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【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末优化总结课件 新人教A版必修4


第三章

三角恒等变形

章末优化总结

三角函数式的求值

三角函数求值主要有三种类型,即 (1)“给角求值”, 一般给出的角都是非特殊角, 观察发现题中 的角与特殊角都有着一定的关系,如和或差为特殊角,必要时 运用诱导公式.

(2)“给值求值”, 即给出某些角的三角函数

式的值, 求另外一 些三角函数的值, 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的 角,合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”, 本质上还是“给值求值”, 只不过往往求出 的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定 角,必要时还要讨论角的范围.

π 3π 12 3 (1)已知 <β <α < ,cos(α- β)= ,sin(α+ β)=- , 2 4 13 5 求 cos α , sin α 的值. 11 (2)已知 tan α = 4 3, cos(α+ β)=- , 0° <α <90°, 0° < 14 β <90°,求 β.

[解]

π 3π (1)因为 <β <α < , 2 4

π 3π 所以 0<α -β < ,π <α + β< , 4 2 所以 sin(α- β)= 1- cos ( α- β)= cos(α+ β)=- 1- sin ( α+ β)=- 4 =- . 5
2 2 2 12 5 1-? ? = , ?13 ? 13

3? 1-? - ? 5?

2

所以 cos 2α = cos[(α- β)+(α+ β)] = cos(α- β)cos(α+ β)- sin(α- β)sin(α+ β) 12 ? 4 ? 5 ? 3 ? 33 = ×?- ?- ×?- ?=- . 13 5 13 5 65 33 1- 1 + cos 2 α 65 16 2 所以 cos α = = = . 2 2 65 π 3π 4 65 7 65 又因为 <α < ,所以 cos α =- ,sin α = . 2 4 65 65

(2)因为 0° <α <90°, sin α 2 2 且 tan α = = 4 3, sin α + cos α = 1, cos α 1 4 3 所以 cos α = , sin α = . 7 7 11 因为 cos(α+ β)=- , 0° <α + β<180°, 14

所以 sin(α+ β)=

2 11 5 3 ? ? 1- - ? 14 ? = 14 .

所以 cos β = cos[(α+ β)- α] = cos(α+ β)cos α +sin (α+ β)sin α 11 ? 1 5 3 4 3 1 ? =?- ?× + × = . 14 7 14 7 2 又 0° <β <90°,所以 β= 60° .

三角函数式的化简

三角函数式的化简,主要有以下几类:①对和式,基本思路是 降幂、消项和逆用公式;②对分式,基本思路是分子与分母的 约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需 要运用倍角公式的变形形式. 在具体过程中体现的则是化归的 思想,是一个“化异为同”的过程,通常考虑三个方面

(1)化简的要求 三角函数种数尽量少;项数尽量少;次数尽量低;尽量使分母 不含三角函数式;尽量使被开方数不含三角函数式;能求出值 的应尽量求出值. (2)化简的方法 ①直接应用公式,包括公式的正用、逆用和变形用; ②常用切化弦,异名化同名、异角化同角等. (3)化简的技巧 ①注意特殊角与特殊值的互化;②注意角的变换技巧;③注意 “ 1”的代换.

化简下列各式: 1+ 3tan θ 3+ 5tan θ (1) - ; 2cos 2θ + sin 2θ - 1 cos 2θ - 4sin 2θ - 4 2sin 50°+ cos 10°( 1+ 3tan 10°) (2) . 1+ cos 10°

[解]

1+ 3tan θ (1)原式= 2 2 cos θ - 3sin θ + 2sin θ cos θ

3+ 5tan θ + 2 2 3cos θ + 5sin θ + 8sin θ cos θ cos θ + 3sin θ cos θ = ( cos θ + 3sin θ )( cos θ - sin θ ) 3cos θ + 5sin θ cos θ + ( 3cos θ + 5sin θ )( cos θ + sin θ )

1 1 = 2 + 2 cos θ - sin θ cos θ cos θ + sin θ · cos θ cos θ + sin θ cos θ - sin θ = + 2 2 cos θ ( cos θ -sin θ ) cos θ ( cos 2θ -sin2θ ) 2cos θ 2 = = . cos θ · cos 2θ cos 2θ

? 3sin 10° ? 2sin 50°+ cos 10°?1+ ? ? cos 10° ? (2)原式= 2 2cos 5° ?cos 10°+ 3sin 10° ? 2sin 50°+ cos 10°? ? ? ? cos 10° = 2cos 5°
1 3 2sin 50°+ 2? cos 10°+ sin 10° ? ?2 ? 2 = 2cos 5° 2cos 40°+ 2sin 40° = 2cos 5° 2 2sin ( 40°+ 45°) 2sin 85° = = = 2. cos 5° 2cos 5°

三角恒等式的证明
证明三角恒等式是三角恒等变形的重要应用,主要有两种类 型:不附加条件的恒等式的证明和条件恒等式的证明. (1)不附加条件的恒等式的证明 三角恒等式的证明就是通过三角恒等变形, 消除三角恒等式两 端的差异,这是三角变形的重要应用之一.证明的一般思路是 由繁到简,如果两边都较繁,则采用左右互推的思路,找一个 桥梁过渡.

(2)条件恒等式的证明 这类问题的解题思路是恰当地、 适时地使用条件或仔细探求所 附条件与需证明的等式之间的内在联系, 常用方法是代入法和 消元法.
2( 3+ cos 4x) 1 (1)求证:tan x+ 2 = . tan x 1- cos 4x
2

(2)已知锐角 α,β 满足 tan(α- β)=sin 2β ,求证:2tan 2β = tan α +tan β .

sin2 x cos 2 x sin4 x+ cos4 x [证明] (1)法一:左边= 2 + 2 = 2 2 cos x sin x sin xcos x 1 2 1- sin 2x 2 2 2 2 2 ( sin x+ cos x) - 2sin xcos x 2 = = 1 2 1 2 sin 2x sin 2x 4 4 1 2 1- sin 2x 8- 4sin2 2x 4+ 4cos2 2x 2 = = = 1 1- cos 4x 1- cos 4x ( 1- cos 4x) 8 4+ 2( 1+ cos 4x) 2( 3+ cos 4x) = = =右边. 1- cos 4x 1- cos 4x 所以原式得证.

2( 2+ 1+ cos 4x) 2( 2+ 2cos2 2x) 法二:右边= = = 2 2 2 2sin 2x 8sin xcos x 2( 1+ cos 2x) ( sin x+ cos x) +( cos x-sin x) = 2 2 2 2 4sin xcos x 2sin xcos x 2( sin x+ cos x) 1 2 = = tan x + 2 2 2 =左边. 2sin xcos x tan x 原式得证.
4 4 2 2 2 2 2 2 2

(2)因为 tan(α- β)=sin 2β , tan α - tan β tan(α- β)= , 1+ tan α tan β 2tan β sin 2β = , 2 1+ tan β tan α - tan β 2tan β 所以 = . 2 1+ tan α tan β 1+ tan β 3tan β + tan3β 去分母整理得 tan α = , 2 1- tan β 3tan β + tan β + tan β - tan β 所以 tan α + tan β = = 2tan 2β . 2 1- tan β
3 3

三角恒等变形与三角函数的性质

利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法, 可以化简三 角函数的解析式,进而才能顺利地探求三角函数的有关性 质.反过来,利用三角函数性质,可确定解析式,进而可求出 有关三角函数值, 因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考 命题的热点.

解决三角恒等变形与三角函数的综合问题关键在于熟练地运 用基本的三角恒等变形思想方法,对其解析式变形、化简,尽 量使其化为只有一个角为自变量的三角函数. 解决与图像和性 质有关的问题,在进行恒等变形时,要注意三角恒等思想.

已知向量 a=(2sin x, cos x), b= ( 3cos x, 2cos x),定 义函数 f(x)= a· b- 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的递减区间; 7π 5π ? ? (3)画出函数 y= f(x), x∈?- , 的图像,由图像研究并 ? 12 12 写出 f(x)的对称轴和对称中心.

[解]

f(x)= 2 3sin xcos x+ 2cos x- 1

2

= 3sin 2x+ cos 2x π? ? = 2sin?2x+ ?. 6 2π (1)T= =π . 2 π π 3π π 2π (2)2kπ + ≤ 2x+ ≤ 2kπ + ? kπ + ≤ x≤ kπ + 2 6 2 6 3 (k∈ Z),

?kπ +π , kπ + 2π ? 所以函数 f(x)的递减区间为? (k∈ Z). 6 3 ?

(3)列表: x π 2x+ 6 y 7π - 12 -π 0 π - 3 π - 2 -2 π - 12 0 0 π 6 π 2 2 5π 12 π 0

描点,连线,如图所示:

π ? 从图像可以看出, 此函数有一个对称中心?- , 0? ?,无对称轴. 12

5π 3π ? ? 1. 已知 f(x)= 1- x, 当 α∈? , 时, f(sin 2α )- f(- sin ? 4 2 2α )可化简为 ( D ) A. 2sin α C.- 2sin α B.- 2cos α D. 2cos α

解析: f(sin 2α )- f(- sin 2α )= 1- sin 2α - 1+ sin 2α = ( sin α - cos α ) - ( sin α + cos α ) = |sin α - cos α |- |sin α + cos α |,
2 2

?5π ,3π ? 由 α∈? , ? 4 2
所以 sin α <cos α <0, f(sin 2α )-f(- sin 2α )= 2cos α .

2.函数 f(x)=sin xcos x+ 3cos x 的图像的一个对称中心是 ( D ) 2π ? ? A. ? , 0? 3 2π ? ? C. ?- , 0? 3 5π ? ? B.? , 0? 6 π 3? ? D.? , ? 3 2

2

1 3 3 解析: f(x)= sin xcos x+ 3cos x= sin 2x+ cos 2x+ = 2 2 2 π? π kπ π 3 ? sin 2x+ + ,令 2x+ = kπ ,k∈ Z,所以 x= - , ? ? 3 2 3 2 6
2

π 3 k∈ Z,当 k=1 时, x= ,此时 f(x)= ,所以函数 f(x)的一 3 2 3? ?π 个对称中心是 , ? 3 2 ?.

sin 9°+ cos 15°sin 6° 2- 3 3. = ________. cos 9°- sin 15°sin 6°
sin( 15°- 6°)+ cos 15°sin 6° 解析:原式= cos ( 15°- 6°)- sin 15°sin 6° sin 15° cos 6°- cos 15° sin 6°+ cos 15° sin 6° = cos 15° cos 6°+sin 15° sin 6°-sin 15°sin 6° sin 15° cos 6° = = tan 15°= tan(45°- 30°) cos 15° cos 6° tan 45°- tan 30° = = 2- 3. 1+ tan 45° tan 30°

4.函数 f(x)= asin[(1- a)x]+ cos[(1- a)x]的最大值为 2,则

π f(x)的最小正周期为 ________ .
解析: f(x)= asin[(1- a)x]+ cos[(1- a)x] = 1+ asin[(1- a)x+ φ], 所以 f(x)max= 1+ a,即 1+ a= 2, a= 3. 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . |1- a|

π? π ? 5.已知 0<α< , β 为 f(x)= cos?2x+ ?的最小正周期, a= 8 4

?tan?α +1β ?,- 1?, b= (cos α , 2),且 a· b=m,求 ? ? ? ? 4
2cos 2α + sin 2( α+ β) 的值. cos α - sin α

π? ? 解:因为 β 为 f(x)= cos?2x+ ?的最小正周期,所以β =π , 8 1 ? ? ? 因为 a=?tan?α + β ?,- 1? , b=(cos α , 2),所以 a· b= ? 4

?tan?α +1β ?,- 1?· (cos α , 2)= tan?α +1β ? · cos α - 2 ? ? ? ? 4 ? 4 ?
1 ? π ? =m,所以 tan?α + π ?cos α =m+ 2.因为 0<α< , 4 4

2cos α + sin 2( α+ β) 所以 cos α - sin α 2cos 2α + sin( 2α+ 2π ) 2cos 2α + sin 2α = = cos α - sin α cos α - sin α 2cos α ( cos α +sin α ) 1+ tan α = = 2cos α · cos α - sin α 1- tan α π? ? = 2cos α tan?α + ?= 2m+ 4. 4

2


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