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江苏省苏州市2016届高三上学期期末数学试卷 Word版含解析


2016 年江苏省苏州市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设全集 U={x|x≥2,x∈N}.集合 A={x|x2≥5,x∈N},则?UA=______. 2.复数 z= (a<0) ,其中 i 为虚数单位,|z|= ,则 a 的值为______.

3.双曲线

的离心率为______.

4.若一组样本数据 9,8,x,10,11 的平均数为 10,则该组样本数据的方差为______. 5.己知向量 =(l,2) , =(x,﹣2) ,且 丄( ﹣ ) ,则实数 x=______. 6.阅读算法流程图,运行相应的程序,输出的结果为______

7.函数 f(x)=

的值域为______.

8.连续 2 次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) .则事件“两次向上 7 ______ ” 的数字之和等于 发生的概率为 . 9.将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1:2:3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个 圆锥的底面半径依次为 r1,r2,r3,则 r1+r2+r3=______. 10.已知 θ 是第三象限角,且 sinθ﹣2cosθ=﹣ ,则 sinθ+cosθ=______. 11.己知{an}是等差数列,a5=15,a10=﹣10,记数列{an}的第 n 项到第 n+5 顶的和为 Tn; , 则|Tn|取得最小值时的 n 的值为______. 12.若直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 将圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=8 分成长度相等的四段弧, 则 a2+b2=______. 13.己知函数 f(x)=|sinx 丨一 kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,设此三个零点中的 最大值为 x0,则 =______.

14.已知 ab= ,a,b∈(0,1) ,则

+

的最小值为______.

二、解答题:本大题共 6 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 三个内角 A, 且满足 =2cosC.

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的面积为 2 ,a+b=6,求边 c 的长. 16.如图.在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分別 AB,BC 的中点,A1C1 与 B1D1 交于点 O. (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 OD⊥A1E,求证:OD 丄平面 A1C1FE.

17. 图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图, 其横断面如图 2 所示, 其中 C 为半圆弧 的中点, 坝宽 AB 为 2 米. (1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时,求水面的宽度; (2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平 行,则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?

18.如图,已知椭圆 O:

+y2=1 的右焦点为 F,点 B,C 分别是椭圆 O 的上、下顶点,

点 P 是直线 l:y=﹣2 上的一个动点(与 y 轴交点除外) ,直线 PC 交椭圆于另一点 M. (1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,求△FBM 的面积; (2)①记直线 BM,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值; ②求 ? 的取值范围.

19.已知数列{an}满足:a1= ,an+1﹣an=p?3n﹣1﹣nq,n∈N*,p,q∈R. (1)若 q=0,且数列{an}为等比数列,求 p 的值; (2)若 p=1,且 a4 为数列{an}的最小项,求 q 的取值范围. 20.己知函数 f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a(a∈R) ,e 为自然对数的底数. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)①若存在实数 x,满足 f(x)<0,求实数 a 的取值范围:②若有且只有唯一整数 x0, 满足 f(x0)<0,求实数 a 的取值范围. 选做题[选修 4-1:几何证明选讲] 21.如图,四边形么 BDC 内接于圆,BD=CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点. (I)求证:∠EAC=2∠DCE; (Ⅱ)若 BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=3 及对应的一个特征向量 1,2)变换成(9,15) ,求矩阵 M. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数) ,在以坐标原点 = , 并且 M 对应的变换将点 (﹣

O 为极点,x 轴的正半轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,求曲线 C1 与 C2 的交 点在直角坐标系中的直角坐标. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2;

(Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. [必做题.]第 25、26 题,每小题 0 分,共 20 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 25.一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的 A,B,C 三种商品有购 买意向.已知该网民购买 A 种商品的概率为 ,购买 B 种商品的槪率为 ,购买 C 种商品 的概率为 .假设该网民是否购买这三种商品相互独立 (1)求该网民至少购买 2 种商品的概率; (2)用随机变量 η 表示该网民购买商品的种数,求 η 的槪率分布和数学期望. 26.如图,由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵,第一层有 1 个小正方形,第二层有 2 个小正方形,依此类推,第 k 层有 k 个小正方形,除去最底下的一层,每个小正方形都放置 在它下一层的两个小正方形之上. 现对第 k 层的每个小正方形用数字进行标注, 从左到右依 次记为 x1,x2,…xk,其中 xi∈{0,1}(1≤i≤k) ,其它小正方形标注的数字是它下面两个 小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为 x0; (1)当 k=4 时,若要求 x0 为 2 的倍数,则有多少种不同的标注方法? (2)当 k=11 时,若要求 x0 为 3 的倍数,则有多少种不同的标注方法?

2016 年江苏省苏州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设全集 U={x|x≥2,x∈N}.集合 A={x|x2≥5,x∈N},则?UA= {2} . 【考点】补集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集,列举出解集中的自然数解确定出 A,求出 A 的补集即可. 【解答】解:∵全集 U={x|x≥2,x∈N},A={x|x2≥5,x∈N}={x|x> ,x∈N}, ∴?UA={x|2≤x≤ ,x∈N}={2}, 故答案为:{2}.

2.复数 z=

(a<0) ,其中 i 为虚数单位,|z|=

,则 a 的值为 ﹣5 .

【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:复数 z= ∵|z|= ∴ 解得 a=﹣5. 故答案为:﹣5. , = ,化为:a2=25, (a<0) . = = ,

3.双曲线

的离心率为



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据事务性的方程可得 a,b,c 的数值,进而求出双曲线的离心率. 【解答】解:因为双曲线的方程为 所以 a2=4,a=2,b2=5, 所以 c2=9,c=3, 所以离心率 e= . 故答案为 . ,

4.若一组样本数据 9,8,x,10,11 的平均数为 10,则该组样本数据的方差为 【考点】极差、方差与标准差. 【分析】由已知条件先求出 x,再利用方差公式求出该组样本数据的方差. 【解答】解:∵一组样本数据 9,8,x,10,11 的平均数为 10,

2 .

∴ (9+8+x+10+11)=10, 解得 x=12, ∴该组样本数据的方差 S2= 10)2]=2. 故答案为:2. 5.己知向量 =(l,2) , =(x,﹣2) ,且 丄( ﹣ ) ,则实数 x= 9 . 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 【分析】利用向量的垂直关系,通过数量积求解即可. 【解答】解:向量 =(l,2) , =(x,﹣2) ,且 丄( ﹣ ) , 可得(1,2)?(1﹣x,4)=0.即 9﹣x=0,解得 x=9. 故答案为:9. [(9﹣10)2+(8﹣10)2+(12﹣10)2+(10﹣10)2+(11﹣

6.阅读算法流程图,运行相应的程序,输出的结果为

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 z,y 的值,并输出 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过 程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 x y z 循环前/1 1 2 1 2 3 第一圈 是 2 3 5 第二圈 是 3 5 8 第三圈 是 第六圈 此时可得: 否 = .

故答案为: .

7.函数 f(x)=

的值域为 (﹣∞,1] .

【考点】函数的值域. 【分析】按分段函数分段求 f(x)的取值范围,从而解得. 【解答】解:∵x≤0, ∴0<f(x)=2x≤1, ∵x>0, ∴f(x)=﹣x2+1<1, 综上所述,f(x)≤1, 故答案为: (﹣∞,1]. 8.连续 2 次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) .则事件“两次向上 的数字之和等于 7”发生的概率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】连续 2 次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) ,先求出基本 事件总数,再用列举法求出事件“两次向上的数字之和等于 7”包含的基本事件的个数,由此 能求出事件“两次向上的数字之和等于 7”的概率. 【解答】解:连续 2 次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) , 基本事件总数 n=6×6=36, 事件“两次向上的数字之和等于 7”,有: (1,6) , (6,1) , (2,5) , (5,2) , (3,4) , (4,3) ,共 6 个, ∴事件“两次向上的数字之和等于 7”的概率 p= = 故答案为: . = .

9.将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1:2:3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个 圆锥的底面半径依次为 r1,r2,r3,则 r1+r2+r3= 5 . 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】根据已知,分别计算出 r1,r2,r3,进而得到答案. 【解答】解:将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1:2:3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面, ∴则 2πr1= ∴r1= ×5, 同理:r2= ×5, r3= ×5, ,

∴r1+r2+r3=( + + )×5=5, 故答案为:5.

10.已知 θ 是第三象限角,且 sinθ﹣2cosθ=﹣ ,则 sinθ+cosθ= ﹣ 【考点】三角函数的化简求值.



【分析】由已知得 sin2θ+cos2θ=(2cosθ﹣ )2+cos2θ=1,由此求出 cosθ,进而求出 sinθ, 由此能求出结果. 【解答】解:∵θ 是第三象限角,且 sinθ﹣2cosθ=﹣ , ∴sin2θ+cos2θ=(2cosθ﹣ )2+cos2θ=1, 解得 cosθ=﹣ ∴sinθ=﹣ ∴sinθ+cosθ=﹣ 故答案为:﹣ . . 或 cosθ= , (舍) =﹣ ,

11.己知{an}是等差数列,a5=15,a10=﹣10,记数列{an}的第 n 项到第 n+5 顶的和为 Tn; , 则|Tn|取得最小值时的 n 的值为 5 或 6 . 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】由等差数列通项公式求出 an,an+5,然后由前 n 项和公式可求得 Tn,根据其表达式 由绝对值的最小值可得答案. 【解答】解:由 a5=15,a10=﹣10, 公差 d= = =﹣5,

则 an=a5+(﹣5) (n﹣5)=40﹣5n, an+5=40﹣5(n+5)=15﹣5n, 所以和 Tn= =165﹣30n,

当 n=5.5 时,|Tn|=0, 由于 n 为整数,所以 n 应取 5 或 6, |Tn|取得最小值 0. 故答案为:5 或 6. 12.若直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 将圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=8 分成长度相等的四段弧, 则 a2+b2= 18 . 【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧,转化为圆心 C 到直线 l1:y=x+a 或 l2:y=x+b 的距离相等,且为 2,利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【解答】解:∵直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 为平行线, ∴若直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 将圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=8 分成长度相等的四段弧, 则圆心为 C(1,2) ,半径为 =2 , 则圆心 C 到直线 l1:y=x+a 或 l2:y=x+b 的距离相等,且为 2, 即 d= = =2,

即|a﹣1|=2 , 则 a=2 +1 或 a=1﹣2 , 即 a=2 +1,b=1﹣2 或 b=2 +1,a=1﹣2 , 则 a2+b2=(2 +1)2+(1﹣2 )2=9+4 +9﹣4 =18, 故答案为:18 13.己知函数 f(x)=|sinx 丨一 kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,设此三个零点中的 最大值为 x0,则 = .

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】作函数 y=|sinx|与 y=kx 的图象,从而可得 x0∈(π,2π) ,y0=﹣sinx0,y′=﹣cosx, 从而可得 x0= ,从而化简即可.

【解答】解:作函数 y=|sinx|与 y=kx 的图象如下,

结合图象可知,x0∈(π,2π) , 此时,y0=﹣sinx0,y′=﹣cosx, 故 =﹣cosx0,故 x0= ,



=

=

= ;

故答案为: .

14.已知 ab= ,a,b∈(0,1) ,则

+

的最小值为 4+



【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】先根据条件消掉 b,即将 b= 最后运用基本不等式求其最小值. 【解答】解:因为 ab= ,所以,b= , 代入原式得 + ,再裂项并用贴“1”法,

因此,

+

=

+

= = = ( =

+ + +

= +2=2(

+ + )+2

)[(4a﹣1)+(4﹣4a)]+2 + ]+2 , ,取“=”, 的最小值为:4+ . ,

[1+2+

≥ (3+2

)+2=4+

当且仅当:a= 即, +

故答案为:4+

二、解答题:本大题共 6 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 三个内角 A, 且满足 (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的面积为 2 =2cosC.

,a+b=6,求边 c 的长.

【考点】正弦定理. 【分析】 (1) 由已知及余弦定理可得: =1, 可求 cosC= , 结合范围 C∈ (0,

π)可求 C 的值. (2)利用三角形面积公式可得 ab=8,又 a+b=6,利用余弦定理即可求值得解. acosB+bcosA=a× 【解答】 解: (1) 由余弦定理可得: =c,…3 分 ∴ ∴cosC= , 又∵C∈(0,π) ,C= …7 分 ,∴ab=8,…10 分 =1, +b× =

(2)∵S△ ABC= absinC=2

又∵a+b=6, ∴c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab=12,…13 分 ∴c=2 …14 分 16.如图.在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分別 AB,BC 的中点,A1C1 与 B1D1 交于点 O. (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 OD⊥A1E,求证:OD 丄平面 A1C1FE.

【考点】直线与平面垂直的判定;平面的基本性质及推论. 【分析】 (1)连接 AC,由 EF 是△ABC 的中位线,可得 EF∥AC,又 AA1 CC1,可证 AC ∥A1C1,从而可证 EF∥A1C1,即 A1,C1,F,E 四点共面; (2)连接 BD,可证 DD1⊥A1C1,又 A1C1⊥B1D1,可证 A1C1⊥平面 BB1DD1,可得 OD⊥ A1C1,结合 OD⊥A1E,即可证明 OD⊥平面 A1C1FE. 【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (1)连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是△ABC 的中位线, 所以 EF∥AC, 由直棱柱知:AA1 CC1,所以四边形 AA1C1C 为平行四边形,所以 AC∥A1C1,…5 分 所以 EF∥A1C1, 故 A1,C1,F,E 四点共面;…7 分, (2)连接 BD,因为直棱柱中 DD1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1? 平面 A1B1C1D1,

所以 DD1⊥A1C1, 因为底面 A1B1C1D1 是菱形,所以 A1C1⊥B1D1, 又 DD1∩B1D1=D1,所以 A1C1⊥平面 BB1DD1,…11 分 因为 OD? 平面 BB1DD1, 所以 OD⊥A1C1, 又 OD⊥A1E,A1C1∩A1E=A1,A1C1? 平面 A1C1FE,A1E? 平面 A1C1FE, 所以 OD⊥平面 A1C1FE…14 分

17. 图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图, 其横断面如图 2 所示, 其中 C 为半圆弧 的中点, 坝宽 AB 为 2 米. (1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时,求水面的宽度; (2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平 行,则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系 xoy,推 导出半圆的半径为 1 米,求出半圆的方程、OD、DM,由此能求出水面的宽度. (2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆相切,由此利用切线方程、导数性质 能求出当渠底宽为 米时,所挖的土最少.

【解答】解: (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立如图所示的平面直角 坐标系 xoy, ∵AB=2 米,∴半圆的半径为 1 米, 则半圆的方程为 x2+y2=1, (﹣1≤x≤1,y≤0) , ∵水深 CD=0.4 米,∴OD=0.6 米, 在 Rt△ODM,DM= = =0.8(米) ,

∴MN=2DM=1.6 米, ∴水面的宽度为 1.6 米. (2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆相切,

设切点为 P(cosθ,sinθ) , (﹣

<θ<0)为圆弧 BC 上的一点,

过 P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形 OCFE,得切线 EF 的方程为 xcosθ+ysinθ=1, 令 y=0,得 E( ,0) ,令 y=﹣1,得 F( ,﹣1) ,

设直线梯形 OCFE 的面积为 S, 则 S=(CF+OE)?OC=( + )×1= , (﹣ <θ<0) ,

S′=

=



令 S′=0,解得 θ=﹣ 当﹣ ∴

, 时,S′<0,函数单调递减; 当﹣ <θ<0 时,S′>0,函数单调递增.

时,面积 S 取得最小值,最小值为



此时 CF=

=



即当渠底宽为

米时,所挖的土最少.

18.如图,已知椭圆 O:

+y2=1 的右焦点为 F,点 B,C 分别是椭圆 O 的上、下顶点,

点 P 是直线 l:y=﹣2 上的一个动点(与 y 轴交点除外) ,直线 PC 交椭圆于另一点 M. (1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,求△FBM 的面积; (2)①记直线 BM,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值; ②求 ? 的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (1)求得椭圆的 a,b,c,可得 B,C,F 的坐标,求得 PM 的方程代入椭圆方程, 可得 M,再由 BF 的方程,求得 M 到直线 BF 的距离,再由三角形的面积公式计算即可得到 所求值; (2)①设 P(m,﹣2) (m≠0) ,求得 PM 的方程,代入椭圆方程求得 M 的坐标,运用直 线的斜率公式计算即可得到 k1?k2 为定值; PM 的坐标, ②求得向量 PB, 运用向量的数量积的坐标表示,可得 令 t=4+m2>4,由函数的单调性,可得所求范围. 【解答】解: (1)由椭圆的方程 即有 B(0,1) ,C(0,﹣1) ,F( 直线 PM: + =1,即为 y= +y2=1,可得 a=2,b=1,c= ,0) , x﹣1, , ? = ,

代入椭圆方程可得,M( 连接 BF,可得 BF:

, ) , +y=1,即为 x+ y﹣ =0,

而 BF=a=2,M 到直线 BF 的距离为 d=

=



即有 S△ MBF= BF?d= ?2?

=

; =﹣ ,

(2)①设 P(m,﹣2) (m≠0) ,kPM=

PM:y=﹣ x﹣1,代入椭圆方程可得(4+m2)x2+8mx=0,

解得 M(﹣



) ,k1=

= m,k2=

=﹣ ,

则 k1k2= m?(﹣ )=﹣ 为定值;

②由①知,

= 3) (﹣m, ,

= (﹣

﹣m,

= +2) (﹣



) ,

?

=﹣m?(﹣

)+3?

=



令 t=4+m2>4,即有

?

=

=t﹣ +7,

由 y=t﹣ +7 在(4,+∞)单调递增,则 故 ? 的取值范围为(9,+∞) .

?

=t﹣ +7>4﹣ +7=9,

19.已知数列{an}满足:a1= ,an+1﹣an=p?3n﹣1﹣nq,n∈N*,p,q∈R. (1)若 q=0,且数列{an}为等比数列,求 p 的值; (2)若 p=1,且 a4 为数列{an}的最小项,求 q 的取值范围. 【考点】数列递推式;数列的函数特性. 【分析】 (1)把 q=0 代入数列递推式,求出 a2,a3 的值,由 求得 p 的值;

(2)把 p=1 代入数列递推式,a2,a3,a4,a5 的值,由 a1≥a4,a2≥a4,a3≥a4,解得 q≥3; 再由 an+1﹣an=3n﹣1﹣nq>0 在 n≥4 时成立可得 q 的取值范围. 【解答】解: (1)当 q=0 时,an+1﹣an=p?3n﹣1﹣nq=p?3n﹣1, ∵a1= ,∴ 由数列{an}为等比数列,得 即 ,a3=a2+3p= , ,

,解得:p=0 或 p=1;

(2)由 p=1,得 an+1﹣an=3n﹣1﹣nq, 又 a1= ,∴ , , .

由 a1≥a4,a2≥a4,a3≥a4,解得:q≥3; 又 an+1﹣an=3n﹣1﹣nq≥0 对于任意的 n≥4 恒成立, ∴ 在 n≥4 时恒成立, 在 x≥4 时为增函数,

求导可知,f(x)= ∴ ∴3 . .

20.己知函数 f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a(a∈R) ,e 为自然对数的底数.

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)①若存在实数 x,满足 f(x)<0,求实数 a 的取值范围:②若有且只有唯一整数 x0, 满足 f(x0)<0,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,讨论 x>0,x<0,结合指数函数的单调性,可得导数的 符号,进而得到单调区间; (2)①讨论 x=1,x>1.x<1,运用参数分离,记 g(x)= 出单调区间,可得最值,可得 a 的范围; ②由①可得 0<a<1 时,以及当 a>4e ,运用 g(x)的单调性,可得不等式组,解不等 ,求出导数,求

式即可得到所求 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=ex(2x﹣1)﹣x+1,导数 f′(x)=ex(2x+1)﹣1, 当 x>0 时,ex>1,2x+1>1,可得 f′(x)>0; 当 x<0 时,0<ex<1,2x+1<1,可得 f′(x)<0. 即有 f(x)的增区间为(0,+∞) ,减区间为(﹣∞,0) ; x (2)①由 f(x)<0 可得 e (2x﹣1)<a(x﹣1) ,当 x=1 时,不等式显然不成立; 当 x>1 时,a> ;当 x<1 时,a< ;

记 g(x)=

,g′(x)=



可得 g(x)在(﹣∞,0) , ( ,+∞)上递增;在(0,1) , (1, )递减; 可得当 a>1 时,a>g( )=4e ;当 x<1 时,a<g(0)=1, ,+∞) ;

综上可得,a 的取值范围是(﹣∞,1)∪(4e

②由①可得 0<a<1 时,x0∈(﹣∞,1) ,由 f(x0)<0,得 g(x0)>a, 又 g(x)在(﹣∞,0)递增,在(0,1)递减,且 g(0)=1>a, 则 g(﹣1)≤a,即 a≥ 当 a>4e ,故 ≤a<1;

,x0∈(1,+∞) ,由 f(x0)<0,得 g(x0)<a. <a,

又 g(x)在(1, )递减, ( ,+∞)上递增,且 g( )=4e ,解得 3e2<a< e3. ,1)∪(3e2, e3].

可得

综上可得,实数 a 的取值范围是[

选做题[选修 4-1:几何证明选讲] 21.如图,四边形么 BDC 内接于圆,BD=CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点. (I)求证:∠EAC=2∠DCE; (Ⅱ)若 BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长.

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (Ⅰ)由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD,由弦切角定理得∠ECD=∠CBD,从而 ∠BCE=2∠ECD,由此能证明∠EAC=2∠ECD. (Ⅱ)由已知得 AC⊥CD,AC=AB,由 BC=BE,得 AC=EC.由切割线定理得 EC2=AE?BE, 由此能求出 AB 的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:因为 BD=CD,所以∠BCD=∠CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD. 所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD.… (Ⅱ)解:因为 BD⊥AB,所以 AC⊥CD,AC=AB. 因为 BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以 AC=EC. 由切割线定理得 EC2=AE?BE,即 AB2=AE?( AE﹣AB) ,即 2 AB +2 AB﹣4=0,解得 AB= ﹣1.… [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=3 及对应的一个特征向量 1,2)变换成(9,15) ,求矩阵 M. 【考点】特征向量的意义;二阶行列式与逆矩阵. 【分析】设 M= ,得到 , ,由此能求出矩阵 M. = , 并且 M 对应的变换将点 (﹣

【解答】解:设 M= 故 ,… = ,

,则

=3

=





,…

联立以上两方程组解得 a=﹣1,b=4,c=﹣3,d=6, 故 M= . …

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数) ,在以坐标原点

O 为极点,x 轴的正半轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,求曲线 C1 与 C2 的交 点在直角坐标系中的直角坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】分别把曲线 C1 的参数方程化为直角坐标方程,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,化为 直角坐标方程,联立解出即可得出. 【解答】解:曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数) ,化为直角坐标方程:y= x. (x

≥0) . 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,化为 x2+y2=4. 联立 ,解得

∴曲线 C1 与 C2 的交点在直角坐标系中的直角坐标为 [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法.



【分析】 (Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)由 f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝对 值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求. f =|x+ |+|x﹣a|≥| 【解答】 解: (Ⅰ) 证明: ∵a>0, (x) (x+ ) ﹣ (x﹣a) |=|a+ |=a+ ≥2 =2,

故不等式 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5, ∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a2﹣5a+1<0,解得 3<a< 当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a2﹣a﹣1>0,求得 . <a≤3.

综上可得,a 的取值范围(



) .

[必做题.]第 25、26 题,每小题 0 分,共 20 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 25.一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的 A,B,C 三种商品有购 买意向.已知该网民购买 A 种商品的概率为 ,购买 B 种商品的槪率为 ,购买 C 种商品 的概率为 .假设该网民是否购买这三种商品相互独立 (1)求该网民至少购买 2 种商品的概率; (2)用随机变量 η 表示该网民购买商品的种数,求 η 的槪率分布和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分 布列. 【分析】 (1)记“记网民购买 i 种商品”为事件 Ai,i=2,3,分别求出 P(A3)和 P(A2) ,由 此能求出该网民至少购买 2 种商品的概率. (2)随机变量 η 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 η 的分布列和 Eη. 【解答】解: (1)记“记网民购买 i 种商品”为事件 Ai,i=2,3, 则 P(A3)= P(A2)= ∴该网民至少购买 2 种商品的概率: p=p(A1)+P(A2)= = . , + = ,

(2)随机变量 η 的可能取值为 0,1,2,3, P(η=0)=(1﹣ )×(1﹣ )×(1﹣ )= P(η=2)=P(A2)= , ,

P(η=3)=P(A3)= , ∴P(η=1)=1﹣ ∴随机变量 η 的分布列为: η 0 P Eη= = . = ,

1

2

3

26.如图,由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵,第一层有 1 个小正方形,第二层有 2 个小正方形,依此类推,第 k 层有 k 个小正方形,除去最底下的一层,每个小正方形都放置

在它下一层的两个小正方形之上. 现对第 k 层的每个小正方形用数字进行标注, 从左到右依 次记为 x1,x2,…xk,其中 xi∈{0,1}(1≤i≤k) ,其它小正方形标注的数字是它下面两个 小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为 x0; (1)当 k=4 时,若要求 x0 为 2 的倍数,则有多少种不同的标注方法? (2)当 k=11 时,若要求 x0 为 3 的倍数,则有多少种不同的标注方法?

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】 (1)确定 x0=x1+3x2+3x3+x4.因为 x0 为 2 的倍数,所以 x1+x2+x3+x4 是 2 的倍数, 则 x1,x2,x3,x4 四个都取 0 或两个取 0 两个取 1 或四个都取 1,即可得到标注方法; (2)确定只要 x1+C101x2+C109x10+x11 是 3 的倍数,即只要 x1+x2+x10+x11 是 3 的倍数,所以 x1、x2、x10、x11 四个都取 0 或三个取 1 一个取 0,而其余七个可以取 0 或 1,即可得到标注 方法. 【解答】解: (1)当 k=4 时,第 4 层标注数字依次为 x1,x2,x3,x4,第 3 层标注数字依次 x2+x3, x3+x4, x2+2x3+x4, 为 x1+x2, 第 2 层标注数字依次为 x1+2x2+x3, 所以 x0=x1+3x2+3x3+x4. 因为 x0 为 2 的倍数,所以 x1+x2+x3+x4 是 2 的倍数,则 x1,x2,x3,x4 四个都取 0 或两个取 0 两个取 1 或四个都取 1,所以共有 1+C42+1=8 种标注方法. (2)当 k=11 时,第 11 层标注数字依次为 x1,x2,…,x11,第 10 层标注数字依次为 x1+x2, x2+x3,…,x10+x11,第 9 层标注数字依次为 x1+2x2+x3,x2+2x3+x4,…,x9+2x10+x11,以此类 推,可得 x0=x1+C101x2+…+C109x10+x11. 因为 C102=C108=45,C103=C107=120,C104=C106=210,C105=252 均为 3 的倍数,所以只要 x1+C101x2+C109x10+x11 是 3 的倍数,即只要 x1+x2+x10+x11 是 3 的倍数, 所以 x1、x2、x10、x11 四个都取 0 或三个取 1 一个取 0,而其余七个可以取 0 或 1,这样共 有(1+C43)×27=640 种标注方法.


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