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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:选修4-4.2 参数方程


选修 4-4

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题
?x=1+t ? 1. [2013· 黔江模拟]直线? (t 为参数)的倾斜角的大小为( ? ?y=1-t

)

π A. - 4 C. π 2

B. D.

π 4 3

π 4

答案:D 3π 解析:由题意知该直线方程为 x+y=2,所以 k=-1,α= . 4
2 ? ?x=cos θ 2.[2013· 钦州模拟]参数方程? (θ 为参数)所表示的曲线为( ?y=sinθ ?

)

A. 抛物线一部分 C. 双曲线的一部分 答案:A

B. 一条抛物线 D. 一条双曲线

解析:y2+x=1,∵x∈[0,1],y∈[-1,1],∴是抛物线的一部分. x2 y2 3. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是椭圆 + =1 上的一个动点,则 S=x 2 3 +y 的取值范围为( A. [ 5,5] C. [-5,- 5] 答案:D ) B. [- 5,5] D. [- 5, 5]

?x= 2cosφ x2 y2 解析:因椭圆 + =1 的参数方程为? (φ 为参数),故可设动点 P 的坐标为 2 3 ?y= 3sinφ
( 2cosφ, 3sinφ),其中 0≤φ<2π,因此 S=x+y= 2cosφ+ 3sinφ= 5( = 5sin(φ+γ),其中 tanγ= 6 ,所以 S 的取值范围是[- 5, 5],故选 D. 3 2 3 cosφ+ sinφ) 5 5

? ?x=-1+cosα 4. [2013· 合肥模拟]已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),当圆心 C 到直线 ? ?y=1+sinα

kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为( A. 1 3

) B. 1 5

1 C. - 3 答案:D

1 D. - 5

解析:⊙O 的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=1,∴圆心 C(-1,1),又直线 kx+y+4 =0 过定点 A(0, -4),故当 CA 与直线 kx+y+4=0 垂直时, 圆心 C 到直线距离最大, CA ∵k 1 1 =-5,∴-k= ,∴k=- . 5 5

?x=1+2t 5. [2013· 皖南八校联考]已知直线 l 的参数方程是? 3 ?y= 2 t
1 所截得的弦长为( A. 1 C. 3 答案:D ) B. 2 D. 4

(t 为参数), 以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ,则直线 l 被圆

解析:由题意知,直线 l 的普通方程为 3x-y- 3=0,由极坐标系与直角坐标系的关 系知,圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,设 AB 的中 | 3-2- 3| 点为 M,在 Rt△AMC 中,AC= 5,CM= =1,∴AM= 5-1=2,∴AB=2AM 3+1 =4.故截得的弦长为 4.
?x=a+2cosθ ? 6. [2013· 台州质检]如果曲线 C:? (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距 ? ?y=a+2sinθ

离为 2,那么实数 a 的取值范围是( A. (-2 2,0) C. (-2 2,0)∪(0,2 2) 答案:C

) B. (0,2 2) D. (1,2 2)

? ?x=a+2cosθ, 解析:将曲线 C 的参数方程? (θ 为参数)转化为普通方程,即(x-a)2+(y ?y=a+2sinθ ?

-a)2=4,由题意可知,问题可转化为以原点为圆心,以 2 为半径的圆与圆 C 总相交,根据 两圆相交的充要条件得 0< 2a2<4,∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0. 二、填空题 7. [2013· 伊春模拟]在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l:
?x=1+s ?x=t+2 ? ? ? ? (s 为参数)和 C: (t 为参数), l 与 C 相交于 A、 两点, 若 B 则|AB|=________. 2 ? ? ?y=1-s ?y=t

答案: 2 解析:直线 l 的普通方程为 x+y=2,由线 l 的普通方程为 y=(x-2)2(y≥0),联立两方

程得 x2-3x+2=0,求得两交点坐标为(1,1),(2,0),所以|AB|= 2.
?x=3cosθ+1 ? 8. [2013· 邵阳模拟]若圆 C 的参数方程为? ? ?y=3sinθ

(θ 为参数),则圆 C 的圆心坐标为________,圆 C 与直线 x+y-3=0 的交点个数为 ________. 答案:(1,0) 2
? ?x=3cosθ+1 解析: 由圆 C 的参数方程为? 消去参数, 得(x-1)2+y2=9, 所以圆心为(1,0), ? ?y=3sinθ

|-2| 半径为 3, 圆心(1,0)到直线 x+y-3=0 的距离为 d= = 2<3, 所以直线与圆有 2 个交点. 2
?x=-2+cosθ ? y 9. [2013· 唐山模拟]已知点 P(x,y)在曲线? (θ 为参数,θ∈[π,2π])上,则 x ? ?y=sinθ

的取值范围是________. 答案:[0, 3 ] 3

解析:由条件可知点 P 在圆(x+2)2+y2=1 的下半圆周上,如图

y y-0 设 k= = , x x-0 则 k=kPO, 即直线 PO 与半圆有公共点时,斜率的取值范围. 又直线与圆相切时 k= 三、解答题 π 10. [2013· 扬州模拟]已知圆的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcos(θ- )+6=0. 4 (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. 解:(1)原方程变形为 ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0. x2+y2-4x-4y+6=0. 3 y 3 .∴ ∈[0, ]. 3 x 3

?x=2+ 2cosα, (2)圆的参数方程为? (α 为参数), ?y=2+ 2sinα

π 所以 x+y=4+2sin(α+ ). 4 所以 x+y 的最大值为 6,最小值为 2.

?x= 3+3cosθ 11. [2013· 嘉兴模拟]已知在平面直角坐标系 xOy 中, C 的参数方程为? 圆 ?y=1+3sinθ
π (θ 为参数),以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+ )=0. 6 (1)写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程; (2)求圆 C 截直线 l 所得的弦长. 解:(1)消去参数 θ,得圆 C 的普通方程为(x- 3)2+(y-1)2=9. π 3 1 由 ρcos(θ+ )=0,得 ρcosθ- ρsinθ=0. 6 2 2 ∴直线 l 的直角坐标方程为 3x-y=0. | 3× 3-1| (2)圆心( 3,1)到直线 l 的距离为 d= =1. ? 3?2+12 设圆 C 截直线 l 所得弦长为 m, m 则 = r2-d2= 9-1=2 2. 2 ∴m=4 2. 12. [2013· 福建调研]在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程 x-y+4=0,曲线 C 的参数方

?x= 3cosα 程为? (α 为参数). ?y=sinα
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 π 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. π 解:(1)把极坐标系下的点 P(4, ),化为直角坐标,得 P(0,4).因为点 P 的直角坐标(0,4) 2 满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,则 Q 的坐标为( 3cosα,sinα). 从而点 Q 到直线 l 的距离为 π 2cos?α+ ?+4 6 | 3cosα-sinα+4| d= = 2 2 π = 2cos(α+ )+2 2. 6 π 由此得,当 cos(α+ )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6


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