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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.4.3正切函数的性质与图象


1.4.3 正切函数的性质与图象 教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切函数图象解决函数有 关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数图象解决有关性质问 题的方法; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列

各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

? ? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? , 2 ? ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3. y ? t n x ,x? ? ? 作 a

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明:(1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线”。

1

y
y

3 ? ? 2

? ?? ? 2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3) 正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 的。 4.正切函数的性质

?
2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成

引导学生观察,共同获得:

(1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

??? ?k ? z ? , x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

?
2

x ?? ? k? ?k ? z ? , ?

?
2

tan ?? ? k? 时, x ? ?? 。

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ? 2 2 ? ?
5.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

? 解: tan? ?


2? ? 2? ? ? 13? ? ? 17? ? ? ?? 0 , y ? tan x在? 0, ? , ? ? ? ? ? tan ,tan? ? ? ? ? tan 5 4 5 4 ? 4 ? ? 5 ? ? 2?
单 调 递 增 ,

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

例 2:求下列函数的周期: (1) y ? 3 tan ? x ?

? ?

??
? 5?

答:T ? ? 。

(2) y ? tan ? 3 x ?

? ?

??
? 6?

答:T ?

?
3



2

说明:函数

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ?

的周期 T ?

? . ?

例 3:求函数 y ? tan? 3 x ?

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, 3? ? ? k? 5? 解 : 1 、 由 3x ? ? k? ? 得 x? , 所 求 定 义 域 为 ? 3 2 3 18 k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?
2、值域为 R,周期 T ? 3、在区间 ?

? ?

??

?

? k? ? k? 5? ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

3



思考 1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数), 练习 1:求函数 y ? tan?

?? ?? x ? ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 3? ?2

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 (k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

3? ? , k? ? ) 上是增函数 4 4

练习 2:教材 P45 面 2、3、4、5、6 题 解:画出 y=tanx 在(- <

? 2

? ? , )上的图象,在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围为:0<x 2 2
? 上满足的 x 的取值范围为(kπ , kπ + 2

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ +

? )(k∈Z) 2
思考 2:你能用图象求函数 y ? 解 : 由 tan x ? 3 ? 0 得

tan x ? 3 的定义域吗?

tan x ? 3 , 利 用 图 象 知 , 所 求 定 义 域 为

? ?? ? ? ? k? ? 3 , k? ? 2 ? ? k ? Z ? , ?
亦可利用单位圆求解。

y

y
T

3
0

3
0 ? ?

A x

3 2
3

x

四、小结:本节课学习了以下内容: 1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,...... 等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π/2,π/2)的区间内的函数的 图象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π个单位,就可以得到整个正 切函数的图象。 五、作业《习案》作业十一。

4


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