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湖北省黄冈中学2012届适应性考试 理科数学试题


黄冈中学 2012 届高三适应性考试 理科数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1 1. 已知复数 z 对应的点在第一象限,则复数 对应的点在 z
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. sin ? ? sin ? 是? ? ? 的 A.

充要条件 C. 充分不必要条件 满足 A. d ? 0 B. d ? 0 C. d ? 0 D. d ? 0

3. 等差数列 ? an ? 中,a2、a5、a8 成等比数列,则 ? an ? 的公差 d

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2 2

2 2

4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其 外接球的表面积之比为 A.

2 2

2 2

1
正视图

1
侧视图

3 : 2?

B.

3 :?

C. 2 3 : ?

D. 2 : ?

5. 一只蚂蚁在一个边长为 6 的正方形区域内随机地爬行,则其 恰在离四个顶点的距离都大于 3 的地方的概率是

1 1
俯视图

1 3 ? ? B. 1 ? C. 1 ? D. ? 2 4 2 2 4 x 6.已知 A ? x1 , y1 ? , B? x2 , y2? , C x , y? 是函数 y ? 2 图象上的 ? 3 3
A. 三个不同点,若 x1 ? 2 x2 ? 3x3 ? 1 , 为 A. 2
10

则 y1 ? y2 ? y3 的最小值
2 3

B.

3

2

C. 3
2

D. 3 3 2
10

7.已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? … ? a10 ?1 ? x ? ,则 a8 ? A. ?180 B. 180
2

C. 45

D. ?45
2 2

8. 已知方程 f ( x) ? x ? ax ? 2b 的两个根分别在区间 (0, 和 1) (1, 内, a ? (b ? 4) 2) 则 的取值范围为 A. ( 17, 20) B. (

9 5 , 20) 5

C. (17,20)

D. (

81 , 20) 5

9. 已知 f (x) 是 R 上的偶函数,若将 f (x) 的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数 的图象,若 f (2) ? ?1, 则f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012) ? A. 0 B. 1 C. ?1 D.

?1006.5

10. 如图,P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0, xy ? 0 ? 上的动点,F1、F2 是双曲线的焦点, a 2 b2 ????? ???? M 是 ?F1 PF2 的平分线上的一点,且 F2 M ? MP ? 0 . 有一同学用以下方法研究 OM :延

长 F2 M 交 PF1 于 点 N , 可 知 ?P N F 为 等 腰 三 角 形 , 且 M 为 F2 N 的 中 点 , 得 2
1

x2 y 2 1 NF1 ? … ? a . 类似地: P 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0, xy ? 0 ? 上的动点, a b 2 ????? ???? F1、F2 是椭圆的焦点, M 是 ?F1 PF2 的平分线上的一点,且 F2 M ? MP ? 0 . 则 OM 的取

OM ?

值范围是 A. ?0, a 2 ? b2 ?

?

?
y

B. ?0, a 2 ? b2 ?

?

?

C. 0, a 2 ? b2
y

?

?

D. 0, a 2 ? b2

?

?

P N P M x O F2 F1 O
M

F1

x

F2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均 不得分.
(一)必考题(11—14 题) 11. 计算:

?

1

?1

?2 1? x
?

2

? sin x dx ?

?

. .

12. 化简: sin 40? tan10? ? 3 ?

?

13. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1 ,第二位同学 首次报出的数也为 1 ,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的是 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次. 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 . 14. 如图,圆台上底半径为 1 ,下底半径为 4 ,母线 AB ? 18 ;从 AB 的中点 M 拉一条绳子 绕圆台侧面转到点 A ,则绳子的最短长度为 ; 当绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离为 . B E B D A C 15 题图

M

A

F O

P

14 题图

(二)选考题:请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题号序号后的方框用 2B 铅笔涂黑。如果全选,则按第 15 题作答结果计分. 15. (选修 4-1:几何证明选讲)

2

如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线交于点 P , E 为⊙ O 上一点, . AE ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2BP ? 4 ,则 PF ? 16. (选修 4-4:极坐标与参数方程) 设曲线 C : ?

? x ? 5 cos ? ? 1 ? ? y ? 5 sin ? ? 1 ?

( ? 为参数) ,直线 l : ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? 4 ,则 C 上 .

的点到 l 的最大距离是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题 12 分)已知 ?ABC 中, ?C ? 90? , D 为斜边 AB 上靠近顶点 A 的三等分点. (I)设 CA ? a, CB ? b ,求 CD ; (II)若 CA ? 2 2, CB ? 1 ,求 CD 在 AB 方向上的投影.

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

18. (本小题 12 分)从高三年级学生中随机抽取 100 名学生,测得身高情况如下表所示: (I)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据,并在所给的坐标系中补全频率 分布直方图,再根据频率分布直方图估计众数的值; (II)按身高分层抽样,现已抽取 20 人参加一项活动,其中有 3 名学生担任迎宾工作. 记这 3 名学生中“身高低于 170 cm”的人数为 ? ,求 ? 的分布列及期望. 分 组 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00
160 165 170 175 180 185 0.08 0.07

频率 组距

[150,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 合 计

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 身高

19. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是 菱形, AC ? 2 , BD ? 2 3 ,E 是 PB 上任意一点 . (I)求证: AC⊥DE; (II)已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 P

15 ,若 E 为 5
D A O O

PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值 .

E C

B

3

20. (本小题 12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需 向总公司交 a ? 3 ? a ? 5 ? 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x ? 9 ? x ? 11? 元时, 一年的销售量为 ?12 ? x ? 万件.
2

(I)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (II)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值

Q ?a? .

21. (本小题 13 分)动点 M ? x, y ? 到定点 F ? ?1, 0 ? 的距离与到 y 轴的距离之差为1 . (I)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 Q ? ?3, 0 ? 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,问直线 x ? 3 上是否存在点 P , 使得 ?PAB 是等边三角形?若存在,求出所有的点 P ;若不存在,请说明理由.

22. (本小题 14 分)数列 ? an ? 满足 a1 ? (I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)证明: a1 ? a2 ? … ? an ? n ? ln (III)证明:

1 1 , an ?1 ? ? n ? N *? . 2 ? an 2

n?2 ; 2

a2 ? a2 n ? a12 ?? ? 2 ? … ? n ? ? ln n ? 1 . 2 ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1 ?

4

答案 1—10 ACBBC DBDBD

60 3 6 5 ? 6 15. 3 16. 7 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? 17.(1) ∵ AB ? 3 AD 即 CB ? CA ? 3 CD ? CA ????4 分
11.

?

12. ?1

13. 7

14. 21,

?

?

∴ 3CD ? CB ? 2CA

??? ?

??? ?

??? ?

故 CD ?

??? ?

2? 1? a? b 3 3

????6 分

(2)过 C 作 CE ? AB 于 E ,则由射影定理得 AE ?

又因为 CD 在 AB 方向上的投影为负,故 CD 在 AB 方向上的投影为 ? 18. (1)① 20 ② 0.350 ????2 分 补图(如图) ???? 4 分 众数 172.5 ????6 分
频率 组距
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8 3

∴ DE ?

5 3

5 ????12 分 3

身高 160 165 170 175 180 185

(2)20 人中“身高低于 170cm”的有 5 人, ∴ ? 的所有可能取值有 0,1,2,3,

P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 3? ?


3 C15 C1C 2 35 C 2C 1 91 5 ? P ?? ? 1? ? 5 3 15 ? P ?? ? 2 ? ? 5 3 15 ? , , , 3 C20 228 C20 76 C20 38 3 C5 1 ? 3 C20 114

??????10 分

?
P

0

1

2

3

91 228
????12 分

35 76

5 38

1 114

E? ?

57 76

19. (1)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ∴ PD ? AC 又∵ ABCD 是菱形 ∴ BD ? AC ∴ AC ? 平面 PBD ∵ DE ? 平面 PBD

5

∴ AC ? DE

????6 分

(2)分别以 OA, OB, OE 方向为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,设 PD ? t ,则

t? ? A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? , P 0, ? 3, t 2? ?
??

?

?

?

?
?? ?

由(1)知:平面 PBD 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? ,令平面 PAB 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,

?? ??? ? ? ?? ? ? ?n2 ?AB ? 0 ?? x ? 3 y ? 0 2 3? ? ? 则根据 ? ?? ??? 得? ∴ n2 ? ? 3,1, ? ? ? ? t ? ? ? ?n2 ?AP ? 0 ?? x ? 3 y ? tz ? 0 ? ?
因为二面角 A-PB-D 的余弦值为

?? ?? ? 15 15 ,则 cos? n1 , n2 ? ? ,即 5 5
??????9 分

3 15 ? ?t ?2 3 5 12 4? 2 t
∴ P 0, ? 3, 2 3

?

?
??? ?

设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? ,∵ EC ? ?1, 0, ? 3 , n2 ?

?

?

?? ?

?

3,1,1 则

?

??? ?? ? ? 2 3 15 sin ? ? cos? EC , n2 ? ? ? 5 2? 5

??????12 分

20. 解: (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:

L ? ? x ? a ? 3??12 ? x ? ? 9 ? x ? 11?
2

????4 分

(2) L ? x ? ? ?12 ? x ??18 ? 2a ? 3 x ? .
'

2 ????6 分 a 或 x ? 12 (舍) 3 9 2 (ⅰ)当 3 ? a ? 时, 6 ? a ? 9 ,此时 L( x) 在 ? 9,11? 上单调递减, 2 3
令 L ? x? ? 0 得 x ? 6 ?
'

L ? x ?max ? L ? 9 ? ? 54 ? 9a

????9 分
3

2 ? a? 9 2 ? ? (ⅱ)当 ? a ? 5 时, 9 ? 6 ? a ? 11 ,此时 L ? x ?max ? L ? 6 ? a ? ? 4 ? 3 ? ? 3 ? 3? 2 3 ? ?
????11 分 ∴ 当3 ? a ?

9 9 时,每件售价为 9 元,分公司一年的利润 L 最大,当 ? a ? 5 时,每 2 2
6

件售价为 6 ?

2 a 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值为 3

9 ? ?54 ? 9a,3 ? a ? 2 ? Q ?a? ? ? 3 ?4 ? 3 ? a ? , 9 ? a ? 5 ? ? ? 3? 2 ? ?

????12 分

21.(1)依题意有:

? x ? 1?

2

? y 2 ? x ? 1 ????2 分
2

当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y ? ?4 x ????5 分 ∴M 点的轨迹方程为 y ? ?
2

?0, x ? 0 ??4 x, x ? 0
2

????6 分

(2)分析可知 l 只能与抛物线 y ? ?4 x 相交. 设 l 的方程为 x ? my ? 3 ,代入 y ? ?4 x 的 y ? 4my ? 12 ? 0
2

2

????7 分

设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? 则 y1 ? y2 ? ?4m, y1 y2 ? ?12, ? ? 16m ? 48
2
2 2 ∴ AB ? 1 ? m 16m ? 48

????8 分

AB 的中点 M ?2m ? 3, ?2m
2

?

?

由 ?PAB 是等边三角形得:

PM ? AB 且 PM ?
令点 P ? 3, n ? 则 PM ?

3 AB 2
6 ? mn 1 ? m2

?????9 分

?????10 分

? 6 ? mn 3 ? 1 ? m 2 16m 2 ? 48 ? 2 ?m ? 0 ? 2 ∴ ? 1? m ,解得 ? ?n ? 0 ? n ? 2m ? ?m ? 6 ? 2m 2 ?
所以存在点 P ? 3, 0 ? 使得 ?PAB 是等边三角形. ?????13 分 22(1)解:由 a1 ?

1 1 2 3 4 n , an ?1 ? 得 a2 ? , a3 ? , a4 ? ,? ,猜想: an ? 2 2 ? an 3 4 5 n ?1

下面用数学归纳法证明猜想: an ?

n ? n ? N * ? 成立. n ?1
7

ⅰ 当 n ? 1 时 a1 ?

1 ,猜想成立; 2
*

ⅱ 假设 n ? k k ? N

?

? 时,猜想成立,即 a

k

?

1 1 k ?1 ;从而 n ? k ? 1 时猜想成立。 ? ? 2 ? ak 2 ? k k ?2 k ?1 n 综合ⅰ,ⅱ 知:猜想成立.即数列的通项公式为 an ? . n ?1 ak ?1 ?
(2) 由于当 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x ; 所以令 x ?
n

k ;那么当 n ? k ? 1 时, k ?1

1 1 1 1 即 ln ? k ? 2 ? ? ln(k ? 1) ? , (k ? 1, 2,?, n) 得 ln(1 ? )? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
n



? ?ln ? k ? 2 ? ? ln(k ? 1) ? ? ? k ? 1 ,于是 ln ? ?
k ?1 k ?1

1

n?2 n 1 , ?? 2 k ?1 k ? 1

从而 n ? ln

n?2 n ? 1 ? n n?2 . ? ? ?1 ? ? ? ? ak 即证: ? a1 ? a2 ? ? an ? ? n ? ln 2 k ? 1 ? k ?1 2 k ?1 ?

(3) 由柯西不等式得:

? a12 a2 ? a2 2 ? 2 ? … ? n ? ?? a1 ? a2 ? ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an ? a1 ) ? ? ? a1 ? ? ? an ? ? ? ? an ? a1 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3

an 2 a12 a2 2 n ? ?…? ? ln n ? 1 所以要证 ? 2 a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1

n 1 2 n 2 , ? ln n ? 1 ? ? a1 ? ? ? an ? ,也就是需证: n ? ln ? n ? 1? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 1 1 1 即证: ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ; 2 3 n ?1
即证 因为函数 f ( x) ? ln(1? x ) ?

1 1 x x ' ? ? 的导函数 f ( x ) ? 当x?0时 2 2 1 ? x ?1 ? x ? 1? x ?1 ? x ?

f ' ? x ? ? 0 所以当 x ? 0 时 ln(1 ? x) ?

x 1 ,取 x ? ? k ? 1, 2,3,?, n ? 得 1? x k

k ?1 1 ln ? k k ?1



? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 ?? ,所以 k k ?1 k ? 1

8


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