2 n Tn ? ? 2 ? ? ? n , 2 2 2 1 2 n 2Tn ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 1 1 1 n 2 n Tn ? 2Tn ? Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ? n 2 2 2 2 2 2 1 2?n ?an bn ? 的前 n 项和 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? anbn = ? n(n ? 1) ? 2 ? n ??ln 2 …….10 分 ?2 2 ? ? ?

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 7 页 共 10 页

(3)由(1)知

1 1 2n ?1 2n ? 2 ? 2n ?1 ? ? ? n 2n an an ?1 2n ( 1 ? 1)( 1 ? 1) (1 ? 2n )(1 ? 2n ?1 ) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n 2n ?1 2(2n?1 ? 2n ) 2 ? ? 2 ……12 分 ? n ?? n ? n?1 ? n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) ? 2 ? 1 2 ?1 ?
…..14 分

?

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n 2a1a2 2 a2 a3 2 a2 a3 2 an an ?1

2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ? n ? ? (2 ? n ?1 ) ? 2 2 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 23 ? 1 ? 2 ? 1 2n ?1 ? 1 ? 2 ?1 ? ?

21. 解: (1) a ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) ? x 的定义域为 ( ?1, ?? )

…..1 分

1 f '( x ) = ln( x ? 1) ? ( x ? 1)? ? 1 ? ln( x ? 1) . x ?1 ?1 ? x ? 0 ? f '( x ) ? 0; x ? 0 ? f '( x ) ? 0; x ? 0 ? f '( x ) ? 0 ? f ( x )的减区间为( ?1, 0); f ( x )的增区间为(0, ?? ) 1 1 1 (2) x ? 0则 ln(1 ? x ) ? 0,因此要证 ? ? ( x ? 0) ln(1 ? x ) x 2 1 只需证x ? ln( x ? 1) ? x ln( x ? 1) ( x ? 0) 2 1 即证 : ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 0 ( x ? 0) 2 1 令 F ( x ) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x , 其定义域为 ( ?1, ?? ) 2 1 1 F '( x ) ? ( x ? 1)'?ln( x ? 1) ? ( x ? 1)? ln( x ? 1) ? '? ? x ? ' ? 2 2 ( x ? 1)ln( x ? 1) ? x ? ( x ? ?1) 2( x ? 1)
由(1)知x ? 0是f (x ) x ? ? ( ? f ( x )? f ( 0? ) 1 ) xn ( ? x ) a ? l ? 1? 0 ? 唯一的极小值点

.....2分

......3分

.....4分

......5分

0 0 ?a ? ?? F

x '? ? F0 x 在 (? ) ?? 上为增函数 ( ) ( 1, )

分 ......6

? x ? 0则F ( x ) ? F (0) ? 0恒成立得证? x ? 0则
(3)? n ? N * ? 1 ? 1 ?

1 1 1 ? ? 得证 ln( x ? 1) x 2

......7分

1 1 ? 2 ? ln(1 ? ) ? 0 n n 1 1 ? n ? N * 时,(1 ? )n ? a ? e (*) ? ln(1 ? )n? a ? ln e ? ( n ? a )ln(1 ? n n 1 1 ? n?a ? ? a? ?n 1 1 ln(1 ? ) ln(1 ? ) n n 1 1 1 ? n ( n ? N * )恒成立 由(2)及 0 ? x ? ? 1 ,可得 ? ? 1 2 n ln(1 ? ) n

1 )?1 n
….. 8 分

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 8 页 共 10 页

?a ?

1 时都有不等式(*)恒成立. 2 1 下证对任意常数 a ? 不等式(*)不恒成立: 2 f ( x ) ? (ax ? 1)ln( x ? 1) ? x , 只考察x ? [0, ?? )

……9 分

1 a( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax ? x f '( x ) ? a ln( x ? 1) ? (ax ? 1)? ?1 ? x ?1 x ?1 G ( x ) ? a( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax ? x , G '( x ) ? a ln( x ? 1) ? 2a ? 1 若a ? 0,x ? [0, ?? ), ln( x ? 1) ? 0 ? x ? [0, ?? ), G '( x ) ? 0,
1 ?2 1 1 ? 2a a 若0 ? a ? , x ? [0, ?? ), G '( x ) ? 0 ? l n( x ? 1) ? ( x ? 0) ? 0 ? x ? e ? 1 ? x0 2 a 1 所以对任意常数 a ? 总存在 x0 , 使得 x ? [0, x0 ] 时, G '( x ) ? 0, G ( x ) 为减函数, 2 当 x ? [0, x0 ] ,有 G( x) ? G(0) ? 0 (仅当 x=0 取等号) 从 而 x ? [0,x0 ]时 f '( x ) ? 0 ( 仅 当 x=0 取 等 号 ), 所 以 f ( x ) 在[0,x0 ]为 减 函

数…..12 分

? ?n ? N *, 0 ?

1 1 1 1 1 ? x0 时, f ( ) ? f (0) ? 0 ? (1 ? a ? ) ln( ? 1) ? ? 0 n n n n n 1 1 ? ( n ? a )ln( ? 1) ? 1 ? ( ? 1)n? a ? e n n
……13 分

所以 a ?

1 时不符合题意. 2

1 ……14 分 2 1 1 1 注:(2)结论只能说明 是函数 ? 的上界而非上确界,所以(3)的后部分是必 2 ln(1 ? x ) x 1 2 须的。又如:设 f(x)= x ? 2 ( x ? 0) ,显然有 f(x)>0 恒成立, 这只能说明 0 为 f(x)的下界 x 而非下确界,所以不能由此得出满足 f(x) ? a( x ? 0) 恒成立的 a 的最大值为 0 实际上 f(x)的最小值为 2 为 f(x)的下确界,所以 f(x)> a 恒成立时 a 的最大值为 2.
综上述 , 使不等式(*)恒成立的 a 的最小值为 (2)(3)法二: 、 先证 (2) h(x)=

1 1 ? 在(0,+?)上为减函数 , 证明如下: ln(1 ? x ) x

(此步 4 分)

广东六校 2013 届高三第三次联考理科数学第 9 页 共 10 页

1 x2 ln 2 (1 ? x ) ? 1 x ?1 h'(x)= 2 x ? 1 ? 2 = 2 2 ln (1 ? x ) x x ln (1 ? x ) ? t ( x ) ? ln 2 ( x ? 1) ? x 2 ln( x ? 1) 2 x( x ? 1) ? x , t '( x ) ? ? ? x ?1 x ?1 ( x ? 1)2
2 2 2

2 ln( x ? 1) ? x ?1
2

x2 ? 2 x x ?1

m( x ) ? 2 ln( x ? 1) ? m '( x ) ?

x ? 2x 2 (2 x ? 2)( x ? 1) ? ( x ? 2 x ) , m '( x ) ? ? x ?1 x ?1 ( x ? 1)2

2 1 1 2 ?1? ? ?(1 ? ) ? 0, m( x )在[0, ?? )上递减 2 x ?1 ( x ? 1) x ?1

x ? 0, m ( x ) ? m (0) ? 0, t '( x ) ? 0, t ( x )在[0, ?? )上为递减 x ? 0, t ( x ) ? t (0) ? 0, h '( x ) ? 0, h( x )在(0, ?? )上为递减 ( 再由罗比塔法则可求出下面极限: ? x ? ln(1 ? x ) ? ' 1 1 x ? ln(1 ? x ) lim[ ? ] ? lim[ ? lim x ? 0 ln(1 ? x ) x?0 x ? 0 ? x ln(1 ? x ) ? ' x x ln(1 ? x )
1 ? ? ?1 ? 1 ? x ?' ? ? ? lim ? lim x?0 x?0 ? x x ? ln(1 ? x ) ? ? ln(1 ? x ) ? 1 ? x ? ' 1? x ? ? 1 1 1 (1 ? x )2 ? lim ? lim ? x?0 x?0 x ? 2 1 (1 ? x ) ? x 2 ? 1? x (1 ? x )2 1? 1 1? x

(此步 4 分)

(下面 3 分)

1 ,其图象是连续的 2 1 1 1 1 1 ? 1, ) ? ? 所以 x ? 0 时 ;函数 h( x ) 在(0,1]上的值域为 [ ln 2 2 ln( x ? 1) x 2 1 1 1 ? n ? h( ), ? (0,1] 恒成立 由法一得 a ? 1 n n ln(1 ? ) n
所以函数 h( x ) 在 (0, ??) 上为单调递减且上确界是

?a?

1 1 , a 的最小值为 . 2 2

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