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2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第11章推理与证明、算法初步与复数 第4讲复数


第4讲 复数
最新考纲 1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充要条 件;3.了解复数的代数表示法及其几何意义;4.会进行复数代

数形式的四则运算;5.了解复数代数形式的加、减运算的几何
意义.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理

1.复数的有关概念

内容

意义 形如________ a+bi (a∈

备注 若b=0,则a+bi为实 数;若a=0且b≠0, 则a+bi为纯虚数

复数的概念

R,b∈R)的数叫复
a, 数,其中实部为__ b 虚部为___

复数相等

a+bi=c+di?
a=c且b=d ____________
基础诊断 考点突破 课堂总结

内容

意义 a+bi与c+di共轭?

备注

共轭复数

a=c且b=-d (a,b, _______________
c,d∈R) 建立平面直角坐标系来表 实轴上的点都表示实数;

复平面

示复数的平面叫做复平

除了原点外,虚轴上的点 都表示纯虚数,各象限内 的点都表示虚数

x轴 叫实轴,y轴叫 面,____
虚轴 → 设OZ对应的复数为z=a

复数的模

→ +bi,则向量OZ的长度 叫做复数z=a+bi的模

a2+b2 |z|=|a+bi|=________

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.复数的几何意义
复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的, 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合

也是一一对应的,即
(1)复数z=a+bi (2)复数z=a+bi(a,b∈R)

Z(a,b) a,b∈R). 复平面内的点_______(
→ 平面向量OZ.

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd+?bc-ad?i ④除法:z = = = (c c+di ?c+di??c-di? c2+d2 2
+di≠0).

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数加、减法的几何意义 → → ①复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量 OZ1 , OZ2 不 → → 共线,则复数z1+z2是以 OZ1 , OZ2 为两邻边的平行四边形的对 → 角线OZ所对应的复数. → → → ②复数减法的几何意义:复数z1-z2是 OZ1 - OZ2 = Z2Z1 所对应 的复数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(× )
(2) 复 数 中 有 相 等 复 数 的 概 念 , 因 此 复 数 可 以 比 较 大 小.( × ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距

离,也就是复数对应的向量的模.( √ )

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考点突破

课堂总结

1 2.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设z= +i,则|z|= 1+i 1 A.2 3 C. 2
解析 ∴|z|=
答案 B

(

)

2 B. 2 D.2
1-i 1-i 1 1 1 ∵z= +i= +i= 2 +i=2+2i, 1+i ?1+i??1-i?
?1? ?1? 2 ? ? +? ?2= ?2? ?2?

2 2 ,故选B.

基础诊断

考点突破

课堂总结

?1-i? ?2 3.(2014· 湖北卷)i为虚数单位,? ?1+i? = ? ?

(

)

A.1 C.i
解析

B.-1
?1-i? ? ?2 -2i 因为? ? = 2i =-1.故选B. 1 + i ? ?

D.-i

答案 B

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考点突破

课堂总结

4 . (2014· 山东卷 ) 已知 a , b∈R , i 是虚数单位.若 a + i = 2 - bi,则(a+bi)2= A.3-4i B.3+4i ( )

C.4-3i

D.4+3i

解析 ∵a+i=2-bi,∴a=2,b=-1, ∴(a+bi)2=(2-i)2=3-4i,故选A. 答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教A选修1-2P63B1改编)已知(1+2i) z =4+3i,则z= ________.
解析 4+3i ?4+3i??1-2i? ∵z= = 1+2i ?1+2i??1-2i?

10-5i = 5 =2-i,∴z=2+i.
答案 2+i

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一 复数的概念
10 【例1】 (1)设i是虚数单位.若复数a- (a∈R)是纯虚数, 3-i 则a的值为 A.-3 C.1 B.-1 D.3 ( )

3+bi (2)若 =a+bi(a,b∈R),则a+b=________. 1-i

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

10?3+i? 10 (1)复数a- =a- 10 =(a-3)-i为纯虚数, 3-i

∴a-3=0,∴a=3. (2)由已知得3+bi=(1-i)(a+bi)=a+bi-ai-bi2= (a+b)+(b-a)i,
? ?a+b=3, 根据复数相等得? ? ?b-a=b, ? ?a=0, 解得? ? ?b=3.

∴a+b=3.

答案 (1)D (2)3
规律方法 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的 实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处 理.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练1】

(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的 ( B.2-i D.5-i )

共轭复数 z 为 A.2+i C.5+i

1 (2)(2014· 青岛质量检测)复数z= (其中i为虚数单位)的虚 2+i 部为________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)由(z-3)(2-i)=5,

5?2+i? 5?2+i? 5 得z= +3= +3= 5 +3=5+i, 2-i ?2-i??2+i? ∴ z =5-i.故选D. 2-i 2-i 2 1 1 (2)z= = = 5 =5-5i. 2+i ?2+i??2-i? 1 故复数z的虚部为-5. 1 答案 (1)D (2)-5

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二 复数的运算
2i 【例2】 (1)(2014· 安徽卷)设i是虚数单位,复数i + = 1+i
3

( A.-i C.-1 B.i D.1

)

? -2 3+i ? ? 2 ?2 014 (2) + =________. ? 1 - i 1+2 3i ? ? ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

2i?1-i? 2i (1)i + =-i+ 2 =-i+i-i2=1,故选D. 1+i
3

? ? ? i?1+2 3i? ? ?? 2 ?2?1 007 (2)原式= +?? ? 1+2 3i ??1-i? ? ? ? 2 ? ?1 007 1 007 4×251+3 3 =i+? = i + i = i + i = i + i =0. ?-2i? ? ?

答案 (1)D (2)0 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式
运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1-i a+bi ①(1± i) =± 2i;② =i;③ =-i;④ i =b-ai;⑤ 1-i 1+i
2

i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i(n∈N).
+ + +

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考点突破

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1+3i 【训练2】 (1)(2014· 新课标全国Ⅱ卷) = 1-i A.1+2i C.1-2i
?1+i? ?6 (2)? ?1-i? + ? ?

(

)

B.-1+2i D.-1-2i

2+ 3i =________. 3- 2i 1+3i ?1+3i??1+i? -2+4i 解析 (1) = = 2 =-1+2i. 1-i ?1-i??1+i?
??1+i?2? ? ?6 ? (2)原式=? + ? 2 ? ?
6

2+ 3i?? 3+ 2i? ? 3?2+? 2?2

6+2i+3i- 6 =i + =-1+i. 5 答案 (1)B (2)-1+i
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三 复数的几何意义 【例 3】 (1)(2014·重庆卷) 实部为- 2,虚部为 1 的复数所对应

的点位于复平面的
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ?2-i?2 (2)复数z= i (i为虚数单位),则|z|=
A.25 C.5 B. 41 D. 5

(

)

(

)

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 (1)实部为-2,虚部为1的复数为-2+i,所对应的点位 于复平面的第二象限,故选B. 4-4i-1 3-4i ?3-4i?i 4+3i (2)∵z= = i = i· i i = -1 =-4-3i, ∴|z|= ?-4?2+?-3?2=5.

答案 (1)B (2)C 规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内

的点以及向量三者之间的一一对应关系,从而准确理解复数的
“数”与“形”的特征.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练3】 (1)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示 z的共轭复数的点是 ( )

A.A
C.C

B.B
D.D

(2)i 为虚数单位,设复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于原 点对称,若z1=2-3i,则z2=________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)设z=-a+bi(a,b∈R+),则z的共轭复数 z =-a-

bi,它的对应点为(-a,-b),是第三象限的点,故选B. (2)在复平面内,复数z=a+bi与点(a,b)一一对应. ∵点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+ 3i.

答案 (1)B (2)-2+3i

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法] 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方 根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部惟一确定的, 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的

主要方法.对于一个复数 z =a+bi(a,b∈R),既要从整体
的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚 部的角度分解成两部分去认识.

3 .在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法
则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结 合.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[易错防范] 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它

的实部是否有意义.
2.两个虚数不能比较大小. 3.注意复数的虚部是指在a+bi(a,b∈R)中的实数b,即虚部 是一个实数.

基础诊断

考点突破

课堂总结


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