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等差数列


等差数列
1、若

1 1 1 , , 成等差数列,则 a 2 , b 2 , c 2 也成等差数列; (用定义) b?c c?a a?b

2、已知 ?an ?, ?bn ?是项数相同的两个等差数列,那么 ?pan ? qbn ?(其中 p, q 是常数)是不 是等差数列?(用定义)
2 3、已知数列 ?an ? 满足

an?1 ? an ? 4, a1 ? 1, an ? 0 ,求 an ; (注意数列 an 等差)

2

2

? ?

4、设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? a9 , d ? 0 ,其前 n 项之和为 sn ,若 sn ( n ? N )最大,则
*

n?



5、如果等差数列 ?an ? 的项数是奇数, , ?an ? 的奇数项的和是 175,偶数项的和是 150,求 这个数列的中间项、项数,如果 a1 ? 1 ,求其公差; (项数 n 为偶数时, s 偶 ? s 奇 ? 6、已经等差数列 ?an ? 满足: an ? m, am ? n ,求 am? n (其中 m ? n ) ; 已经等差数列 ?an ? 满足: sn ? m, sm ? n ,求 sm?n (其中 m ? n ) ;

n d) 2

等比数列
7、若三角形的三边长成等比数列,则该等比数列的公比 q 的取值范围是 ;

8、已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻的两项之和,则该等比数列 的公比 q ? ; (? an ? 0,? q ? 0 )

9、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0, ?an ? 是递增数列,则满足条件的公比 q 的取值范围是 (注意 q ? 0 的等比数列为正负摆动数列)



10、已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数,且公比 q ? 1 ,试比较 a1 ? a8 与 a 4 ? a5 的大小; 11、已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数, sn ? 80, s2n ? 6560,且在前 n 项中最大的项为 54,则 n ? ;

12、数列 ?an ? 等差,公差 d ? 2 ,a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? ?50 ,求 a3 ? a6 ? a9 ? ? a99 ; 若 ?an ? 等比,公比 q ? 2 ,求解上述问题;

13、若 a, b, c, d 成等比数列,公比不为 ? 1 ,则 a ? b, b ? c, c ? d 也成等比数列; (用定义)

14、已知 ?an ?, ?bn ?是项数相同的两个等比数列,那么 ?an bn ?, ?a2n?1 ? a2 n ?是不是等比数 列?(用定义) 15、已知一个等比数列(1) a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 ,求 s5 ; 4

(2) a5 ? a4 ? 576 (3) s4 ? 240 , a2 ? a4 ? 180 ,求 q, a1 ; , a2 ? a1 ? 9 , 求 s5 ; (其中 0 ? ? ? 1,? 为常数) ?? ?成等比数列;
an

16、数列 ?an ? 是等差数列 ? 数列

数列 ?an ? 是等比数列且 an ? 0 ? 数列 ?log? an ? 成等差数列; (其中 0 ? ? ? 1,? 为常数) 18、在公差为 d 的等差数列 ?an ? 和公比为 q 的等比数列 ?bn ? 中,已知 a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ,
* (1) 求 d , q 值; (2) 是否存在常数 a , b , 使得对任意 n ? N , 都有 an ? loga bn ? b a8 ? b3 ,

成立,若存在,求出 a , b ,若不存在,说明理由;

19、各项均为实数的等比数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 sn , s10 ? 10, s30 ? 70 ,则 s 40 等于 ( ) (A)150 (B) ? 200 (C)150 或 ? 200 (D)100 或 ? 50

以下是对数列求和的归纳 数列求和
一、分组求和 1、 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ;
1 1 1 1 2、 1 ? 3 ? 5 ? ? ? [(2n ? 1) ? n ] ; 2 4 8 2 3、 3 ? 33 ? 333? ? ? 333? 3(n 个 3) ;

4、 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 4) ? (1 ? 2 ? 4 ? 8) ? ? ? (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n?1 ) ; 5、 1 ? 4 ? 7 ?10 ? 13? ? ? (?1) n?1 (3n ? 2) ;

二、裂项相消(此类有些题较难,如全品“等比数列的前 N 项和(二) ”中 13 题) 6、
1 1? 2 ? 1 2? 3 ? 1 3?2 ??? 1 n ? n ?1

; (可推广到

1 a n ? a n ?1

, ?a n ? 等差)

7、 ?a n ? 为等差数列, 8、

1 1 1 1 1 ? ? ??? ; (可推广到 的`形式) a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n ?1 a n a n?2

1 2 1? 2

?

1 3 2?2 3

?

1 4 3 ?3 4

???

1 100 99 ? 99 100

?



9、(2011 深圳一模)设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn . S ? 64 (1)已知 a1 ? 1 , d ? 2 , (ⅰ)求当 n ? N? 时, n 的最小值; (ⅱ)当 n ? N? 时, n 2 3 n ?1 5 求证: ;

S1S3

?

S2 S4

???

Sn Sn?2

?

16

(2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 am ? n 的最小正整数解为
3n ? 2 ?若存在,则求 a1 的取值范围;若不存在,则说明理由.

10、 (2011 广州一模)设各项均为正数的数列 项为 1,公差为 1 的等差数列. (1)求数列

的前 n 项和为

已知数列

是首

的通项公式;

(2)令 求实数 L 的取值范围.

,若不等式

对任意

都成立,

三、错位相减 8、 0.1 ? 0.03 ? 0.005? ? ? (2n ? 1)
1 10n



9、 1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ? ? ? nx n?1 ; 10、已知 ?a n ? 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a 2 ? (n ? 2)a3 ? ? ? 2a n ?1 ? a n , 且 T1 ? 1, T2 ? 4 , (1)求数列 ?a n ? 的首项和公比; (2)求数列 ?T n ? 的通项公式;

四、倒序相加 11、等差数列的求和思路;
1 2 3 n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn 12、 C n ;

13、 (03 上海)设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求

得 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? f (1) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为 14、 (02 全国)已知函数 f ( x) ?



x2 ,那么 1? x2


1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) = 2 3 4


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