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学生版 2.3 等差数列的前n项和


2.3
课标要求

等差数列的前 n 项和
学法指导 1. 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 中 五 个 量 a1,d,n,an,Sn, 可知三求二 , 并注意整体思 想的运用. 2.等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题 过程中运用得当,可以达到化繁为简,化难 为易的效果.

1.掌握等差数列的前 n

项和公式,了解推导等差数列前 n 项和公式的方法 ——倒序相加法. 2.能够利用等差数列的前 n 项和公式进行有关的计算. 3.掌握等差数列前 n 项和的最值问题的解法. 4.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 5.理解 an 与 Sn 的关系,会利用这种关系解决有关的问题.

知识探究——自主梳理

思考辨析
.

1.等差数列的前 n 项和的定义及表示 一般地,我们称 a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示,即 Sn= 思考 1:数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 之间有什么关系?
?S (n ? 1), 示:an= ? 1 ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2).

2.等差数列的前 n 项和公式 Sn= =na1+ .(公式 1 看中与项性质,2 看中其代数特征) 思考 2:等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,这种说法正确吗?
提示:不正确. Sn=na1+
n(n ? 1) d d? ? d= n2+ ? a1 ? ? n,知当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次函数;当 d=0 时,Sn 是关于 n 的一次函数. 2 2 2? ?

3.等差数列前 n 项和的性质 (1) ?

n(a1 ? a n ) n(a 2 ? a n ?1 ) n(a3 ? a n ? 2 ) ? Sn ? ? ? ...... ? 是等差数列(2) S n ? 2 2 2 ?n?

(3) 等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,则{an}中连续的 n 项之和构成的数列 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构 成公差为 n2d 的等差数列.

题型探究——典例剖析 举一反三 题型一 等差数列前 n 项和公式的基本运算
【例 1】 (1)设 Sn 是等差数列{an}(n∈ N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= . * (2)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈ N .若 a3=16,S20=20,则 S10 的值为 . 题后反思 a1,n,d 称为等差数列的三个基本量 ,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示 , 五个量 a1,n,d,an,Sn 中可知三求二,即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过 通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中 应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用. 跟踪训练 1-1: (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=4,S3=9,则 S4 等于( ) (A)14 (B)19 (C)28 (D)60 (2)等差数列{an}中,a3+a5=12,a2=2,则前 6 项和 S6= .

题型二 等差数列前 n 项和的最值问题
【例 2】在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前 n 项和 Sn 的最大值.(三法) 题后反思 求解等差数列前 n 项和的最值问题常用方法 (1)二次函数法,即先求得 Sn 的表达式,然后配方.若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称 轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时 n 的值有两个,有时可能为 1 个.
(2)不等式法:

?a ? 0 ①当 a1>0,d<0 时,由 ? m ? Sm 为最大值; ?am ?1 ? 0

?a ? 0 ②当 a1<0,d>0 时,由 ? m ? Sm 为最小值. ?am ?1 ? 0

(3)寻求正、负项交替点法,即利用等差数列的性质,找到数列中正数项与负数项交替变换的位置,其实

质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项),然后确定 Sn 的最值. 跟踪训练 2-1:数列{an}是等差数列,a1=30,d=-0.6. (1)从第几项开始有 an<0;(2)求此数列的前 n 项和的最大值.

题型三 等差数列前 n 项和的性质及应用
【例 3】 (1)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为__________ (2)在等差数列{an}中,若 a4=1,a8=4,则 S12 =___________________ (3)在等差数列{an}中,若 a7=1, ,则 S13 =___________________ (4)在等差数列{an}中,若 a7+a8=1, ,则 S14 =___________________ 名师导引: (1)由 S4=1 和 S8=4 如何求得第二个 4 项之和,即如何求得 a5+a6+a7+a8?(由 S8-S4 即得) (2)a17+a18+a19+a20 可看作是该数列的第几个 4 项之和? (第 5 个 4 项之和) (3)可用等差数列的哪个性质求解?(S4,S8-S4,S12-S8,…也成等差数列) 解析:由等差数列的性质知 S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且 b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于 是可求得 b3=5,b4=7,b5=9,即 a17+a18+a19+a20=b5=9,故选 A. 题后反思 (1)本题还可用基本量方法求解,由 S4=1,S8=4 建立 a1 与 d 的方程组求得 a1、d 的值,再计算 a17+a18+a19+a20 的值. (2)在应用性质“Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列”解题时,注意区分“前 n 项和”与“片段和”的不 同.例如本题中,求 a17+a18+a19+a20 的值与求 S20 的值是不同的,不要混为一谈. 跟踪训练 3-1:设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=20,则 S30= . 跟踪训练 3-2:设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=20,则 S4= .

题型四 an 与 Sn 的关系及其应用
【例 4】 (12 分)(2012 年高考大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= (1)求 a2,a3;(2)求{an}的通项公式.
n?2 an. 3

题后反思 已知 an 与 Sn 的关系,求 an 的步骤: (1)当 n≥2 时,用 an=Sn-Sn-1 计算得到 an;(2)当 n=1 时,用 a1=S1 计算得到 a1 的值; (3)检验(2)中 a1 的值是否满足(1)中得到的 an,若满足,则通项公式就是 an;若不满足,则用分段的形式 表示. 跟踪训练 4-1:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则 an= . 备选例题 【例 1】 数列{an}的前 n 项和 Sn=33n-n2. (1)求证:{an}是等差数列;(2)问{an}的前多少项和最大;(3)设 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和 S'n.
(2)在等差数列{an}{bn}的前 n 项和为 Sn,Tn,

Sn 2n a11 ? , ? ______ . Tn 3n ? 1 b11

达标检测——反馈矫正 及时总结 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( ) (A)15 (B)16 (C)49 (D)64 2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列的前 11 项和 S11 等于( ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a8=3,a13=13,则 S24= . 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d= . 课堂小结 1.求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量. 3.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在推导过程中加强记忆,并在解题中熟练灵活地应 用. 4.求等差数列前 n 项和的最值常用二次函数法和不等式法.
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