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2013版高中全程复习方略课时提能训练:2.10函数模型及其应用(人教A版·数学理)湖南专用


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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

课时提能演练(十三)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y=5x+4 000,而手 套出厂价格为每副 10 元,

则该厂为了不亏本,日产手套至少为( (A)200 副 (C)600 副 (B)400 副 (D)800 副 ) 100 分)

2.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每 件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利 润,销售价应定为每件( (A)100 元 (B)110 元 ) (C)150 元 (D)190 元

3.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图, 若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x 的 函数关系较为近似的是( )
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(A)y=0.2x
2x (C)y= 10

(B)y=

1 (x2+2x) 10

(D)y=0.2+log16x

5.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运, 据市场分析, 每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(近似抛物线的一段), 则每辆客车营运 多少年使其营运年平均利润最大( (A)3 (B)4 (C)5 ) (D)6

6.(易错题)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长, 在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12)、 m, 4 不考虑树的粗细.现在想用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成 一个矩形的花圃 ABCD,设此矩形花圃的面积为 S m2,S 的 最大值为 f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图象大致是( )

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本 增加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q的最大值是_________. 8.(2012·杭州模拟)生活经验告诉我们,当水注进容器(设单位时间内进水量相 同)时, 水的高度随着时间的变化而变化, 在下图中请选择与容器相匹配的图象,
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1 2 Q ,则总利润 L(Q) 20

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(A)对应________;(B)对应________;(C)对应________;(D)对应________.

9.(2012·长春模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔 慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现容 器内还有一半的沙子, 则再经过____min, 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·武汉模拟)我国加入 WTO 时,根据达成的协议,若干年内某产品市场 供应量 p 与关税的关系近似满足 p(x)= 2?1?kt ?? x ?b? (其中 t 为关税的税率,
2

t∈[0, 所示.

1 1 ),x 为市场价格,b,k 为正常数),当 t= 时的市场供应量曲线如图 2 8

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(1)根据图象,求 b,k 的值; (2)记市场需求量为 a,它近似满足 a(x)= 2 平衡价格. 当市场平衡价格控制在不低于 9 元时,求关税税率的最小值. 11.(2012·衡阳模拟)某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生 产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设 附加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间的关系满足: 与 a-x 和 x 的乘积成 ①y 正比;②x= 时,y=a2;③0≤
a 2
x ≤t,其中 t 为常数,且 t∈[0,1]. 2 ?a ? x ?
11? x 2

,当 p=a 时的市场价格称为市场

(1)设 y=f(x),求 f(x)表达式,并求 y=f(x)的定义域; (2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入资金. 【探究创新】 (16 分)某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5 千美 元~8 千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况的调查中发现: 人均 GDP 处在中等 的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中(x 表示人均 GDP,单位:千美元,y 表示年人均 A 饮料的销 量,单位:升),用哪个模拟函数来描述年人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 关系 更合适?说明理由.①y=ax2+bx,②y=kx+b,③y=logax+b,④y=ax+b. (2)若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销量为 2 升,人均 GDP 为 4 千美 元时,年人均 A 饮料的销量为 5 升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各 个地区中,年人均 A 饮料的销量最多是多少?

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答案解析
1.【解析】选 D.利润 z=10x-y=10x-(5x+4 000)≥0. 解得 x≥800. 2.【解题指南】关键是将利润表示为提高售价的函数. 【解析】选 D.设售价提高 x 元,则依题意得 y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 000 =-5(x-90)2+60 500. 故当 x=90 时,ymax=60 500,此时售价为每件 190 元. 3.【解析】选 C.由图象知张大爷离家的距离(y)与行走时间(x)的关系,开始越 来越远,中间保持不变,最后越来越近直至到家,结合选项的图形验证知 C 吻 合. 4.【解析】选 C.由已知数据逐个验证知 C 较接近. 5.【解析】选 C.求得:y=-(x-6)2+11,
y 25 =12-(x+ )≤12-10=2, x x y ∴ 有最大值 2,此时 x=5. x a 【方法技巧】函数 y=x+ (a>0)最值的求法: x

(1)直接利用此函数的图象,观察求解; (2)利用基本不等式求解,一定要注意等号成立的条件,如果等号取不到,则可 求导判断该函数的单调性,利用函数的单调性求最值; (3)先利用增减函数的定义或求导来判断函数的单调性,再利用函数的单调性求 函数的最值. 6.【解析】选 C.设矩形花圃的长为 x m(a≤x<12),则此矩形花圃的面积
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S(x)=x(16-x)=64-(x-8)2,①当 0<a≤8 时,S(x)max=S(8)=64;②当 8<a<12 时, S(x)max=S(a)=64-(a-8)2,
?64, 0<a ? 8 故 u=f(a)= ? ? 2 12 ?64 ? ? a ? 8? ,8<a< ? .

故函数 u=f(a)的图象大致是 C. 【误区警示】本题易忽视 S(x)的定义域为[a,12),进而再忽视对 a 的讨论,而误 选 A. 7.【解析】总利润 L(Q)=40Q=1 (Q-300)2+2 500. 20 1 2 Q -10Q-2 000 20

故当 Q=300 时,总利润最大值为 2 500 万元. 答案:2 500 万元 8.【解析】A 容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应; B 容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应; C、D 容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线形,但 C 容器细,D 容器 粗,故水高度的变化为:C 容器快,与(3)对应,D 容器慢,与(2)对应. 答案:(4) (1) (3) (2)

9.【解析】当 t=0 时,y=a, 当 t=8 时,y=ae-8b= a,∴e-8b= , 容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 即 y=ae-bt= a, e-bt= =(e-8b)3=e-24b, 则 t=24,所以再经过 16 min. 答案:16
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1 2

1 2

1 8

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k 2 (1? ) ? 5 ? b ? ? 1? 2 8 , ? 10.【解析】(1)由图象,知 ? k 2 ? 2 ? 2(1? 8 )? 7 ? b ? , ?

k 2 ? ?(1 ? 8 ) ? 5 ? b ? ? 0, 即? ? ?(1 ? k ) ? 7 ? b ?2 ? 1, ? 8 ?

由 1 ? ≠0,解得 b=5,k=6. (2)p=a 时,有 2
?1?6t ?? x ?5?2

k 8

?2

11?

x 2

,

即(1-6t)(x-5)2=11- , 2(1-6t)=
17

x 2

? x ? 5?

2

?

1 . x ?5

由 x≥9,得 x-5≥4,即 0< 令 m=

1 1 ≤ . 4 x ?5

1 1 ,则 2(1-6t)=17m2-m(m∈(0, ]). 4 x ?5

由二次函数的性质得 当 m= 时,2(1-6t)max= 则 1-6t≤
1 4 17 1 13 ? ? , 16 4 16

19 13 ,t≥ . 192 32 19 . 192 a 2

所以关税税率的最小值为

11. 【解析】(1)设 y=k(a-x)x,当 x= 时,y=a2, 可得:k=4,∴y=4(a-x)x. ∵0≤
x ≤t,其中 t 为常数,且 t∈[0,1]. 2 ?a ? x ?

2at ],t 为常数,且 t∈[0,1]. 1 ? 2t a (2)y=4(a-x)x=-4(x- )2+a2, 2 2at a 1 a 2 当 ? 时,即 ≤t≤1,x= 时,ymax=a . 1 ? 2t 2 2 2

∴定义域为[0,

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2at a 1 2at ]上为增函数. ? ,即 0≤t< ,y=4(a-x)x 在[0, 1 ? 2t 2 2 1 ? 2t
8a 2 t 2at 时, y max ? . 2 1 ? 2t ?1 ? 2t ?

∴当 x=

综上,当 ≤t≤1,投入 x= 时,附加值 y 最大,为 a2 万元; 当 0≤t< ,投入 x= 【探究创新】 【解析】 (1)用函数 y=ax2+bx 来描述年人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 的关系 更合适.因为函数 y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b 在其定义域内都是单调函数,不具备 先递增后递减的特征. (2)依题意知,函数图象过点(1,2)和(4,5),
1 ? ?a ? ? 4 ?a ? b ? 2 ? , 解得 ? 则有 ? , 9 ?16a ? 4b ? 5 ?b ? ? ? 4

1 2

a 2

1 2

8a 2 t 2at 时,附加值 y 最大,为 万元. 2 1 ? 2t ?1 ? 2t ?

1 9 4 4 1 9 1 9 81 81 ∵y=- x2+ x=- (x- )2+ ? , 4 4 4 2 16 16 9 81 ∴在各个地区中,当 x= 时,年人均 A 饮料销量最多是 升. 2 16

∴y=- x2+ x(0.5≤x≤8).

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