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高三数学一轮精品复习学案:第一章集合与常用逻辑用语


版一轮精品复习学案:第一章《集合与常用逻辑用语》 2011 版一轮精品复习学案:第一章《集合与常用逻辑用语》
第一节 【目标定位】 目标定位】
一、考纲点击 1、了解集合的含义,元素与集合的属于关系; 2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题; 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 4、在具体情境中,了解全集与空集的含义; 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 7、能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。 二、热点难点提示 热点难点提示 难点 1、从考查内容上看,高考题仍以考查集合的概念和集合的运算为主; 2、从能力要求上看,注重基础知识和基本技能的考查,要求具备数形结合的思想意识, 会借助 Venn 图、数轴等工具解决集合运算问题,常与不等关系、不等式的解集相联系; 3、从考查形式上看,多以选择题、填空题的形式出现。

集 合

【考纲知识梳理】 考纲知识梳理】
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ∈ A ;若 b 不是集合 A 的元 素,记作 b ? A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;

描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , ; 记作 A ? B(或 A ? B ) 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 A ? B 且 B ? A, 若 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B;

(2)简单性质:1)A ? A;2) Φ ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ∈ S且x ? A} 称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= Φ , C S Φ =S 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交 集。交集 A ∩ B = {x | x ∈ A且x ∈ B} (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}

注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法 5.集合的简单性质: (1) A ∩ A = A, A ∩ Φ = Φ, A ∩ B = B ∩ A; (2) A ∪ Φ = A, A ∪ B = B ∪ A; (3) ( A ∩ B ) ? ( A ∪ B ); (4) A ? B ? A ∩ B = A; A ? B ? A ∪ B = B ; , 。 (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B)

【热点难点精析】 热点难点精析】 精析
一、集合的基本概念 1、相关链接 、 (1)由元素与集合的关系,可以分析集合中元素的特征:确定性、互异性和无序性。 (2)在解决集合的概念的问题时,要注意养成自学使用符号的意识和能力,运用集合 的观点分析、处理实际问题。 (3)集合的表示方法:有列举法、描述法和 Venn 图,在解题时要根据题目选择合适 的方法。 注:要特别注意集合中的元素所代表的特征。 如:A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中 A 表示数集,B 表示二次函数 y=x2+2 的图象 上所有点组成的集合,二者不能混淆。 2、例题解析 、 例 1. 2009 广 东 卷 理 ) 已知全集 U = R ,集合 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 和 (

N = {x x = 2k ? 1, k = 1, 2,?} 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的
集合的元素共有 ( )

A. 3 个 C. 1 个 答案 B

B. 2 个 D. 无穷多个

解析 由 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 得 ? 1 ≤ x ≤ 3 ,则 M ∩ N = { ,3},有 2 个,选 B. 1

例 2.(2009 山东卷理)集合 A = {0, 2, a} , B = 1, a 2 ,若 A ∪ B = {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值 为 A.0 答案 D 解析 ∵ A = {0, 2, a} , B = 1, a 2 , A ∪ B = {0,1, 2, 4,16} ∴ ? 例 3.下列集合中表示同一集合的是( C ) A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} 1} C.M = {4,5},N = {5,4} 答案:C 解析:由集合中元素的特征(确定性、无序性、唯一性)即得。 二、集合间的基本关系和运算 集合间的基本关系和运算 1、相关链接 、 (1)子集与真子集的区别与联系:集合 A 的真子集一定是其子集,而集合 A 的子集不 一定是其真子集;若集合 A 有 n 个元素,刚其子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空真子 集个数为 2n-2. (2)全集是一个相对概念,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集,是我们为研 究集合关系临时选定的一个集合. (3) 集合 A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是 全集. D.M = {1,2},N = {(1,2)} B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = B.1 C.2 D.4 ( )

{ }

{ }

?a 2 = 16 ∴ a = 4 ,故选 D. ? a=4

(4) 集合的基本运算包括交集、 并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思想的应用。 (5)集合的简单性质: (1) A ∩ A = A, A ∩ Φ = Φ, A ∩ B = B ∩ A; (2) A ∪ Φ = A, A ∪ B = B ∪ A; , A ∪ φ = A , A ? A ∪ B , B ? A ∪ B (3) ( A ∩ B ) ? ( A ∪ B ); (4) A ? B ? A ∩ B = A; A ? B ? A ∪ B = B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) , 。 (6) 若A ? B, B ? C , 则A ? C ;若 A 2、例题解析 、 例 1: B,B C,则 A C

17.解 ∵ ?U B = { x/x > ?1}
∵ ?U A = { x/x ≤ 0}

∴ A ∩ ?U B = { x/x > 0} = A……………5分

∴ B ∩ ?U A = { x/x ≤ ?1} = B ……………10分 ∴ ( A ∩ 痧B ) ∪ ( B ∩ U
U

A ) = A ∪ B = { x/x ≤ ?1或x > 0}……………12分 A) = A ∪ B ? A ∩ B = A ∪ B
2

另解 : 借助Venn图可得 ( A ∩ 痧B ) ∪ ( B ∩ U
2 2 2

U

例 2: 已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ,则实数 a 的取值范围为( ) .

分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系 分析 列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从 反面去考虑.从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情 形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正 确的解答. 解:由题知可解得 A={y|y>a +1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的范围.如图
2

由?

?a ≤ 2 ?a + 1 ≥ 4
2

,得 ?

?a ≤ 2 ?a ≥ 3或a ≤ ? 3

a 2

4 a2+1

∴a ≤ ? 3 或 3 ≤ a ≤ 2. 即 A∩B=φ时 a 的范围为 a ≤ ? 3 或 3 ≤ a ≤ 2 .而 A∩B≠φ时 a 的范围显然是其补集, 从而所求范围为 a | a > 2或 ? 3 < a <

{

3 .

}

注: (1)一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其 补集,求得其解,这就是“补集思想” . (2)解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系, 注意分类讨论思想的应用。 空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系, 在解题中漏掉它极 易导致错解。 三、集合与其他知识的综合应用 (广东汕头达濠中学·2009 年高一月考) 本题满分 14 分) (本题满分 例 1: : ( ) (
2 已知: 已知: A = x x ? 8 x + 15 = 0 , B = x ax ? 1 = 0 ,若 B ? A ,求:实数 a 组成的集

{

}

{

}

合。

解答: 由题意得:A = {3,5} , B ? A , B = ?, {3} , {5} …………………………………… ∵ ∴ 解答: 4分 ( 1 )

B=?





a = 0 ;…………………………………………………………………………6 分

a (2) = {3} 时, a ? 1 = 0 , = B 3
8分

1 ; ………………………………………………………… 3

a 5 (3) B = {5} 时, a ? 1 = 0 , =
10 分 ∴

1 ………………………………………………………… 5

a









? 1 1? ?0, , ? …………………………………………………………………………14 分 ? 3 5?

(本小题满分 已知集合 A = x x ? x ? 12 < 0 , 集合 B = x x + 2 x ? 8 > 0 , 例 2: 本小题满分 12 分) (
2

{

}

{

2

}

集合 C = x

{

x 2 ? 4ax + 3a 2 < 0, a ≠ 0} ,
(Ⅱ)若 C ? ( A ∩ B ) ,试确定实数 a 的取值范围. ………4 分 …6

(Ⅰ)求 A ∩ (CR B ) ;

解答: (Ⅰ)依题意得: A = {x ? 3 < x < 4} , B = { x x < ?4 或 x > 2} , A ∩ (CR B) = (?3, 2] 解答: (Ⅱ)∴ A ∩ B = { x 2 < x < 4} ①若 a = 0 ,则 C = { x x 2 < 0} = ? 不满足 C ? ( A ∩ B) 分 ②若 a > 0 ,则 C = { x a < x < 3 a} ,由 C ? ( A ∩ B) 得 ? 分 ③若 a < 0 ,则 C = { x 3a < x < a} ,由 C ? ( A ∩ B) 得 ? 分 综上,实数 a 的取值范围为 ≤ a ≤ 2 分
4 3

∴a≠0

?a ≤ 2 4 ? ≤a≤2 3 ?3a ≥ 4

……………………8

?3a ≤ 2 ? a∈? ?a ≥ 4

…………………10

………………12


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