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巧用最值定义,简解湖南省2012年高考数学文理科压轴题


巧用最值定义,简解一道高考压轴题
易正红
(湖南省岳阳县第一中学,414100)

问题源于 2012 年高考数学湖南卷理科试题第 22 题.原题如下: 已知函数 f ( x) ? eax ? x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)若对一切 x?R, f (x) ?1 恒成立,求 a 的取值集合; (Ⅱ)在函数 f ( x) 的图象上取定两点

A(x1 , f (x1)), B(x2

eax1 ? 0, ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , x2 ? x1 eax2 ? 0, ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 x2 ? x1 所以 ? ( x1 ) ? 0,? ( x2 ) ? 0 . 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的图象是
连 续 不断 的 一条 曲线 , 所以 存 在 c ? ( x1 , x2 ) , 使 得 ? (c ) ? 0,又 ? ?( x) ? a2eax ? 0,? ( x) 单调递增,故这样 的 c 是唯一的,且 c ?

, f ( x2 ))( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的斜率为 k .问:是否存 在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的取 值范围;若不存在,请说明理由. 下面是命题组提供的标准解答. 解 (Ⅰ)若 a? 0 ,则对一切 x?0, f ( x) ? eax?x ?1 , 这与题设矛盾.又 a ? 0 ,故 a ? 0 . 1 1 而 f ?( x) ? aeax? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln . a a 1 1 1 1 当 x? ln 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减;当 x? ln 时, a a a a 1 1 f ?( x) ? 0, f ( x) 递增.故当 x? ln 时, f ( x) 取最小 a a 1 1 1 1 1 值 f ( ln )? ? ln .于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1 a a a a a 1 1 1 恒成立,当且仅当 ? ln ? 1 .??① a a a g (t ) ? t ? t ln t ,则 g ?(t ) ? ? ln t .当 0 ? t ? 1 时, 令 g ?(t ) ? 0, g (t ) ,单调递增;当 t ?1 时, g ?(t )?0, g (t ) 递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 . 1 因此,当且仅当 ? 1 ,即 a ? 1 时,①式成立. a a 的取值集合为 {1} . 综上所述, f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 k? ? ? 1, (Ⅱ )由题知, x2 ? x1 x2 ? x1
ax 令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?

1 eax2 ? eax1 ln . a a( x2 ? x1 )

1 e ax2 ? eax1 x?( ln , x2) ,使 f ?( x) ?k . 故当且仅当 a a( x2 ? x1 ) 综上所述,存在在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立,且 1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . x 0 的取值范围为 a a( x2 ? x1 ) 笔者认为上述解法中,至少有两处解答可简化. 第一,在第(Ⅰ)问中若能运用最值定义,则完全 可以避免再构建函数求导过程; 第二,在第(Ⅱ)中若能应用第(Ⅰ)问的结论,则 直接可证明 ? ( x1 ) ? 0,? ( x2 ) ? 0 ,构造函数求导完全 是多余的. 为此我们先来回顾一下最小值的含义[1]: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存 在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2) 存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值. 下面给出笔者的解答. 解 (Ⅰ) 注意到 f (0) ?1 ,且对 x?R, f (x)? 1恒
成 立 , 即 f ( x) ? f (0) . 所 以 由 函 数 的 最 小 值 含 义 知, f ( x)min ? f (0) ? 1 , ax 又若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? x ? 1 , 这与题设矛盾,又 a ? 0 ,故 a ? 0 .
ax 又 f ?( x) ? ae ? 1 ? 0 时,得 x ? ln (a ? 0) ,且

eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?

eax1 [ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1], x2 ? x1

? ( x2 ) ?

eax2 [ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1] x2 ? x1

t t 令 F (t ) ? e ? t ? 1, 则 F ?(t ) ? e ? 1 .故当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t )

1 a

1 a

单调递增. 故当 t ? 0 时, F (t ) ? F (0), 即 et ? t ? 1 ? 0 .从而

1 1 1 1 ln 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减,当 x ? ln a a a a f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增; 时, 1 1 故当且仅当 x ? ln 时,函数 f ( x) 有最小值. a a
当 x?
1

又已知 f ( x)min ? f (0) ,也所以 ln

1 a

1 ? 0 ,即 a ? 1 . a

所以 a 的取值集合为{1} (Ⅱ)假设存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立. 由题知 k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1

又由(Ⅰ)知, f ?( x) ? aeax ? 1

eax2 ? eax1 ,则 ? ?( x) x2 ? x1 ? a 2 eax ? 0 ,即 ? ( x) 在 x ? ( x1 , x2 ) 上单调递增; eax1 (ax2 ? ax1 ) ? (eax2 ? eax1 ) , 又因为 ? ( x1 ) ? x2 ? x1 而由(Ⅰ)已知 a ? 1 时,对 x ? R 时,有不等式 x e ? x ? 1 成立,当 x ? 0 时取等号,即 x ? e x ? 1 ; ax ? ax 所以 ax2 ? ax1 ? e 2 1 ? 1,又 e ax1 ? 0 , ax ax ? ax ax 所以 e 1 ? (ax2 ? ax1 ? ? ?e 2 1 ? 1) ? e 1 ax ax ax 即 e 1 ? (ax2 ? ax1 ? ? e 2 ? e 1 ,可见 ? ( x1 ) ? 0 ,
ax 令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?

又 ? ( x2 ) ?

eax2 (ax2 ? ax1 ) ? (eax2 ? eax1 ) , x2 ? x1
ax1 ? ax2

2012 年高考数学湖南卷文科试题第 22 题,这里就不 再赘述,有兴趣的读者不妨一试. 评注: ① 《2012 年普通高等学校招生全国统一考试湖 南卷考试说明》(数学)中强调“考纲要求”理解函数 最大值、 最小值及其几何意义,并在“考纲阐释”中明 确指出,这是提升对数形结合、 几何直观等数学思想 [2] 方法的考查要求 .就这一点而言,2012 年高考湖南 省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅰ)问的命题是很成 功的,考查了考生对函数 y? eax(a ? 0) 、 y ? x?1 图象 的联想运用,但美中不足的是命题者似乎未发现其 对“函数最值含义” 的考查功能,而片面地追求所谓 的“导数强大功能”去“构造函数”. ②“(Ⅰ)为(Ⅱ)用”是高考试题有力区分考 生分析解决问题的重要表现形式,2012 年高考湖南 省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅱ)问也不例外,但可 惜的是命题者似乎忽略了这一点,依然为展示“导数 , 强大功能” 而舍近求远的“构造函数”,其作为“标准 解法”是非常不利于导向中学数学教学的,也违背了 按照考生思维“最近发展区”而分析解决问题的教育 [3] 规律 .

ax ? ax 同理由 ax1 ? ax2 ? e 1 2 ? 1,

? 1 ,又 e ax2 ? 0 , ax ax ?ax ax 所以 e 2 ? (ax2 ? ax1 ? ? ??e 1 2 ? 1) ? e 2 , ax ax ax 即 e 2 ? (ax2 ? ax1 ? ? e 2 ? e 1 ,可见 ? ( x2 ) ? 0 , 所以函数 y ? ? ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上有唯一的 零点 c ,使得 ? (c) ? 0 . 显然当 x ? (c, x2 ) 时, ? ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? k , 1 eax2 ? eax1 . 又由 ? (c) ? 0 ,求得 c ? ln a a( x2 ? x1 )
1 eax2 ? eax1 x0?( ln , x2), 使 f ?( x0 ) ?k 也所以存在 a a( x2 ? x1 ) 成立,即假设成立. 值得提出的是,以同样的方法可以简化解答

得 ax2 ? ax1 ? ?e

参考文献:
[1] 课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发 中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修 1, A 版.北京:人民教育出版社,2007 [2] 湖南省教育考试院,2012 年普通高等学校招生 全国统一考试湖南卷考试说明.长沙:湖南教育出 版社,2012 年 1 月 [3] 付海伦. 思维的“最近发展区”及其开发.中学 数学教学参考,1996 年第 7 期

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