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2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1


2.2.1
课时演练?促提升

椭圆及其标准方程
A组

1.若 F1,F2 是两个定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析:由椭圆定义知,点 M 的轨迹是椭圆. 答案:A 2 2 2.“m>n>0”是“方程 mx

+ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:方程可化为=1,表 示焦点在 y 轴上的椭圆时,应满足>0,即 m>n>0.所以是充要条件. 答案:C 3.设 P 是椭圆=1 上一点,P 到两焦点 F1,F2 的距离之差为 2,则△PF1F2 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角 三角形 D.等腰直角三角形 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2=4, ∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∴△PF1F2 为直角三角形. 答案:B 4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 2 C.+y =1 2 D.+x =1 解析:由已知椭圆焦点在 y 轴上,设方程为=1(a>b>0). 则 2a==4,故 a=2. 2 2 2 又 c=1,则 b =a -c =3,故椭圆方程为=1. 答案:B 5.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的 轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数). ∵|P Q|=|PF2|, ∴|PF1|+ |PQ|=2a,即|QF1|=2a, ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆,故选 A. 答案:A 6.若方程=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 . 解析:将方程化为=1,依题意,得 8>2-m>0,解得-6<m<2. 答案:-6<m<2 7.若椭圆=1 的焦距为 6,则 k 的值为 . 2 解析:由已知,得 2c=6,∴c=3,∴c =9, ∴20-k=9 或 k-20=9,∴k=11 或 k=29. 答案:11 或 29

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8.若椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意 一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2,则此椭圆的标准方程 为 . 解析:由已知,得 2a=8,2c=2, ∴a=4,c=, ∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1. 2 答案:+x =1 2 2 9.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a =4b . (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|= 1,求∠F1PF2 的余弦值. 2 2 2 2 2 解:(1)依题意知 c=1,又 c =a -b ,且 3a =4b , 2 2 2 所以 a -a =1,即 a =1 . 2 所以 a =4. 2 因此 b =3.从而椭圆方程为=1. (2)因为点 P 在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2?2=4. 又|PF1|-|PF2|=1, 所以|PF1|=,|PF2|=. 又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得 cos ∠F1PF2=

=.
即∠F1PF2 的余弦值等于. 2 2 10.已 知圆 A:x +(y+6) =400,圆 A 内有一定点 B(0,6),动圆 C 过点 B 且与圆 A 内切,求动圆圆心 C 的 轨迹方程. 解:设动圆 C 的半径为 r,则|CB|=r. 因为圆 C 与圆 A 内切,所以|CA|=20-r, 所以|CA|+|CB|=20>12, 所以点 C 的轨迹是以 A,B 两点为焦点的椭圆. 因为 2a=20,2c=|AB|=12, 2 所以 a=10,c=6,b =64. 因为点 A,B 在 y 轴上, 所以点 C 的轨迹方程为=1. B组 1.已知 F1,F2 是椭圆=1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形 PF1F2 的面积等 于( ) A.24 B.26 C.22 D.24 2 解析:因为 a =49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14. 又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6. 又因为|F1F2|=2c=2=10, 2 2 2 所以|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,所以 PF1⊥PF2. 故△PF1F2 的面积 S=|PF1|?|PF2|=?8?6=24. 答案:A 2.设 F1,F2 是椭圆 C:=1 的焦点,在曲线 C 上满足=0 的点 P 的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 解析:∵=0, ∴PF1⊥PF 2. ∴ 点 P 为以线段 F1F2 为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为 c==2. ∵b=2,∴点 P 为该椭圆 y 轴的两个端点. 答案:B 2 3.F1,F2 分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为的正三角形,则 b 的值 是 . 解析:∵|OF2|=c,∴由已知得, ∴c2=4,c=2.

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设点 P 的坐标为(x0,y0),由△POF2 为正三角形, ∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1. ∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4), 4 2 即 b =12,∴b =2. 答案:2 2 2 4.已知圆 C:(x+1) +y =25 及点 A(1,0),Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M,求点 M 的轨迹 方程. 解:如图,M 是 AQ 的垂直平分线与 CQ 的交点,连接 MA,

则|MQ|=|MA|,

∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2, ∴动点 M 的轨迹是椭圆,且其焦点为 C,A. 易知 2a=5,2c=2,∴a=,c=1, ∴b2=a2-c2=-1=, 故动点 M 的轨迹方程为=1. 5.已知椭圆的焦点在 x 轴上,且焦距为 4,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程; (2)若△PF1F2 的面积为 2,求点 P 坐标. 解:(1)由题意知,2c=4,c=2, |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8, 即 2a=8,∴a=4. ∴b2=a2-c2=16-4=12. ∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的方程为=1. (2)设点 P 坐标为(x0,y0), 依题意知,|F1F2||y0|=2, ∴|y0|=,y0=±. 代入椭圆方程=1,得 x0=±2, ∴点 P 坐标为(2)或(2,-)或(-2 )或(-2,-). 2 6.已知 P 是椭圆+y =1 上的一点,F1,F2 是椭圆上的两个焦点. (1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2 的面积; (2)当∠F1PF2 为钝角时,求点 P 横坐标的取值范围. 解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4 且 F1(-,0),F2(,0).①

在△F1PF2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos 60°.② 由①②得|PF1|?|PF2|=. 所以|PF1||PF2|?sin ∠F1PF2=. (2)设点 P(x,y),由已知∠F1PF2 为钝角, 得<0, 即(x+,y)?(x-,y)<0. 2 2 又 y =1-,所以 x <2,

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解得-<x<. 所以点 P 横坐标的范围是

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