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2014版高中数学复习方略课时提升作业:6.7数学归纳法(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)


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课时提升作业(四十一)
一、选择题 1.在用数学归纳法证明凸 n 边形内角和定理时,第一步应验证( (A)n=1 时成立 (C)n=3 时成立 (B)n=2 时成立

(D)n=4 时成立 )

2.已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设 n=k(k≥2 且为偶数)时命 题为真,则还需证明( (A)n=k+1 时命题成立 (B)n=k+2 时命题成立 (C)n=2k+2 时命题成立 (D)n=2(k+2)时命题成立 3.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k +1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( (A)n=6 时该命题不成立 (C)n=4 时该命题不成立
1 2

)

)

(B)n=6 时该命题成立 (D)n=4 时该命题成立
1 4 1 127 ? (n∈N+)成立, 其初始值至少应 n ?1 2 64

4.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ 取( (A)7 ) (B)8 (C)9

(D)10
1 1 2n ??? ? 时,由 k 1? 2 1 ? 2 ? 3 ??? n n ? 1

5.(2013·宝鸡模拟)用数学归纳法证明:1 ?
-1-

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到 k+1 左边需增添的项是( (A) (C)
2 k ? k ? 1?

) (B) (D)
1 k ? k ? 1?

? k ? 1?? k ? 2 ?

1

? k ? 1?? k ? 2 ?
n ?1 2

2

2 n 6.用数学归纳法证明 C1 n ? Cn ??? Cn<n

(n≥n0,n0∈N*),则 n 的最小值等于 ( )

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

7.(2013·南昌模拟)对于不等式 n 2 ? n <n+1(n∈N+),某同学的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 ? 1 <1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 k 2 ? k <k+1,则当 n=k+1 时,

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 ? ? k ? 2 ? ?

? k ? 2?

2

? ? k ? 1? ? 1,

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 对于上述证法( (A)过程全部正确 (B)n=1 时验证不正确 (C)归纳假设不正确 (D)从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 8.(能力挑战题)已知 f(n)=(2n+7)· 3n+9, 存在自然数 m, 使得对任意 n∈N+, f(n) 都能被 m 整除,则 m 的最大值为( (A)18 二、填空题 9.(2013·洛阳模拟)用数学归纳法证明 1 ? ? ???
-2-

)

) (D)54

(B)36

(C)48

1 2

1 3

1 <n(n∈N+,n>1)时, 2 ?1
n

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第一步应验证的不等式是___________. 10.(2013· 上海模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n· 1· 3· …· (2n-1), 从 k 到 k+1,左边需要增乘的代数式为______. 11.若数列{an}的通项公式 an=
1

? n ? 1?

2

,记 cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通

过计算 c1,c2,c3 的值,推测 cn=_______. 12. 已知 f(n)= 1 ? ? ??? (n∈N+), 用数学归纳法证明 f(2n)> 时, f(2k+1)-f(2k) 等于________. 三、解答题 13.(2013·佛山模拟) 用数学归纳法证明:
n ? n ? 1? 12 22 n2 ? ??? ? (n ? N? ). 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1?
1 2 1 3 1 n n 2

14.(2013·合肥模拟)设 f(x)= (1)求 x2,x3,x4 的值.

2x ,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+). x?2

(2)归纳{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明. 15.(能力挑战题)设 f(n)=1+ +…+ .是否存在关于正整数 n 的函数 g(n), 使等 式 f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于 n≥2 的一切正整数都成立?证明你 的结论.
1 2 1 n

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答案解析
1.【解析】选 C.凸多边形至少有三边,所以应验证 n=3 时成立. 2.【解析】选 B.因 n 是正偶数,故只需证命题对所有正偶数都成立,因 k 的下 一个偶数是 k+2,故选 B. 3.【解析】选 C.由 n=k(k∈N+)成立,可推得当 n=k+1 时该命题也成立.因而 若 n=4 成立,必有 n=5 成立.现知 n=5 不成立,所以 n=4 一定不成立. 4.【思路点拨】用等比数列的前 n 项和求出不等式的左边,解不等式即可得到 初始值.
1 1? n 1 1 1 127 【解析】选 B. 1+ + +?+ n ?1 = 2 ? ,整理得 2n>128,解得 n>7,所以初 1 2 4 2 64 1? 2

始值至少应取 8. 5. 【解析】 选 D.左边需添加的式子为
1 1 2 ? ? . 1 ? 2 ? 3 ??? ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 2 ? ? k ? 1?? k ? 2 ? 2

1 6.【解析】选 C.当 n=1 时,左边= C1 1 =1,右边=1 =1,不等式不成立;当 n=2 时,
3

2 2 2 ? 2 2 ,不等式不成立,当 n=3 时,左边=7,右边=9, 左边= C1 2 ? C2 =3,右边=

不等式成立,当 n=4 时,左边=15,右边= 4 2 >16,不等式成立,所以 n 的最小值 等于 3. 7.【解析】选 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当 n=1,2,3 时 f(n)的值,由此猜想 m 的最大值,再用数 学归纳法证明结论成立. 【解析】选 B.由于 f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360 都能被 36 整除,猜想 f(n)能 被 36 整除,即 m 的最大值为 36.当 n=1 时,可知猜想成立.假设当 n=k(k≥1,k
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∈ N+) 时,猜想成立,即 f(k)=(2k+7) 〃 3k+9 能被 36 整除;当 n=k+1 时, f(k+1)=(2k+9)〃3k+1+9=(2k+7)〃3k+9+36(k+5)〃3k-2,因此 f(k+1)也能被 36 整 除,故所求 m 的最大值为 36. 9. 【解析】由条件知 n 的第一个值为 2,所以第一步应验证的不等式是1 ? ? < 2. 答案: 1 ? ? <2 10. 【解析】当 n=k 时,左边为 (k+1)(k+2) … (k+k), 而当 n=k+1 时,左边为 (k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),?左 边增乘的式子为 =2(2k+1). 答案:2(2k+1)
3 2 1 1 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1- )×(1- )= , 4 9 3 1 1 1 5 c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1- )×(1- )×(1- )= , 故由归纳推 4 9 16 4 n?2 理得 cn= . n ?1 n?2 答案: n ?1 1 2 1 3 1 2 1 3

? 2k ? 1?? 2k ? 2 ?
k ?1

11.【解析】c1=2(1-a1)=2×(1- )= ,

1 4

12. 【解析】f(2k+1)-f(2k)
1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ??? k ) k ?1 2 3 2 2 3 2 1 1 1 ??? k ?1 . = k ? k 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 ??? k ?1 答案: k ? k 2 ?1 2 ? 2 2

= 1 ? ? ???

13.【证明】①当 n=1 时,左边=

1? ?1 ? 1? 12 1 1 ? ,右边= ? , 1? 3 3 2 ? (2 ?1 ? 1) 3

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左边=右边,等式成立; ②假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立, 即
k ? k ? 1? 12 22 k2 ? ??? ? , 1? 3 3 ? 5 ? 2k ?1?? 2k ? 1? 2 ? 2k ? 1?

当 n=k+1 时,左边

? k ? 1? 12 22 k2 = ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2k ? 1?? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2

k ? k ? 1? ? k ? 1? = ? 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2

k ? k ? 1?? 2k ? 3? ? 2 ? k ? 1? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

2

? k ? 1? ? 2k 2 ? 5k ? 2 ? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3? ? k ? 1?? k ? 2 ? , = 2 ? 2k ? 3?

所以当 n=k+1 时,等式成立. 由①②可得对任意 n∈N+,等式成立.
2 1 2? 2? 2 1 2 2 14.【解析】(1)x2=f(x1)= ,x3= 3 ? ? ,x4=f(x3)= 2 ? . 2 1 3 ?2 2 4 ?2 5 3 2 2 (2)归纳 xn= . n ?1 2 证明:①当 n=1 时,x1= 与已知相符, 1?1 2 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,xk= , k ?1 2 2 4 2 当 n=k+1 时,xk+1= k ? 1 ? . ? 2 2k ? 4 k ? 1 ? 1 ? ? ?2 k ?1

由①②可知当 n∈N+时成立, ?xn=
2 . n ?1
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15.【解析】当 n=2 时,得 g(2)=2,当 n=3 时,得 g(3)=3,猜想 g(n)=n(n≥2,n ∈N+).用数学归纳法证明猜想成立. (1)当 n=2 时,左边=f(1)=1,右边=2[f(2)-1]=1,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立, 即 f(1)+f(2)+…+f(k-1)=g(k)[f(k)-1], 那么当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)1 ]-k k ?1

=(k+1)[f(k+1)-1], 也就是说当 n=k+1 时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对 n≥2 的一切正整数都 成立. 故存在关于正整数 n 的函数 g(n)=n,使等式对 n≥2 的一切正整数都成立. 【变式备选】已知函数 f(x)= x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an +1).试比较 【解析】
1 1 1 1 与 1 的大小,并说明理由. + + +?+ 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an
1 3

1 1 1 1 <1. + + +?+ 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an

理由如下: ≧f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1), ?an+1≥(an+1)2-1. 令 g(x)=(x+1)2-1,则函数 g(x)=x2+2x 在区间[1,+≦)上是增加的,于是由 a1≥1,得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
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由此猜想:an≥2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+)时结论成立, 即 ak≥2k-1, 则当 n=k+1 时, 由 g(x) =(x+1)2-1 在区间[1,+≦)上是增加的知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1 -1,即 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,对任意 n∈N+,都有 an≥2n-1, 即 1+an≥2n,?
1 1 ? n, 1? an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 1 1 1 2 =1-( 1 )n<1. ? ≤ + 2 + 3 +?+ n = 2 + + +?+ 1 2 2 2 2 2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an 1? 2

【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”类问题的一般解题思路 通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方 法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用, 其关键是归纳、猜想出公式.核心是数学归纳法证明,体现了探索数学未知问题 的一般方法,是必须要具备的一种思维方式.

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