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高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条


椭圆
第一定义
2 a ( 2 a > F1 F2 )的动点 P 的轨迹叫做椭圆. 平面内与两定点 F 1 、 F2 的距离的和等于常数
即: PF 1 ? PF 2 ? 2a .

通径
2b 2 过焦点的垂直于 x 轴(或 y 轴)的直线与椭圆的两交点 A , B 之间的距离,即 AB ? (最短焦点弦) . a

r />
三角形面积
椭圆

2 a 叫做椭圆的焦距. 其中两定点 F 1 、 F2 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 F 1F 2 ? 2c <

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦 a 2 b2
2

第二定义
平面内到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数 e ,当 0 < e <1 时,点的轨迹叫做椭圆. 其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线.

点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b

sin ? ? ? b 2 tan . 1 ? cos ? 2

切线方程
x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 ( a > b >0)上,则过 P 0 的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y b 若P 1 2的 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > >0)外,则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 1 、P 2 ,则切点弦 PP a b xx y y 直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

a2 a2 准线方程: x ? ? [焦点在 x 轴上] 或者 y ? ? [焦点在 y 轴上]. c c

标准方程
焦点在 x 轴时:

x2 y 2 y 2 x2 b y ? ? 1 ? ? 1 ( a > b >0) 其中 a 2 ? b2 ? c2 . ( > > 0) 焦点在 轴时: a a 2 b2 a 2 b2

中点弦方程
x y0 x2 y 2 ? 2 ? k AB ? 1 ,代 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的不平行于对称轴的弦 AB 中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 l AB : 0 2 2 a b a b 入 M 坐标,可求出 k AB ,进而利用点斜式可求得 lAB : y ? y0 ? k AB ( x ? x0 ) .
在椭圆

若不确定焦点位置时,方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ( m >0, n >0, m ? n ).

参数方程
焦点在 x 轴: ?

? x ? a cos ? (其中 ? 为参数) . ? y ? b sin ?

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 b ? 2 ? 2 ? 2 . 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > >0)内,则被 P 0 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a b

面积公式
S ? ? ab .

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y b ? 2 . 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > >0)内,则过 P 0 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b

离心率

e?

c c2 b2 ? ? 1 ? ? ? 0,1? . a a2 a2

焦半径公式
焦点在 x 轴上: PF 1 , F2 分别为左右焦点, P ? x0 , y0 ? ](左加右减). 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 [ F 焦点在 y 轴上: PF 1 , F2 分别为上下焦点, P ? x0 , y0 ? ](上减下加). 1 ? a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 [ F

第 1 页

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双曲线
第一定义
2 a ( 2 a < F1 F2 且 2a ? 0 )的点的轨迹叫做双曲线. 平面内与两定点 F 1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数
即: MF1 ? MF2 ? 2a .

焦半径公式
焦点在 x 轴上双曲线任意一点 P( x0 , y0 ) 到焦点的距离: 左焦半径 PF 1 = ex0 ? a 右焦半径 PF2 = ex0 ? a .

通径
过焦点的垂直于 x 轴(或 y 轴)的直线与椭圆的两交点 A , B 之间的距离,即 AB ?

第二定义
平面内到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数 e ,当 e >1 时,点的轨迹叫做双曲线. 其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线. 准线方程: x ? ?

2b 2 (最短焦点弦) . a

三角形面积
x2 y 2 P 为双曲线上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则双 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b >0)的左右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 a b
曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b
2

a a [焦点在 x 轴上] 或者 y ? ? [焦点在 y 轴上]. c c

2

2

标准方程
焦点在 x 轴时:

x2 y 2 y 2 x2 b y ? ? 1 ? ? 1 ( a >0, b >0) 其中 ( > 0 , > 0 ) 焦点在 轴时: a a 2 b2 a 2 b2

sin ? ? ? b 2 co t . 1 ? cos ? 2

切线方程
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

a 2 ? b2 ? c 2 .
若不确定焦点位置时,方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ( mn <0).

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)上,则过 P 0 的切线方程是 2 a2 b a b

参数方程
? x ? a sec? 1 焦点在 x 轴: ? (其中 ? 为参数) 正割 sec ? ? . cos ? ? y ? b tan ?

x2 y 2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)外,则过 P 0 作双曲线的两条切线切点为 P 1、P 2 ,则切点 a b
弦 PP 1 2 的直线方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

中点弦方程
在双曲线

离心率
e? c c2 b2 ? ? 1 ? ? ?1, ?? ? . a a2 a2
l AB :

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0 , b > 0) 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 AB 中 点 为 M ( x0 , y0 ) , 则 a 2 b2

渐近线
双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x 2 a a b

双曲线

a y 2 x2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x . 2 b a b

x0 y0 ? ? k AB ? 1 ,代入 M 坐标,可求出 k AB ,进而利用点斜式可求得 lAB : y ? y0 ? k AB ( x ? x0 ) . a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0 , b > 0) 内 , 则 被 P 若 P 在 双 曲 线 ( x , y ) 0 0 0 0 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y b ? 2 . 若P 则过 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, >0)内, 0 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b

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椭圆补充
x2 y 2 与 y 轴平行的直线交椭圆于 P ? ? 1 ( a > b >0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) , P2 时 A1P 1与 1、 a 2 b2 x2 y 2 A2 P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B 、C 两点, 则直 a b b2 x 线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数) . a y0
1. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)上异于长轴端点的任一点, F1 、 F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2 ? 2b2 2 (1) | PF1 || PF2 |? . (2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A 、 B 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a b ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有
11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 , F1 、 F2 是 焦 点 , ?PF1F2 ? ? , a 2 b2 a?c ? ? ? tan cot . ?PF2 F1 ? ? ,则 a?c 2 2 2 2 x y P 4. 设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的两个焦点为 F 1 、 F2 , (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在 △PF 1 F2 a b sin ? c ? ? e. 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? ,则有 sin ? ? sin ? a
3. 若 P 为椭圆 5.

2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 S ? cot ? . . ( 2 ) . ( 3 ) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 a 2 ? c 2co s2 ? x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A 、 a b B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
(1) | PA |? 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e . 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,左准线为 L ,则当 0< e ≤ 2 ? 1 时,可在椭 a 2 b2 圆上求一点 P ,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 F2 的比例中项.
若椭圆

6.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0) 上 任 一 点 , F1 、 F2 为 两 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2 2a ? AF2 ? PA ? PF1 ? 2a ? AF1 ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
P 为椭圆
椭 圆

7.

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

8.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0), O 为坐标原点, P 、 Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a 2 b2 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 OP ? OQ ? ? ? (1) . (2) 的最大值为 2 . (3) S?OPQ 的最小值是 2 . a ? b2 a ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
已知椭圆

9.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M 、 N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a 2 b2 | PF | e ? . 轴于 P ,则 | MN | 2
过椭圆

10. 已知椭圆

x2 y 2 B 是椭圆上的两点, ? ? 1 ( a > b >0),A 、 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 则? . a a
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双曲线补充
1.

2.

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0,b >0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1 、 P2 a 2 b2 x2 y 2 时A 与 交点的轨迹方程是 ? ? 1. P A P 1 1 2 2 a 2 b2 x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B 、 C 两 a b b2 x 点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数) . a y0
双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0, b >0)上异于实轴端点的任一点, F1 、 F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2 ? 2b2 2 则(1) | PF1 || PF2 |? . (2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A 、 B 是 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0 , b > 0) 的长轴两端点, P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
11. 设 P 点是双曲线

3.

4.

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1 、F2 是焦点,?PF1F2 ? ? , a 2 b2 c?a ? ? c?a ? ? ? tan cot (或 ? tan cot ) . ?PF2 F1 ? ? ,则 c?a 2 2 c?a 2 2 x2 y 2 P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在 设双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)的两个焦点为 F 1 、 F2 , a b sin ? c ? ? e. △ PF 1 F2 P ? ? ,则有 1F 2 中,记 ?F 1 PF2 ? ? , ?PF 1 F2 ? ? , ?F ?(sin ? ? sin ? ) a
若 P 为双曲线

2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 S ? cot ? . . ( 2 ) . ( 3 ) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 | a 2 ? c 2co s2 ? | x2 y 2 13. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b >0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相 a b 交于 A 、 B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
(1) | PA |? 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率) . (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e . 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

5.

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0, b >0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,左准线为 L ,则当 1< e ≤ 2 ? 1 时, a 2 b2 可在双曲线上求一点 P ,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 F2 的比例中项.
若双曲线 P 为双曲线

6.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0 , b > 0) 上 任 一 点 , F1 、 F2 为 两 焦 点 , A 为 双 曲 线 内 一 定 点 , 则 a 2 b2 AF2 ? 2a ? PA ? PF1 ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7. 8.

x2 y 2 2 2 2 2 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C . a b x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0), O 为坐标原点, P 、 Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 OP ? OQ ? ? ? (1) . ( 2 ) 的最小值为 . ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ b2 ? a 2 b2 ? a 2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M 、 N 两点,弦 MN 的垂直 a b | PF | e ? . 平分线交 x 轴于 P ,则 | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a >0, b >0), A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 或 x0 ? ? . P( x0 ,0) ,则 x0 ? a a

9.

10. 已知双曲线

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抛物线
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线

(4)焦准距: FK ? p . (5)焦半径公式:若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径) 是: PF ? x0 ?

l 叫做抛物线的准线.

p . 2

标准方程
设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

(6) 抛物线的焦点弦: 设过抛物线的焦点的直线与抛物线交 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,且 QM1 ? 准线于 点 M 1 ,

PM 2 ? 准线于 点 M 2 ,则
x 2 ? 2 py


y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? ?2 py


①焦点弦长 PQ ? x1 ?
2

p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2

y

y

y

y

p2 ② y1 y2 ? ? p , x1 x2 ? . 4
x

M2
2p . sin 2 ?

P C N

图形
O

x

x O

x O

O

③若直线 PQ 的倾斜角为 ? ,则 PQ ? ④若 F 为抛物线焦点,则有

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径

p F ( ,0) 2 x?? p 2

p F (? ,0) 2 x? p 2

p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2 y? p 2

1 1 2 ? ? . PF QF p

K M1

o
Q

F

y??

p 2

⑤ P 、 O 、 M 1 三点共线, Q 、 O 、 M 2 三点共线. (7)通径:过焦点垂直于轴的弦长为 2 p .这是过焦点的所有弦中最短的. (8)焦半径为半径的圆:以 p 为圆心、 FP 为半径的圆必与准线相切.所有这样的圆过定点 F 、准线是公切 线.

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
p PF ? ? x1 2 p PF ? ? x1 2 p PF ? ? y 1 2 p PF ? ? y 1 2

(9)焦半径为直径的圆:以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.所有这样的圆过定点 F 、 过顶点垂直于轴的直线是公切线. (10)焦点弦为直径的圆:以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切.所有这样的圆的公切线是准线.

参数方程
? x ? 2 pt 2 ( t 为参数, t ? R ) . ? ? y ? 2 pt

切线方程
2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上,则过 P 0 的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .

抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0 )的图像和性质:
p ?p ? (1)焦点坐标是: ? , 0 ? .(2)准线方程是: x ? ? . 2 ?2 ?
(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点,顶点平分焦点到准线的垂线段: OF ? OK ?

中点弦公式
2 抛物线 C : x ? 2 py 上,过给定点 P( x0 , y0 ) 的中点弦所在直线方程为 py ? x0 x ? py0 ? x0 .
2

p . 2
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