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正余弦定理解三角形教案


温州龙文教育
教师: 课 题 学生: 年级:

高中数学

学科导学案(第
时段:

次课)

日期: 2014 星期:

正余弦定理及解三角形 能熟练的运用正余弦定理解三角形

教学目标 教学重点 教学难点 教学方法
利用正余弦定

理实现边角转换 如何选择边角转换的形式 讲练结合

学习内容与过程
一:简单解三角形
例 1:在△ABC 中,cos(A-B)+sin(A+B)=2,则△ABC 的形状是 A.等边三角形 B.等腰钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形 ( ) ( )

例 2: .在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,那么△ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

二:正余弦定理公式
正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R外 (R 是外接圆半径) sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA, cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 (相应的还有三个) 2bc

三:正余弦定理及解三角形 (1)正余弦定理公式的运用,求角求边面积
例 1:在△ABC 中,一定成立的是 A.asinA=bsinB C.asinB=bsinA ( B.acosA=bcosB D.acosB=bcosA )

分析:正弦公式的直接运用

1

例 2:在△ABC 中,tanB =
A.30°

tanA

2 c-b ,则∠A 等于 b C.60° D.90°





B.45°

分析:正弦定理,三角函数和差间的转化

例3:在△ABC 中,A、B、C 相对应的边分别是 a、b、c,则 acosB+bcosA=______. 分析:余弦定理的直接运用

例4:设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若(a+b-c) (a+b+c)=ab,则角 C= 分析:变形,再用余弦定理处理

3 5 例5:设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

分析:特殊三角函数,正弦定理,内角和为∏

例6:已知 ?ABC 的一个内角为120 ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则 ?ABC 的面积为_________
o

分析:余弦定理,三角形面积:S=abSinC/2

(2)判断三角形形状
例4:(2013陕西,7) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA ? ,则△ABC 的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

变式: (2012 上海,16) 在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是
2 2 2

( (D)不能确定.



(A)锐角三角形.

(B)直角三角形.

(C)钝角三角形.

2

(3)解三角形及其综合应用
(2010 湖南 6)6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, c ? 2a ,则 A、a>b B、a<b C、a=b 分析:余弦定理与二元一次方程的联系 D、a 与 b 的大小关系不能确定

设函数 f(x)=2 sin x cos2 (1)求 ? .的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 , 求角 C. 2

(2013 江西,理 16)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C +(cos A- 3 sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围

学生对本次课的小结及评价 1、本次课你学到了什么知识

2、你对本次课评价:

特别满意

满意

一般
3



学生签字:

课后作业情况: 教学小结

有(见附件)



教师签字:

审阅签字: 主任签字:

时 时

间: 间:

龙文学校教务处

4

四:课后作业
1: .如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 2:已知△ABC 中,AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 π A. 0<C≤ 6 C. π π <C< 6 2 π B. 0<C< 2 D. π π <C≤ 6 3 ( )





3:在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长,若(a+b-c)· (sinA+sinB-sinC)=3asinB,则 C=________. 4:在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a2<b2+c2,则 A 的范围是_____________. 5:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 A ? (1)求证: B ? C ?

?
4

, b sin(

?
4

? C) ? c sin(

?
4

? B) ? a

?
2

(2)若 a ? 2 ,求△ABC 的面积

6.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值

5


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