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高考数学回归课本基础知识整理


回归课本基础知识整理 第一部分 函数、导数与不等式
(一)函数
1.函数定义域的求法:①函数解析式有意义;②符合实际意义; 注意:做函数题注意定义域优先原则。忽视定义域,苦头吃不尽! ! 函数解析式的求法:①待定系数法,②配方法,③换元法,④函数方程法等 函数值域的求法:①配方法 ;②利用函数单调性 ;③换元法 ; ④利用均值不等式

a?

b ab ? ? 2
x

a2 ? b2 ; 2

⑤利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等) ; ⑥利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑦利用导数 2.分段函数:先分段解决,再下结论。 注意:分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。 3.复合函数 (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ;② 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g ( x) 的值域。 4.函数的奇偶性 ⑴ f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ; ⑵ f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ; 注意:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 。 ....

⑶奇函数 f ( x) 在原点有定义,必有 f (0) ? 0 ; ⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; ⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,等价变形,再判断其奇偶性; 5.函数的单调性 ⑴单调性的定义:用定义判断单调性时,必须将差值 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 分解因式到可以判断 正负为止; ⑵判定单调性的常用方法: ①定义法;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法(见 4(2)同增异减) ;④图像法。 注意:①证明单调性要用定义法或导数法;②单调区间必须是定义域的子集; ③多个单调区间之间不能用“并集”符号,也不能用“或”联结; ④单调区间不能用集合或不等式表示。 6.函数的周期性 (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) , 则称函数 f ( x) 为周期函数,T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正 周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ; ④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos( ?x ? ? ) : T ?

? 2? ;⑤ y ? tan ?x : T ? ; |? | |? |

⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论:

1 、 或 f ( x ? a ) f ( x) ? m (a、 f ( x) ,都可以得出 f ( x) 的周期为 2a ; m 均为非零常数, a ? 0 ) ② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴 对称,均可以得到 f ( x) 周期 2 a ? b
①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、 或 f ( x ? a) ? 7.幂、指、对的运算法则 (1)指数运算法则:① a ? a ? a
m n
b

m? n

,② (a ) ? a
m n
a ? 0, a ?1,b?R , N ?0

mn

,③ (ab) ? a b ;
n n n

? log a N ? b (2)指数式与对数式互化: a ? N ??????
对数的三个性质: N ? 0 ; log a 1 ? 0 ; log a a ? 1 对数恒等式: a
log a N

?N;

对数运算性质: log a ( MN ) ? log a M ? log a N .

log a

M ? log a M ? log a N . N

log am M n ?
8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x
?

n log a M m

( ? ? R)

① 在第一象限必有图像且过定点______, ? ? 0 时,函数在第一象限为增函数, ? ? 0 时,函数 在第一象限为减函数, ② 函数图像可能分布在一、二象限;也可能分布在一、三象限或只分布在第一象限。当图像分布 在一、二象限时,函数为偶函数,当图像分布在一、三象限时,函数为奇函数 ⑵指数函数与对数函数: x 指数函数 y=a (a>0,a≠1) 对数函数 y=log ax (a>0,a≠1) 0<a<1 图 象 特 征 定义域 值域 单调性 定点 函数值 减函数 (0,1) x<0 时,y>1; x<o 时, 0<x<1 时, (-∞,+∞) (0,+∞) 增函数 减函数 (1,0) 0<x<1 时, (0,+∞) (-∞,+∞) 增函数 a>1 0<a<1 a>1

分 布

x>0 时, 0<y<1

0<y<1; x>0 时,y>1

y>0; x>1 时,y<0

y<0; x>1 时,y>0

(3)注意一个重要的函数 y ? x ? 1. p ? 0 时,当 x ? 0 时 x ?

p x

p p ? 2 p ;当 x ? 0 时 x ? ? ?2 p .在(0, p ] 、[? p , 0) 上 x x 是减函数;在 ( ??,? p ] 、 [ p ,??) 上是增函数.

0? 、 2. p ? 0 时,在 ? ??, 上为增函数. (0, ? ?)
(4)二次函数 ㈠解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k , (h, k ) 为顶点;
2 2

③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 。 ㈡二次函数问题解决需考虑的因素 ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ㈢解决二次函数问题的常用方法:①数形结合;②分类讨论。 9.图象的变换 (1)平移变换 ①函数 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象:由 y ? f ( x) 的图象左右平移而得; ②函数 y ? a ? f ( x) (a ? 0) 的图象:由 y ? f ( x) 的图象上下平移而得; (2)对称变换 ①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 y=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f (? x) 的图象关于坐标原点对称; ② y ? f ( x) ? y ? f ( x )

③ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) (3)伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中) 与函数图像的对称性有关的常用结论: ①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0); ④函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

特别地:函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。

a?b 对称; 2

⑤f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? ?? y=f(x)图像关于直线 x=

a?b 对称; 2

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? ?? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; ⑥如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x ? R, 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) , 那么 y ? f ( x) 的图象关于直 线 x ? a 对 称 ; 如 果 函 数 y ? f ( x) 对 于 一 切 x ? R, 都 有 f ( a ? x) ? f ( a? x) ? 2 b ,那么 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称。 10.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法.

(二)导数
11.导数: ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ? ⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ; ② ( x ) ? nx
'
n ' n ?1
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

x) ' ? c o s x; (cos x) ' ? ? sin x ; 1 1 x ' x x ' x ' ' ⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ? ;⑧ (ln x) ? 。 x ln a x s i ( ; ③n
( f ( x) g ( x))? ? f ( x) / g ( x) ? f ( x) g ( x) / ; (
f ( x) f ( x) / g ( x) ? f ( x) g ( x) / )? ? g ( x) g 2 ( x)

⑶导数的四则运算法则: ( f ( x) ? g ( x))? ? f ( x) / ? g ( x) / ;

? ? ⑷(理科)复合函数的导数: y ? x ? yu ? u x ;
⑸导数的应用: ① 利用导数求切线: y ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 )
/

其中 P( x0 , f ( x0 )) 为切点, f ( x0 ) 是切线的斜率 在具体问题中应注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ② 利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数; ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数函数; 注:反之,成立吗?(求单调区间,先求定义域) ③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?( x) ;ⅱ求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:先求极值,再求区间端点的函数值,最后得最大最小值;

/

(三)不等式
12.均值不等式: ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2
a ? b 2 a2 ? b2 。 ) ? 2 2

注意:①积定和最小,和定积最大,一正二定三相等;②变形, ab ? ( 13.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 的解法:
2

(1)步骤:一看开口方向( a 的符号) ,二看判别式 ? ? b ? 4ac 的符号,三看方程的根写解集.
2

( 2 )重要结论: ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 解集为 R (即 ax ? bx ? c ? 0 对 x ? R 恒成立) ,则
2

2

a ? 0, ? ? 0
注意:若二次项的系数含参数且未指出不为零时,需验证为零的特殊情形! 14.绝对值不等式 (1)转化法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0 ) ( g ( x) ? 0 )

f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

(2)性质: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 15.不等式的证明 (1)比较法①作差比较法:作差——变形(通分、因式分解等)——判别符号; ②作商比较法:作商——变形(化为幂的形式等)——与 1 比大小.(分母要为正的) ③综合法——由因导果(由前面结论) ; ④分析法——执果索因 注意: (1)一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法; (2)还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.

第二部分
一、三角函数的基本概念

三角函数

1.终边相同的角的表示方法(终边在 x 轴上;终边在 y 轴上;终边在直线 y ? x 上;终边在第一 象限等),理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算; ⑴角度制与弧度制的互化:

180 1 2 1 ⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? ?R ? Rl 。 2 2

? 弧度 ? 180 ? , 1? ?

?

弧度,1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 '

2.任意角的三角函数的定义(三个三角函数)、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同 角三角函数的关系式(三个:平方关系、商数关系、倒数关系)、诱导公式(奇变 .. 偶不变,符号看象限 ? ?? 、 ? ? ? 、 ?? 、 2? ? ? 、 2k? ? ? (k ? Z ) 、 ......... ⑴三角函数定义: 角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) , 设 | OP |? r si n ?? ⑵三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; ⑶同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1; 3.有用的结论 ⑴半角所在的象限: ⑵ sin ? ? cos? 和 sin ? ? cos? 的符号规律:

?

2

; ?? )

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

sin x ? tan x cos x

3 4 1 2

2 1 4 3

二、两角和与差的三角函数
1.和(差)角公式 ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ② cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ③ tan(? ? ? ) ? 2.二倍角公式 二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos? ; ② cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;③ tan 2? ? 3.有用的公式 ⑴升(降)幂公式: sin ? ?
2

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
2 tan? 1 ? tan 2 ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 2 、 cos ? ? 、 sin ? cos ? ? sin 2? ; 2 2 2

⑵辅助角公式: a sin ? ? b cos ? ?

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( ? 由 a, b 具体的值确定) ; ⑶正切公式的变形: tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? ) .
4.有用的解题思路 ⑴“变角找思路,范围保运算” ; ⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数” ; ⑶巧用 sin ? ? cos? 与 sin ? ? cos ? 的关系;⑷巧用三角函数线——数形结合.

三、三角函数的图象与性质 1.列表综合三个三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象与性质,并挖掘:
⑴最值的情况; ⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期,或者经过简单的恒等变 形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况 ; ............. ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;

y ? sin x 的对称轴是 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,对称中心是 (k? ,0) (k ? Z ) ;

y ? cos x 的对称轴是 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心是 (k? ?
y ? tan x 的对称中心是 (
⑷写单调区间注意 ? ? 0 .

?
2

, 0) (k ? Z )

k? , 0)(k ? Z ) 2

注意:单调区间不可以用并集符号!不能说正切函数在定义域上为增函数

2.了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,并能由图象写出解析式. ⑴“五点法”作图的列表方式; ⑵求解析式 y ? A sin(? x ? ? ) 时处相 ? 的确定方法:代(最高、低)点法、公式 x1 ? ?
平移

? . ?

3.正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换切记: y ? A sin ? x ??? ? y ? A sin(? x ? ? ) 注意图象变换有时用向量表达,注意两者之间的转译.

? ?

四、解三角形
Ⅰ.正、余弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( 2R 是 ?ABC 外接圆直径) sin A sin B sin C 注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; a b c a?b?c ③ 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C b2 ? c2 ? a2 2 2 2 ⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个;注: cos A ? 等三个。 2bc
⑴正弦定理 Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式:

S ?ABC ?

⑵内切圆半径 r=

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2 2 S ?ABC

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?
;外接圆直径 2R=

1 (a ? b ? c)) ; 2

⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:⊿ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B Ⅲ.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: C b h A a 其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; ②a=h 时,一解(直角) ;③h<a<b 时,两解(一锐

a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

角,一钝角) ;④a ? b 时,一解(一锐角) 。 ? ⑵A 为直角或钝角时:①a b 时,无解;②a>b 时, 一解(锐角) 。

第三部分
1.平面的基本性质:三个公理,三个推论 2. 空间线面的位置关系
(1)直线与直线

立体几何

共面 平行—没有公共点 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 直线不在平面内 平行—没有公共点

(2)直线和平面

(3)平面与平面

(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点

3.线面平行
( 1 )直线和平面平行的判定定理:

l || m ? ? l ? ? ? ? l || ? m ? ?? ?
( 2 )直线和平面平行的性质定理:

? ? l?? ? ? l || m ? ? ? ? m? ? 4.线面垂直

l || ?

(1)直线与平面垂直的定义: ?m ? ? , l ? m ? l ? ? (2)直线与平面垂直的判定定理: 图 (1 )

图 ( ( 1 ) (1 )

图 (2 )

l?a

? ? l ?b ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? ? a ? b ? O? ?
m ? ?? ??l ?? l || m ?
图 (2 )

又一方法:

(3)直线与平面垂直的性质定理:

m ? ?? ? ? l || m (见上图(2)右) l ?? ?

(4)过一点作已知直线的垂直平面,有且只有一个;过一点作已知平面的垂线,有且只有一条。

5.面面平行
( 1 )平面与平面平行的判定定理:

a || ?

b || ? ? ? a ? ? b ? ? ? ? ? || ? ? a?b ? O ?
( 2 )平面与平面平行的性质定理:

图 ( 1)

图 ( 2)

? || ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a || b ? ? ? ? b? ?
(3)利用定义可得

? || ? ? ? ? a || ? (b || ? ) a ?? b ? ?? ? || ? ? ② ? ? a || b或a, b为异面直线 a ?? b ? ?? 6.面面垂直


图 (1)平面与平面垂直的定义:平面角为直角的二面角称为 ( 3 直二面角,直二面角的两个半平面所在的平面互相垂直。 )

l ??? ??? ? ? (2)平面与平面垂直的判定定理: l ? ??
? ?? ? ? l?? ? (3)平面与平面垂直的性质定理: ??l ?? ? ? ? ? m?
l?m ? ?
图 ( 2 ) 图(3)

推论:两个平面垂直,经过其中一个平面一点作另一个平面的垂线,则垂线在第一个平面内。

7.空间平行与垂直之间的联系(尝试一下证明) (1)直线 l 在平面 ? 外,若 l ? 平面? 且 平面? ? 平面? , 则直线 l ∥平面 ? ; (2)直线 l 在平面 ? 外,若 l ? 平面? 且直线 l ∥平面 ? , 则 平面? ? 平面? ; (3)直线 m 在平面 ? 外,直线 l ? 平面? ,直线 l ? 直线 m 则直线 m ∥ 平面? ; (4)直线 m 在平面 ? 外,直线 l ? 平面? ,直线 m ∥ 平面? 则直线 l ? 直线 m ; (5) 平面? ∥ 平面? ,直线 l ? 平面? ,则直线 l ? 平面? (6)直线 l ? 平面? ,直线 l ? 平面? ,则 平面? ∥ 平面?
注: (5) 、 (6)在几何证题中可以直接用

图 ( 1 ) 图(2)

8.空间几何体的表面积与体积

图 ( 3 ) ⑴柱体(圆柱) : ①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2? rh ;③体积:V=S 底 h 图(4)

⑵锥体(圆锥) :①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ? rl ;③体积:V= ⑶圆台:①侧面积:S 侧= ? (r ? r )l ;②体积:V=
'

1 S 底 h: 3

1 ' ' (S+ SS ? S )h; 3

⑷球体:①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R 3
2

4 3

9.常用几何的体的结论
(1)长方体的性质 ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 则: cos
2

? +cos2 ? +cos2 ? =1;sin2 ? +sin2 ? +sin2 ? =2 。
2 2 2 2 2

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos ? +cos ? +cos ? =2;sin ? +sin ? +sin (2)正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的
2

? =1 。

①高: h ?

6 2 6 6 a ;②对棱间距离: a ;③内切球半径: a ;④外接球半径: a 3 2 12 4

第四部分
一、直线的基本量
特别地: AB// x 轴,则 AB ? 2.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角 ? ?[0, ? ) ;当 ? ?

直线与圆
( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
. ; AB// y 轴,则 AB ?

1.两点间距离公式:若 A( x 1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 AB ?

?
2

时,直线的斜率 k ? tan ? .

(2)常见问题:倾斜角范围与斜率范围的互化——右图 3.直线在 x 轴和 y 轴上的截距 (1)截距非距离; (2) “截距相等”的含义 4.直线的方向向量 (1)若直线的斜率为 k ,则直线的一个方向向量是(1, k ) ;(斜率不存在时为 (0,1) ) (2)若直线的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,则直线的方向向量是(B,-A)

二、直线方程
1.基本形式 ⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ; ⑶截距式: ⑵斜截式: y ? kx ? b ; ;

y ? y1 x ? x1 x y ? ⑷两点式: ? ?1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b ⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,B 不全为 0)

2.一般不用“两点式” ;注意每一种形式的适用条件;注意两种形式之间的转换.

三、两条直线的位置关系

四、点到直线的距离
1.点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

Ax ? ? By ? ? C A 2 ? B2

2.平行线间距离:若 Ax ? By ? C1 ? 0 、 Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 d ? 注意:x,y 对应项系数应相等.

C1 ? C 2 A 2 ? B2

.

五、圆
1.确定圆需三个独立的条件 (1)标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 其中圆心为 (a, b) ,半径为 r .
2 2 2

(2)一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0)
2 2 2 2

其中圆心为 (?

D E , ? ) ,半径为 r ? 2 2
2

D 2 ? E 2 ? 4F . 2
2 2

注:圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 2.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系 (1)位置关系判断方法:半径比较法(首选) 、判别式法. (2)求圆的弦长方法:垂径定理. (3)求圆的切线: “ d ? r ”.

六、点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系: ( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: ( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系: ( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 七、直线系

八、圆系: 2 2 2 2 ⑴ x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0, (? ? ?1) ; 注:当 ? ? ?1 时表示两圆公共弦所在直线方程。 2 2 ⑵ x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0, (? ? ?1) 九、常用结论: 2 2 2 2 1、过圆 x ? y ? r 上的点 P ( x0 , y0 ) 的切线的方程为 xx0 ? yy0 ? r .
过圆(x-a) +(y-b) =r 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r ; 2、以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
2 2 2 2

第五部分
一、椭圆

圆锥曲线

1.定义 (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF , 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F2 ( a 为常数) 则 P 点的轨迹是椭圆。 (2)焦半径: P( xo , yo ) 为椭圆上一点, F1 、 F2 分别为左右焦点,则

a2 PF1 ? e( ? x0 ) ? a ? ex0 , c
2.标准方程: (1)焦点在 x 轴上:

a2 PF2 ? e( ? x0 ) ? a ? ex0 ; c

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ; a2 b2 y 2 x2 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ; a b (2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: ?a ? x ? a 、 ?b ? y ? b ; (2)对称性;

a c (3)离心率 e ? , ( e ? 1)准线方程 x ? ? c a

2

(4)有用的结论: PF2 ? 2a ? PF1 , a ? c ? PF1 ? a ? c ,焦点与准线距离:

b2 c

通径(过焦点与椭圆的长轴垂直的弦)长: (5)焦点三角形 <Ⅰ>. S ?PF1F2 ? b 2 tan

2b 2 , a

?
2

, ( ? ? ?F1 PF2 ) ;

<Ⅲ>. 点 M 是 ?PF1 F2 内心,PM 交 F1 F2 于点 N , 则

PM a 、余弦 ? 注意:经常结合第一定义与正弦定理 .... .. MN c

定 .理 ., 建 立 PF1 + PF2 、 PF1 〃 PF2 等 关 系 , 解 决 角

?F1 PF2 、数量积 PF1 ? PF2 、焦点三角形面积等问题 二、双曲线
1.定义: (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点, ( a 为常数) , 则动点 P 的轨迹是双曲线。 2.标准方程

x2 y2 y2 x2 ;焦点在 轴上: ? ? 1 ? ?1 y a2 b2 a2 b2 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: x ? a 或 x ? ?a 、 y ? (??, ??) ; (2)对称性 ;
(1)焦点在 x 轴上:

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? ( e ? 1) c a x2 y2 b (4)渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a
注意与渐近线有关的结论: ①若渐近线方程为 y ? ? ②若双曲线与

2

x y b ? x y (? ? 0) ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ; x a b a b a

2

2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? (? ? 0) 有公共渐近线,可设为 a2 b2 a2 b2 ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上; ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

(5)等轴双曲线

2 ;③渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,④方程: x 2 ? y 2 ? ? (6)有用的结论: PF2 ? PF 1 ? 2a(或PF 2 ? PF 1 ? 2a) , PF 1 ? c?a
① a ? b ;②离心率 e ? 通径(过焦点与椭圆的长轴垂直的弦)长: (7)双曲线的焦点三角形: <1>. S ?PF1F2 ?

2b 2 , a

b2 tan

?
2

, ( ? ? ?F1 PF2 ) ;

y2 x2 - =1(a>0,b>0)的左(右)支 a2 b2 上一点,则 ?PF1 F2 的内切圆的圆心横坐标为 ? a, (或a) ; 三、抛物线
<2>. P 是双曲线 1.定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e=1) 。 2.标准方程(以焦点在 x 轴的正半轴为例) : y ? 2 px( p ? 0) (其中 p 为焦点到准线的距离——焦参数) ; 3.几何性质
2

p p p ,0) ,通径 AB ? 2 p ,准线: x ? ? ; 焦半径: PF ? x0 ? , 2 2 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p ( x1 、 x 2 分别为端点的横坐标) 2 2 p (2)几何特征:焦点到顶点的距离= ;焦点到准线的距离= p ; 2 通径长= 2 p (通径是最短的焦点弦) ,顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
(1)焦点: ( (3) 抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P (
2

y? , y ? ) 或 P(2 pt 2 , 2 pt ) 或 P ( x? , y? )( y?2 ? 2 px? ) 。 2p

2

4.抛物线中的常用结论

p2 1 1 2 2 ①焦点弦 AB 性质:<Ⅰ>. x1 x 2 ? ; y1 y 2 ? ? p ;<Ⅱ>. ? ? ; 4 AF BF p <Ⅲ>.以 AB 为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切; 2 ②抛物线 y =2px(p>0),对称轴上一定点 A(a,0) ,则 <Ⅰ>.当 0 ? a ? p 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 a ; 2 <Ⅱ>.当 a ? p 时,抛物线上有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小,最小值为 2ap ? p

第六部分
一、向量的基本概念 二、加法与减法运算
1.代数运算 (1) A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An ?1 An ? A1 An .

平面向量

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.

(2)若 a =( x1 , y1 ), b =( x 2 , y 2 )则 a ? b =( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) . 2.几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 AC = a + b ,

BD = b - a , DB = a - b .且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a ? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱. 3.运算律

向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律); a +( b + c )=( a + b )+ c (结合律) ;

?

?

a +0 =a

a +(- a )= 0 .

三、实数与向量的积
实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。 1.︱ ? a ︱=︱ ? ︱·︱ a ︱; (1) 当 ? >0 时, 当 ? <0 时, 当 ? =0 时, ? a 与 a 的方向相同; ? a 与 a 的方向相反; ? a =0 . (2)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? · a =( ?x1 , ?y1 ) . 2.两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且仅有一个实数 ? ,使得 b = ? a . (2) 若 a =( x1 , y1 ), b =( x 2 , y 2 )则 a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 .

四、平面向量基本定理 ?? ?? ? 1.若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 ?? ?? ? 只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使得 a = ?1 e1 + ? 2 e2 . ?? ?? ? 2.有用的结论:若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,若一对实数 ?1 , ? 2 ,使得 ?? ?? ? ?1 e1 + ? 2 e2 = 0 ,则 ?1 = ? 2 =0. 五、向量的数量积 ? ? 0 0 1. 向量的夹角: 已知两个非零向量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 ? ? ? 180 ) ? 叫做向量 a 与 b 的夹角(两个向量必须有相同的起点 ) 。 ..... ? ? ? 2. 两个向量的数量积: 两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 ? , 则 a ·b =︱ a ︱· ︱ b ︱cos ? . ? ? 其中︱ b ︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. ? 3.向量的数量积的性质:若 a =( x1 , y1 ), b =( x 2 , y 2 ) ? ? ? ? ? a = a ·e =︱ a ︱cos ? ( e 为单位向量); a ⊥b ? a · e· b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ; (1) (2) ? ? ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 a ?b 2 2 (3)︱ a ︱= a ? a ? x1 ? y1 ; (4)cos ? = ? ? = . 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
4.向量的数量积的运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a · b = b · a ;( ? a )· b = ? ( a · b )= a ·( ? b );( a + b )· c = a · c + b · c .
OA OB ? ) (? ? 0) | OA | | OB |

注意:①与向量 a ? (m, n) 垂直且模相等的向量为 b ? (? n, m) 或 b ? ( n,? m) ; ②在 ?AOB 平分线上的向量可以记为 OC ? ? (

③向量 a 与向量 b 夹角为锐角 ? a 〃 b ? 0 且 a 、 b 不共线; ④向量 a 与向量 b 夹角为钝角 ? a 〃 b ? 0 且 a 、 b 不共线。

第七部分
一、数列的定义和基本问题

数列

1.通项公式: an ? f (n) (用函数的观念理解和研究数列,特别注意其定义域的特殊性) ; 2.前 n 项和: Sn =a1 ? a2 ??? an ; 3.通项公式与前 n 项和的关系(是数列的基本问题也是考试的热点) : an ? ?

n ?1 ? S1 , ? S n ? S n ?1 , n ? 2

注意:已知数列的前 n 项和,求通项公式时常常会出现忘记讨论 n ? 1的情形而致错。

二、等差数列
1.定义和等价定义: an ? an ?1 ? d (n ? 2) ? {an } 是等差数列; 2.通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d ? An ? B ;推广: an ? am ? (n ? m)d ; 3.前 n 项和公式: S n ? 4.重要性质举例

a1 ? a n n(n ? 1) ? n ? na1 ? d ? An 2 ? Bn ; 2 2

a?b ; 2 ②若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地:若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p ;
① a 与 b 的等差中项 A ? ③奇数项 a1 , a3 , a5 , ?成等差数列, 公差为 2d ; 偶数项 a2 , a4 , a6 , ?成等差数列, 公差为 2d . ③ 若有奇数项 2n ? 1 项,则 S2 n ?1 ? (2n ? 1)an ?1 , S 奇 ? S 偶 ? a n ?1 , ④ 若有偶数项 2n 项,则 S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

n ?1 ; n

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

⑤设 A ? a1 ? a2 ??? an, , B ? an ?1 ? an ? 2 ??? a2 n , C ? a2 n?1 ? a2 n?2 ??? a3n , 则有 2B ? A ? C ; ⑥当 a1 ? 0, d ? 0 时, S n 有最大值;当 a1 ? 0, d ? 0 时, S n 有最小值. ⑦用一次函数理解等差数列的通项公式;用二次函数理解等差数列的前 n 项和公式.

三、等比数列 a 1.定义: n ? q (n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列; an ?1
2.通项公式: a n ? a1 q
n ?1

;推广 an ? am q

n?m



(q ? 1) ? na1 ? n 3.前 n 项和 S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ; ? ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?
注意:必须先看一下公比是否等于 1 4.重要性质举例 ① a 与 b 的等比中项 G ? G ? ab ? G ? ? ab ( a, b 同号) ;
2

②若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地:若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? a p ;
2

③设 A ? a1 ? a2 ??? an, , B ? an ?1 ? an ? 2 ??? a2 n , C ? a2 n?1 ? a2 n?2 ??? a3n , 则有 B ? A ? C ;
2

④用指数函数理解等比数列(当 a1 ? 0, q ? 0, q ? 1 时)的通项公式.

注意:解决数列问题时,注意整体代换思想,如:数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S10 ? 1 , S20 ? 3 ,则 (1)当 ?an ? 为等差数列时, S30 ? ;(2)当 ?an ? 为等比数列时, S30 ? .

四、等差数列与等比数列的关系举例 a 1. ? an ? 成等差数列 ? ?b n ? 成等比数列;
2. ? an ? 成等比数列

??log a ? 成等差数列.
b n

an ?0

五、数列求和的常用方法
1.等差数列与等比数列; 2.几种特殊的求和方法

1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C (2)错位相减法: a n ? bn ? c n , 其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是等比数列
(1)裂项相消法; a n ? 记 S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ;则 qSn ? b1c2 ???? bn ?1cn ? bn cn ?1 ,? (3)通项分解法: a n ? bn ? cn

六、递推数列与数列思想
1.递推数列 (1)能根据递推公式写出数列的前几项; (2)常见题型:由 f ( Sn , an ) ? 0 ,求 an , S n .解题思路:利用 an ? S n ? S n?1 , (n ? 2) 2.数学思想 (1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若 an ? an ?1 ? f (n), (n ? 2) ,则??; (2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若 (3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法) ; (4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法)

an ? g (n)(n ? 2) ,则??; an ?1

第八部分
1.概念:
2

复数

⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z ≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); 2 ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z <0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? ac 2 ? i 2 (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2 3.几个重要的结论:
⑶z1÷z2 =
2 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ); (2) z ? z ? z ? z ;⑶ (1 ? i) ? ?2i ;⑷
2 2 2 2 2 2

1? i 1? i ? i; ? ?i; 1? i 1? i

⑸ i 的性质:T=4; i

4n

? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i ;

i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ?3 ? 0; ; i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ? 3 ? ?1;
1 3 ? i 以 3 为周期,且 ? 0 ? 1, ? 2 ? ? ,? 3 ? 1 ;1 ? ? ? ? 2 =0; 2 2 1 (7) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 。 z m m m n m? n m n mn m 4.运算律: (1) z ? z ? z ; (2)( z ) ? z ; (3)( z1 ? z 2 ) ? z1 z 2 (m, n ? N );
(6)1 的 3 次方根:? ? ?

5.共轭的性质:⑴ ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ;⑵ z1 z 2 ? z1 ? z 2 ;⑶ ( 6.模的性质: ⑴ || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ; z |z | n n ⑵ | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;⑶ | 1 |? 1 ;⑷ | z |?| z | ; z2 | z2 |

z1 z ) ? 1 ;⑷ z ? z 。 z2 z2

第九部分

集合与常用逻辑用语

1.理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因 ..... 变量的取值?还是曲线上的点?? ; 2.数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或维恩图等 .... 工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决,特别 是在集合的交、并、补的运算之中。 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

注意:正难则反!补集思想的应用(反证法,对立事件,排除法等)
3.常见的包含关系: (1)A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; (注意: 讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况);

(2) C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B); C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B) 。 4.四种命题的关系:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

注意:判断命题真假时常常借助其逆否命题来判断原命题真假
5.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件;

注意:判断 A 与 B 的充要关系时,常常先将 A、B 化为最简。
6.含有逻辑连接词的命题: ⑴“且命题”一假全假; ⑵“或命题”一真全真; ⑶“命题 p”与“命题 ? p”有且只有一个是真命题。 7.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的” 、 “任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个” 、 “至少有一个”等,用 ? 表示; 存在性命题 p: ?x ? M , p( x) ;存在性命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

问题:命题“若 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ”的否定是什么?

第十部分
一、概率

概率、统计与统计案例

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ⑷对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体积等) ⑶几何概型: P( A) ? ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等) 二、统计与统计案例
⑵古典概型: P( A) ? 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将 总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计:
n ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;

n N

n

n

i ?1

n ⑵样本方差 S ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x ) 2 ; n n i ?1

2

n ⑶样本标准差 S ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] = 1 ? ( xi ? x ) 2 ;

n

n

i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? i ?1 ? ? ? ?b ? n 3. 线性回归方程:? 2 ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ?x ? ? ? y ?b ?a
n

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

? nx y
2

? n( x )

, (*) x ?

1 n ? xi , n i ?1

y?

1 n ? yi n i ?1

相关系数(判定两个变量线性相关性) :r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? ( xi ? x) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎 不存在线性相关关系。 4.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 2 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

第十一部分
一.推理:

推理与证明

⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提--------所研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明 ⒈直接证明
⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法。分析法 又叫逆推证法或执果索因法。

2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命 题成立,这种证明方法叫反证法。

附:数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数 n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当 n 取第一个值 n 0 是命题成立;
⑵假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 n 0 开始所有的正整数都成立。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
?

② n 0 的取值视题目而定,可能是 1,也可能是 2 等。

第十二部分 算法初步
1.程序框图:
⑴图形符号: ① 终端框(起止况) ;② 输入、输出框;⑥ 连接点。

③ 处理框(执行框) ;④ ⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

判断框;⑤

流程线 ;

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数

i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。

2.基本算法语句:
⑴输入语句: INPUT “提示内容” ;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF ② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF ②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

⑶循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

3.算法案例:
⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数; ⑵秦九韶算法------求多项式的值; ⑶进位制----------各进制数之间的互化


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