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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 2.1向量的加法 新人教A版必修4


§2

从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法

,

)

1.问题导航 (1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗? (2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同? 2.例题导读 教材 P77 例 1,例 2,P78 例 3.通过此三例的学习,熟悉向量加法运算,学会利

用向量加 法解决实际生活问题. 试一试:教材 P81 习题 2-2 B 组 T1,T2,T3 你会吗?

1.向量加法的定义及运算法则 定 求两个向量和的运算,叫做向量的加法 义 前 已知向量 a,b,在平面内任取一点 A 提 作 → → → 作AB=a,BC=b,再作向量AC 三 法 角 → 向量AC叫做 a 与 b 的和,记作 a+b, 形 结 → → → 法 论 即 a+b=AB+BC=AC 则 图 形 法 则 平 行 四 边 形 法 则 规 定 前 提 作 法 结 论 图 形 零向量与任一向量 a 的和都有 a+0=0+a=a. 已知不共线的两个向量 a,b,在平面内任取一点 O 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作?OACB → 对角线OC就是 a 与 b 的和

2.向量加法的运算律
1

运算律

交换律 结合律

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( ) (2)|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件是 a∥b.( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( ) 解析:(1)正确.根据向量和的定义知该说法正确. (2)错误.条件应为 a∥b,且 a,b 的方向相同. (3)错误.当两个向量共线时,两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线. 答案:(1)√ (2)× (3)× 2.若 a,b 为非零向量,则下列说法中不正确的是( ) A.若向量 a 与 b 方向相反,且|a|>|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同 B.若向量 a 与 b 方向相反,且|a|<|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同 C.若向量 a 与 b 方向相同,则向量 a+b 与 a 的方向相同 D.若向量 a 与 b 方向相同,则向量 a+b 与 b 的方向相同 解析:选 B.因为 a 与 b 方向相反,|a|<|b|,所以 a+b 与 a 的方向相反,故 B 不正确. 3.化简下列各向量: → → (1)AB+BC=________. → → → (2)PQ+OM+QO=________. 解析:根据向量加法的三角形法则及运算律得: → → → (1)AB+BC=AC. → → → → → → → → → (2)PQ+OM+QO=PQ+QO+OM=PO+OM=PM. → → 答案:(1)AC (2)PM → → → 4.在△ABC 中,AB=a,BC=b,CA=c,则 a+b+c=________. → → → → → → 解析:由向量加法的三角形法则,得AB+BC=AC,即 a+b+c=AB+BC+CA=0. 答案:0 1.对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用范围:任意向量. (2)注意事项:①两个向量一定首尾相连; ②和向量的起点是第一个向量的起点,终点是第二个向量的终点. (3)方法与步骤: 第一步, 将 b(或 a)平移, 使一个向量的起点与另一个向量的终点相连; 第二步:将剩下的起点与终点用有向线段相连,且有向线段的方向指向终点,则该有向 线段表示的向量即为向量的和.也称“首尾相连,连首尾”. (4)图示:如图所示

2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用范围:任意两个非零向量,且不共线. (2)注意事项:①两个非零向量一定要有相同的起点; ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量. (3)方法与步骤:第一步:先把两个已知向量 a 与 b 的起点平移到同一点; 第二步: 以这两个已知向量为邻边作平行四边形, 则两邻边所夹的对角线所表示的向量
2

即为 a 与 b 的和. (4)图示:如图所示

3

已知向量作和向量 如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向量 a+b+c.

(链接教材 P81 习题 2-2 A 组 T3) → → → → → [解] 法一:如图(1),在平面内作OA=a,AB=b,则OB=a+b;再作BC=c,则OC=a +b+c.

→ → 法二:如图(2),在平面内作OA=a,OB=b,以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OADB,则 → → → OD=a+b;再作OC=c,以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC,则OE=a+b+c. 方法归纳 已知向量求作和向量的方法 (1)用三角形法则,在平面内任取一点,顺次作两个向量等于已知向量,从起点到终点 的向量就是两个向量的和. (2)用平行四边形法则, 在平面内任取一点, 从此点出发分别作两个向量等于已知向量, 以它们为邻边作平行四边形,共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和.

1.(1)如图所示,已知向量 a 和 b,求作 a+b.

(2)如图,已知 a,b,c 三个向量,试求作和向量 a+b+c.

解:(1)法一:(三角形法则)如图所示.

→ → ①在平面上任取一点 O,作OA=a,AB=b;
4

→ ②连接 OB,则OB=a+b. 法二:(平行四边形法则)如图所示.

→ → ①在平面上任取一点 O,作OA=a,OB=b;

→ ②以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则OC=a+b. → → (2)作出来的和向量如图,首先在平面内任取一点 O,作向量OA=a,再作向量AB=b, → → → 则得向量OB=a+b,然后作向量BC=c,则向量OC即为所求.

向量的加法运算 (1)下列等式不正确的是( ) → → → → → → ①a+(b+c)=(a+c)+b;②AB+BA=0;③AC=DC+AB+BD. A.②③ B.② C.① D.③ (2)设 A,B,C,D 是平面上任意四点,试化简: → → → ①AB+CD+BC; → → → → ②DB+AC+BD+CA. (链接教材 P81 习题 2-2A 组 T5(1)(2)) → → → [解] (1)选 B.由向量的加法满足结合律知①正确; 因为AB+BA=0, 故②不正确; DC+ → → → → → → AB+BD=AB+BD+DC=AC成立,故③正确. → → → → → → → → → (2)①AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD. → → → → → → → → ②DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0. 方法归纳 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据, 实现恰当利用向量加法法则运算的目 的. 实际上, 由于向量的加法满足交换律和结合律, 故多个向量的加法运算可以按照任意的 次序、任意的组合来进行. (2)应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律, 使各向量“首尾相连”, 通过向量加法的结合律 调整向量相加的顺序.

5

2.(1)在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是( → → → → A.AB=CD,BC=AD → → → B.AD+OD=DA → → → → C.AO+OD=AC+CD → → → → D.AB+BC+CD=DA (2)化简下列各式: → → → → ①(AD+MB)+(BC+CM)=________. → → → → → ②AB+DF+CD+BC+FA=________. → → → → → → → → → → 解析:(1)因为AO+OD=AD,AC+CD=AD,所以AO+OD=AC+CD.

)

→ → → → → → → → → (2)①(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BM=AD+0=AD. → → → → → → → → → → → → → → → → → ②AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC)+(DF+FA)+CD=AC+DA+CD=(AC+CD)+DA=AD → +DA=0. → 答案:(1)C (2)①AD ②0

向量加法的应用 (1)已知图中电线 AO 与天花板的夹角为 60°,电线 AO 所受拉力|F1|=24 N;绳 BO 与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则 F1 与 F2 的合力大小为________N;方向为________.

(2)如图是中国象棋的部分棋盘, “马走日”是象棋中“马”的走法, 如果不从原路返回, 那么“马”从 A 经过 B 再走回到 A 最少需几步?

(链接教材 P77 例 1,例 2,P78 例 3) [解]

→ (1)如图,根据向量加法的平行四边形法则,得合力 F1+F2=OC. → → 在△OAC 中,|F1|=24,|AC|=12,∠OAC=60°,所以∠OCA=90°,|OC|=12 3, 所以 F1 与 F2 的合力大小为 12 3 N,方向为竖直向上.故填 12 3和竖直向上. → → → → (2)如图, 如果不从原路返回, 那么所走路线为 A→B→C→D→A, 即AB+BC+CD+DA=0,
6

所以最少需四步.

本例(2)条件不变,若不限步数,那么“马”从 A 经过 B 再走回 A 时, 所走的步数有什么特点? 解:若不限步数,则“马”从 A 经过 B 再走回 A 时,不论如何走,均需走偶数步,且不 少于四步. 方法归纳 向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相 等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转 化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.

3.(1)若 a 表示向东走 8 km,b 表示向北走 8 km,则|a+b|=________km,a+b 的方 向是________.

(2)如图所示,在某次抗震救灾中,一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员,然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院,求 这架飞机飞行的路程及两次位移的和. → → → 解:(1)设OA=a,OB=b,则OC=a+b. → → 又因为|OA|=8,|OB|=8, → 所以|OC|=|a+b|=8 2. 又因为∠AOC=45°, 所以 a+b 的方向是北偏东 45°.故填 8 2和北偏东 45°.

→ → (2)设AB,BC分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km,从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km, → → 则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|; → → → 两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC. → → 依题意有|AB|+|BC|=800+800=1 600(km), 又 α =35°,β =55°,∠ABC=35°+55°=90°, → → 所以|AC|= |→ AB|2+|BC|2 2 2 = 800 +800 =800 2(km).
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易错警示

未能正确理解向量加法致误

小船以 10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶, 同时河水的流速为 10 km/h,则小船实际航行速度的大小为________km/h. [解析] 如图,

设船在静水中的速度为|v1|=10 3 km/h,河水的流速为|v2|=10 km/h,小船实际航行 2 2 2 2 2 2 速度为 v0,则由|v1| +|v2| =|v0| ,得(10 3) +10 =|v0| ,所以|v0|=20 km/h,即小船 实际航行速度的大小为 20 km/h. [答案] 20 [错因与防范] (1)解答本题,易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和,导 致得不到正确的实际航速关系式而出错. (2)①向量的和一般不能直接用模作和;要注意向量的方向的合成,如本例中用两个速 度不能直接作和; ②船在静水中的航行速度, 水流的速度, 船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方 向不共线时不能直接求实际航行速度, 如本例中两个方向垂直, 利用勾股定理求速度的大小. 4.(1)一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,若船的实际航行方向与水流方向垂直,则经过 3 h,该船的实际航程为________km. (2)在静水中船的速度为 20 m/min,水流的速度为 10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直 于水流的航线到达对岸,求船行进的方向. → → → 解:(1)由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实 际速度.

→ → 因为|OA|=2,|OB|=4,∠AOB=120°,则∠CBO=60°, 又因为∠AOC=∠BCO=90°, → 所以|OC|=2 3, 所以船的实际航行速度为 2 3 km/h, 则实际航程为 2 3×3=6 3(km).故填 6 3. (2)作出图形,如图.

船速 v 船与岸的方向成 α 角,由图可知 v 水+v 船=v 为平行四边形, 在 Rt△ACD 中, → → |CD|=|AB|=|v 水|=10 m/min,

实际

,结合已知条件,四边形 ABCD

8

→ |AD|=|v 船|=20 m/min, → |CD| 10 1 所以 cos α = = = , → 20 2 |AD| 所以 α =60°,从而船与水流方向成 120°的角. 故船行进的方向是与水流的方向成 120°角的方向. 1.已知下面的说法: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向与 a 或 b 的方向相同; → → → ②在△ABC 中,必有AB+BC+CA=0; → → → ③若AB+BC+CA=0,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a,b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 B.①当 a+b=0 时,不成立;②说法正确;③当 A,B,C 三点共线时,也可 → → → 以有AB+BC+CA=0,故此说法不正确;④当 a,b 共线时,若 a,b 同向,则|a+b|=|a| +|b|;若 a,b 反向,则|a+b|=||a|-|b||;当 a,b 不共线时,|a+b|<|a|+|b|,故 此说法不正确. 2.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )

→ → → A.FD+DA=FA → → → B.FD+DE+FE=0 → → → C.DE+DA=EB → → → D.DA+DE=FD → → → 解析:选 A.如题图,可知FD+DA=FA, → → → → → FD+DE+FE=FE+FE≠0, → → → DE+DA=DF,故 A 正确. → → → → → 3.化简(AB+MB)+(BO+BC)+OM=________. → → → → → → → → → → → 解析:原式=(AB+BO)+(OM+MB)+BC=AO+OB+BC=AB+BC=AC. → 答案:AC

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标] → → → 1.在四边形 ABCD 中,若AC=AB+AD,则( )
9

A.四边形 ABCD 是矩形 B.四边形 ABCD 是菱形 C.四边形 ABCD 是正方形 D.四边形 ABCD 是平行四边形 解析:选 D.由向量加法的平行四边形法则知四边形 ABCD 是平行四边形.故选 D. → → → 2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,BC+DC+BA=( )

→ A.BD → C.BC

B.DB D.CB

→ →

→ → → → → → → → 解析:选 C.BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC+0=BC. 3.已知 a,b,c 是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c +(b+a)中,与向量 a+b+c 相等的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选 A.依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与 a+b+c 相等,故选 A. → → 4.如图所示的方格中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=( )

→ A.OH → C.FO

→ B.OG → D.EO

→ → 解析:选 C.设 a=OP+OQ,以 OP,OQ 为邻边作平行四边形,则夹在 OP,OQ 之间的对角 → → → → 线对应的向量即为向量 a=OP+OQ,则 a 与FO长度相等,方向相同,所以 a=FO. → → → → 5.设 a=(AB+CD)+(BC+DA),b 是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤ → → → → 解析:选 C.因为(AB+CD)+(BC+DA) → → → → =AB+BC+CD+DA=a=0. 所以 a∥b,a+b=b, 即①③正确,②错误,而 a=0 时,|a+b|=|b|=|a|+|b|,故④错误,⑤正确. 6.当非零向量 a,b 满足________时,a+b 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内角. 解析:由平面几何知识知,在平行四边形中,菱形的对角线平分其内角. 答案:|a|=|b| → → → → 7.矩形 ABCD 中,|AB|= 3,|BC|=1,则向量AB+AD+AC的长度等于________. 解析:

10

→ → → 因为 ABCD 为矩形,所以AB+AD=AC, → → → → → → → → → → 所以AB+AD+AC=AC+AC,如图,过点 C 作CE=AC,则AC+AC=AE, → → → → 所以|AB+AD+AC|=|AE| → → =2|AC|=2 |→ AB|2+|BC|2=4. 答案:4 → → → → 8.在平行四边形 ABCD 中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则四边形 ABCD 是________(图形). → → → → → → 解析:如图所示,BC+BA=BD,BC+AB=AC, → → → → 又|BC+BA|=|BC+AB|,

→ → 所以|BD|=|AC|,则四边形 ABCD 是矩形. 答案:矩形 → → → → 9.如图所示,P,Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点,且 BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.

→ → → → → → 证明:AB=AP+PB,AC=AQ+QC, → → → → → → 所以AB+AC=AP+PB+AQ+QC. → → 因为PB与QC大小相等,方向相反, → → 所以PB+QC=0, → → → → → → 故AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ. 10.如图,在重 300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的 夹角分别为 30°,60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力.

解:如图,在平行四边形 OACB 中,∠AOC=30°,∠BOC=60°,则在△OAC 中,∠ACO → → → =∠BOC=60°,∠OAC=90°,设向量OA,OB分别表示两根绳子的拉力,则CO表示物体的重 → 力,|CO|=300 N,

→ → 所以|OA|=|CO|cos 30°=150 3 N, → → |OB|=|CO|cos 60°=150 N. 所以与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N,
11

与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N. [B.能力提升] → → → → 1.设 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同的点,则使MA1+MA2+MA3+MA4=0 成立的 点 M 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:选 B.根据所给的四个向量的和是一个零向量, → → → → 即MA1+MA2+MA3+MA4=0.当 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点确定以后,在平 面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量,故选 B. → → → → 2.已知|OA|=3,|OB|=3,∠AOB=60°,则|OA+OB|=( ) A. 3 B.3 C.2 3 D.3 3 → → → → → → 解析:选 D.在平面内任取一点 O,作向量OA,OB,以OA,OB为邻边作?OACB,则OC=OA+ → → OB.由题意知四边形 OACB 为菱形,又∠AOB=60°,所以|OC|=2×3×sin 60°=3 3. → → → 3.已知 G 是△ABC 的重心,则GA+GB+GC=________. 解析:

→ → 如图,连接 AG 并延长交 BC 于 E,点 E 为 BC 中点,延长 AE 到 D,使 GE=ED,则GB+GC → → → =GD,GD+GA=0, → → → 所以GA+GB+GC=0. 答案:0 → → → 4.若|AB|=10,|AC|=8,则|BC|的取值范围是________. → → → → 解析:如图,固定AB,以 A 为起点作AC,则AC的终点 C 在以 A 为圆心,|AC|为半径的圆 → → 上,由图可见,当 C 在 C1 处时,|BC|取最小值 2,当 C 在 C2 处时,|BC|取最大值 18.

答案:[2,18] 5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际 向南偏西 30°方向行驶 2 km,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗? 解:

→ 如图,用AC表示船的第一次位移,

12

→ → → → 用CD表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD=AC+CD, → 所以AD可表示两次位移的和位移. 由题意知,在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°, 1 所以 BC= AC=1,AB= 3. 2 在等腰△ACD 中,AC=CD=2, 1 所以∠D=∠DAC= ∠ACB=30°, 2 所以∠BAD=60°,AD=2AB=2 3, 所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60°,位移的大小为 2 3 km. → → → → 6.(选做题)在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,且|AB|=|AD|=1,OA+OC= 1 → → → → → → OB+OD=0,cos∠DAB= .求|DC+BC|与|CD+BC|. 2

→ → → → 解:因为OA+OC=OB+OD=0, → → → → 所以OA=CO,OB=DO, 所以四边形 ABCD 为平行四边形, → → 又|AB|=|AD|=1,知四边形 ABCD 为菱形. 1 因为 cos∠DAB= ,∠DAB∈(0,π ), 2 π 所以∠DAB= ,所以△ABD 为正三角形, 3 → → → → → → 所以|DC+BC|=|AB+AD|=|AC|=2|AO|= 3. → → → → |CD+BC|=|BD|=|AB|=1.

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