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江苏省泰州中学(创新班)2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


一、填空题:本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上. 1 .已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?2,3,5,6? ,集合 B ? ?1,3, 4,6,7? ,则集合

A ? (? U B) ?



2.幂函数的图像经过点 (2, ) ,则 f

( ) 的值为 3.函数 f ( x) ?

1 4

1 2

. . .

x ? 1 ? (2 ? x)0 的定义域为

4. 已知在 R 上的奇函数 f ( x ) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? lg x , 则其解析式为 f ( x) ? 5.与函数 y ? 10lg( x?1) 相等的函数是 ① y ? x ? 1 ;② y ?| x ? 1| ;③ y ? ( 6. lg (填序号) .

x2 ?1 x ?1 2 ) ;④ y ? . x ?1 x ?1
. .

? 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

7.若函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? x ? 3 的零点为 x0 ,满足 x0 ? (k , k ? 1) 且 k ? Z ,则 k ?
2 ? ?2 x ? 8ax ? 3, x ? 1, 8.已知 f ( x) ? ? x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为 ? ? a ? a, x ? 1



9.若函数 f ( x) ? x2 ? 4x 的定义域为 ? ?4, a? ,值域为 ??4,32? ,则实数 a 的取值范围为 10.设 2 ? 3 ? 6 ,则
a b



1 1 ? ? a b

. .

11.若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ?

12. 函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数, 对任意的 x1 , x2 ? (?1, ??) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ?0 x1 ? x2


成立,则 a ? f (log 1
2

3 7 7 ) , b ? f (log 1 ) , c ? f (log 2 ) 由大到小的顺序为 2 2 3 2

13.已知函数 f ( x) ? ?

?2? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ? 1), x ? 0,

若方程 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 )有且只有两个不相等的 .

实数根,则实数 a 的取值范围是

| x|

14.关于函数 f ( x) ? 2

x2 ?1

,有下列命题:①其图像关于 y 轴对称;② f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增

函数;③ f ( x ) 的最大值为 1;④对任意 a , b , c ? R , f ( a ) , f (b) , f (c) 都可做为某一 三角形的边长.其中正确的序号是 .

二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?x |1 ? x ? 6? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? , C ? ?x | x ? a? . (1)求 (?R A) ? B ; (2)若 A ? C ,求 a 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) (1)已知 x ? x
1 2 ? 1 2

? 3 ,求 x ?

1 的值; x

(2)计算: (log4 3 ? log8 3) ? (log3 2 ? log9 8) . 17. (本小题满分 15 分) 已知 f ( x) ? log 2

1? x . 1? x

(1)判断 f ( x ) 奇偶性并证明; (2)判断 f ( x ) 单调性并用单调性定义证明; (3)若 f (

? 1 ) ? f ( ? ) ? 0 ,求实数 x 的取值范围. x ?3 3

18. (本小题满分 15 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400, 已知总收益函数诶 R( x) ? ? 其中 x 是仪器的产量(单位:台) : 2 ? ?80000, x ? 400,
(1)将利润 f ( x ) 表示为产量 x 的函数(利润 ? 总收益 ? 总成本) ; (2)当产量 x 为多少台时,公司所获利润最大?最大利润是多少元? 19. (本小题满分 16 分)

已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ( x ? R ) ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2tx 在区间 ? ?1,5? 上是单调函数,求实数 t 的取值范围; (3) 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有区间 (?1, 2) 上有唯一实数根, 求实数 m 的取值范围 (注: 相等的实数根算一个) . 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 . (1)当 x ??1,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 g ( x) ?| f ( x) | ( a ? 0 )在 ?1, 2? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

数学试卷参考答案及评分标准 一、填空题 1. ?2,5? 3. ?x | x ? ?1, 且x ? 2?

2.4

? x3 ? lg x, x ? 0, ? 4. f ( x) ? ?0, x ? 0, ? x3 ? lg(? x), x ? 0 ?
10.1 11.1 12. b ? a ? c

5.③

6. ? 1

7.2

8. ? , ? 2 8

?1 5? ? ?

9. ? 2,8?

13. [ , 2)

2 3

14.①④

(2)设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2

1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) , ? log 2 ? log 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

又 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 即 0 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ,∴ 0 ?

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1, (1 ? x1 )(1 ? x2 )

∴ log 2

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , (1 ? x1 )(1 ? x2 )

∴ f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增.…………………………………………………………10 分

1 1 1 ) ? ? f (? ) ? f ( ) , x?3 3 3 1 1 ? ,∴ x ? 2 或 x ? 6 .……………15 分 又 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增,∴ ?1 ? x?3 3
(3)∵ f ( x ) 为 (?1,1) 上的奇函数,∴ f ( 18.解: (1)当 0 ? x ? 400 时,

f ( x) ? 400 x ?

1 2 1 x ? 100 x ? 20000 ? ? x 2 ? 300 x ? 20000 , 2 2

当 x ? 400 时, f ( x) ? 80000 ? 100 x ? 20000 ? 60000 ? 100 x ,

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400, ∴ f ( x) ? ? 2 ………………………………………7 分 ? ?60000 ? 100 x, x ? 400.

(2)当 0 ? x ? 400 时, f ( x) ? ?

1 2 1 x ? 300 x ? 20000 ? ? ( x ? 300) 2 ? 25000 , 2 2

当 x ? 300 时, f ( x)max ? 25000 ,……………………………………………………10 分 当 x ? 400 时, f ( x) ? 60000 ?100 x ? f (400) ? 20000 ? 25000 ,………………13 分 ∴当 x ? 300 时, f ( x)max ? 25000 . 答:当产量 x 为 300 台时,公司获利润最大,最大利润为 25000 元.………………15 分 19.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,代入 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , 得 2ax ? a ? b ? 2 x ,对于 x ? R 恒成立,故 ?

?2a ? 2, ,……………………………3 分 ?a ? b ? 0

又由 f (0) ? 1 ,得 c ? 1 ,解得 a ? 1, b ? ?1, c ? 1 , ∴ f ( x) ? x2 ? x ? 1 .……………………………………………………………………5 分

2t ? 1 2 (2t ? 1)2 ) ?1? (2)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2tx ? x ? (2t ? 1) x ? 1 ? ( x ? , 2 4
2

又函数 g ( x) 在 ? ?1,5? 上是单调函数,故 截得 t ? ?

2t ? 1 2t ? 1 ? ?1 或 ? 5 ,…………………8 分 2 2

3 9 或t ? . 2 2
3 2 9 2

故实数 t 的取值范围是 ( ??, ? ] ? [ , ??) .…………………………………………10 分 (3)由方程 f ( x) ? x ? m 得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2

令 h( x) ? x ? 2 x ? 1 ? m , x ? (?1, 2) ,
2

即要求函数 h( x) 在 (?1, 2) 上有唯一的零点,……………………………………………11 分 ① h(?1) ? 0 ,则 m ? 4 ,代入原方程得 x ? ?1 或 3,不合题意;……………………12 分 ②若 h(2) ? 0 ,则 m ? 1 ,代入原方程得 x ? 0 或 2,满足提议,故 m ? 1 成立;……13 分 ③若△ ? 0 ,则 m ? 0 ,代入原方程得 x ? 1 ,满足提议,故 m ? 0 成立;…………14 分 ④若 m ? 4 且 m ? 1 且 m ? 0 时,由 ?

?h(?1) ? 4 ? m ? 0, 得1 ? m ? 4 . ?h(2) ? 1 ? m ? 0,

综上,实数 m 的取值范围是 ?0? ? ?1, 4? .……………………………………………16 分

20.解: (1)当 x ??1, 2? 时, ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,
2

所以当 x ??1, 2? 时, a ? ?

1 2 1 ? ? ?( ? 1) 2 ? 1 恒成立,…………………………3 分 2 x x x

又 ?( ? 1) ? 1 在 x ??1, 2? 上的最大值为 1,
2

1 x

∴ a ? 1 .…………………………………………………………………………………6 分 (2)当 a ? 0 时, g ( x) ?| 2 x ? 1| 在 ?1, 2? 上是增函数;……………………………7 分
2 当 a ? 0 时, g ( x) ?| a ( x ? ) ? 1 ?

1 a

1 |, a

1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? 1 时, ? 1 , g ( x) ?| a ( x ? ) 2 ? 1 ? | 在 ?1, 2? 上是增函数;…9 分 a a a a 1 ②若 1 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,设方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,此时 g ( x) 在 a
①若 1 ?

? 1? x1 , 和 [ x2 , ??) 上是增函数, ? ? a? ?

?1 1 ? ? 2, ? 1? 1)若 ?1, 2? ? ? x1 , ? ,则 ? a 解得 0 ? a ? ;………………………12 分 2 ? a? ? ? f (1) ? a ? 1 ? 0, ?1 ? ? 1, 2)若 ?1, 2? ? [ x2 , ??) ,则 ? a 得 a ? 1 ,无解.………………………15 分 ? ? f (1) ? a ? 1 ? 0,
综上所述 0 ? a ?

1 或 a ? 1 .……………………………………………………………16 分 2


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