3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用(2) - 副本

编号：gswhsxxx2-3---03-02

文华高中高二数学选修 2－3

§3.1《回归分析的基本思想及其初步应用(2)》导学案
编制人：吴秀梅 审核人：戴道亮 编制时间：2014 年 12 月 20 日

学习目标：
1. 了解随机误差产生 的原因； 2. 了解判断刻画模型拟合效果的方法——相

关指数和残差分析; 3. 了解建立线性回归模型的大致步骤。

重点难点：
1. 了解随机误差产生的原因，用残差平方和衡量回归方程的预报精度； 2. 了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析。

学习方法：
自主学习，合作探究

情感态度与价值观：
从实际问题中发现自己已有知识的不足之处， 激发学生的好奇心和求知欲， 培养 学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

一．知识回顾
1. 相关关系是一种 关系。 2. 对具有 的两个变量进行 3. 回归直线一定过样本点的中心（ ）。 的方法叫回归分析。

二．新课导学（预习课本 P83～P88，完成以下相关概念）
问题 1 ：由例 1 知，身高 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗？如果不是， 70 其原因是什么？ 65 由右图，身高 172cm 的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。 60 55 （1）随机误差的概念：当样本点散布在某一条直线的 50 附近，而不是在一条直线上时，不能用一次函数 45 y＝bx＋a 来描述两个变量之间的关系，而是用线性回归 40 150 155 160 165 170 175 模型______ _______来表示，这里____称为解释变量，______ 称为预报变量， _____ 称为随机误差，E(e)＝_______，D(e)＝__________。这样线性回归模型的完整表达式
为： ?

180

? y ? bx ? a ? e ? E (e) ? 0, D(e) ? ?
2

随机误差 e 的方差 ? 2 越小，通过回归直线 y ? bx ? a 预

?

报真实值 y 的精度越高。 问题 2 ： 产生随机误差项 e 的原因是什么？

(2)残差的概念：样本值与回归值的差叫做残差，即

。

残差平方和越小，预报精确度越高，模型的拟合效果越好． (3)残差分析的概念：通过 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是 否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析． (4)残差图的概念：以__________为纵坐标，__________(或身高数据，或体重的估计 值等)为横坐标作出的图形，称为残差图．

?
i＝1

n

? yi－^ yi?2 ，在线性回归模型中， R 2 表示解析变量对预 ? yi－－ y ?2

(5)相关指数：：R ＝1－

2

?
i＝1

n

报变量变化的贡献率;R2 的值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好．

三：合作探究
例 1：在一段时间内，某种商品的价格 x(元)和需求量 y(件)之间的一组数据为： 价格 x/元 需求量 y/件 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3

求出 y 对 x 的回归直线方程，并说明拟 合效果的好坏

总结：建立回归模型的基本步骤： (1)确定研究对象，明确哪个变量是________，哪个变量是________． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的______，观察它们之间的关系． (3)确定回归方程的________． (4)按一定规则估计回归方程中的________． (5)分析________是否有异常．

例2

某同学 6 次考试的数学、语文成绩在班中的排名如下表： 数学名次 x 7 6 5 3 2 语文名次 y

1

13 11 9 6 4 2 对上述数据分别用^ y＝^ bx＋^ a与^ y＝^ cx2＋^ d来拟合 y 与 x 之间的关系，并用残差分析 两者的拟合效果．

四：课堂展示
例 3：一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关，现收集了 7 组观测数据列于下表中， 试建立 y 与 x 之间的回归方程。(P86 例 2) 编号 1 2 3 4 5 6 7 温度 x/°C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 提示：建立指数函数和二次函数模型，并比较两个模型的拟合效果.

五．课堂小结
n n － ^ 1．总偏差平方和： ? ( yi－ y )2； 残差平方和： ? ( yi－yi)2； i＝1 i＝1

回归平方和： ? ( yi－－ y )2－ ? ( yi－^ yi)2；
i＝1 i＝1

n

n

2．判断刻画模型拟合效果的方法： (1)残差平方和越小，预报精确度越高． (2)相关指数 R 取得越大，说明模型的拟合效果越好
2

本节课我最大的收获是： 我存在的疑惑有：

. .

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《回归分析的基本思想及其初步应用》节节过关达标检测

班级：-----------1. 有下列说法：

组名：------------

学生姓名：----------

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合 适； ②用相关指数 R2 来刻画回归的效果，R2 值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果， 可以比较残差平方和的大小， 残差平方和越小的模型， 拟合效果越好． 其中正确命题的个数是( A．0 个 B．1 个 ) C．2 个 D．3 个

2. 分别用指数函数模型和二次函数模型来拟合两个变量，残差平方和分别为 1 450.673 和 15 448.432，故选用______模型的拟合效果远远优于_________模型。 3. 若对于变量 y 与 x 的 10 组统计数据的回归模型中，R2＝0.95，又知残差平方和
10 为 120.53，那么 ? (yi－－ y )2 的值为______________。 i＝1

4. 若一组观测值(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)之间满足 yi＝bxi＋a＋ei (i＝ 1,2，…，

n)，若 ei 恒为 0，则 R2 为_______。

5. 关于 x 与 y 有如下数据：

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

有如下的两个线性模型：①^ y＝6.5x＋17.5；②^ y＝7x＋1。 试比较哪一个模型拟合效果更好。