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2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程学案 新人教 A 版 选修 1-1

?基础梳理 1.椭圆的定义及标准方程. (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这 两个定点叫做椭圆的焦点,两点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容): 焦点在 x

轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 焦点

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 (±c,0) a,b,c 的关系:c2=a2-b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 (0,±c)

2.正确理解椭圆的定义. 只有当|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|时,点 P 的轨迹才是椭圆; 当|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2|时,点 P 的轨迹是线段 F1F2; 当|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2|时,点 P 的轨迹不存在. 3.正确理解椭圆的两种标准形式. (1)要熟记 a,b,c 三个量的关系. 椭圆方程中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离和的一半,正数 a,b,c 恰构成一个 2 2 2 直角三角形的三条边,a 是斜边,所以 a>b,a>c,且 a =b +c ,其中 c 是焦距的一半, 叫做半焦距. 2 2 (2)通过标准方程可以判断焦点的位置,其方法是:看 x ,y 的分母大小,哪个分母大, 焦点就在哪个坐标轴上. 4.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤. (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上. (2)设方程:

x2 y2 x2 y2 ①依据上述判断设方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1. a b b a 2 2 ②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx +ny =1(m>0,n>0 且 m≠n). (3)找关系,根据已知条件,建立关于 a,b,c 或 m,n 的方程组. (4)解方程组,代入所设方程即为所求.,?自测自评 1.到两定点 F1(-4,0)和 F2(4,0)的距离之和为 8 的点 M 的轨迹是线段 F1F2.
2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10,则椭 圆的标准方程为 + =1. 25 9
1

x2

y2

3.已知 a=4,c=3,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 + =1. 7 16 4.椭圆 + =1 的焦点坐标为(4,0),(-4,0). 25 9

x2

y2

x2

y2

1.已知两定点 F1(-2,0),F2(2,0),点 P 是平面上一动点,且|PF1|+|PF2|=6,则 点 P 的轨迹是(C) A.圆 B.直线 C.椭圆 D.线段 3? ?5 2.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且过点? ,- ?,则该椭圆的方程是(D) 2? ?2 A. + =1 8 4 C. + =1 4 8

y2 x2 y2 x2

B. + =1 10 6 D. + =1 6 10

y2

x2

y2

x2

3? ?5 解析:由题意知,所求椭圆的焦点在 x 轴上,可以排除 A、B;再把点? ,- ?代入方 2? ?2 程,可知应选 D. 2 2 3.过椭圆 4x +2y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 A、B 与椭圆的 另一焦点 F2 构成△ABF2,那么△ABF2 的周长是______. 答案:2 2 4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3 焦点在 x 轴上; (2)a=5,c=2 焦点在 y 轴上; ? 6 ? ?2 2 ? (3)求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过点? , 3?和点? ,1?. ?3 ? ? 3 ? 答案:(1) + =1;(2) + =1;(3)x + =1. 16 9 25 21 9

x2

y2

y2

x2

2

y2

x2 y2 ? 3? 5. 设 F1、 F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1, (a>b>0)的左右两焦点, 若椭圆 C 上的点 A?1, ? a b ? 2? 到 F1、F2 两点的距离之和为 4,求椭圆 C 的方程及焦点坐标. 解析:椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1,F2 两点的距离之和是 4,得 2a =4,即 a=2.

? 3? 又 A?1, ?在椭圆 C 上, ? 2? 3 2
1 ?2? 2 ∴ 2+ 2 =1,解得 b =3. 2 b 2 2 2 ∴c =a -b =1. ∴椭圆 C 的方程为 + =1, 4 3 焦点坐标为 F(±1,0).

? ? ? ?

x2 y2

2

1.下列说法中正确的是(C) A.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 B.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆 C.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1,F2 的距离之和的点的 轨迹是椭圆 D.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆 2.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为(B) 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不正确 2 2 3.椭圆 4x +9y =36 的焦点坐标是(D) A.(0,±3) B.(0,± 5) C.(±3,0) D.(± 5,0) 解析:椭圆方程化为标准方程为 + =1,∴c =9-4=5,∴c= 5,又∵焦点在 x 9 4 轴上,∴焦点坐标为(± 5,0). 4.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值为(A) m 4 A.5 或 3 B.8 C.5 D.3 2 2 解析:当焦点在 x 轴上,a =m,b =4, 又 c=1, ∴m-4=1,∴m=5. 2 2 当焦点在 y 轴上时,a =4,b =m, ∴4-m=1,∴m=3.故选 A. 2 2 5.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(D) A.(0,2) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1) x2 y2 2 解析:将方程化为标准方程为 + =1,∴k>0.又因为焦点在 y 轴上,∴ >2,即 k 2 2 k

x2

y2

x2 y2

2

x2 y2

k
<1,故 0<k<1. 6.椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面 49 24 积为(C) A.20 B.22 C.24 D.28 解析:|PF1|+|PF2|=14, 2 (|PF1|+|PF2|) =196,① 2 2 |PF1| +|PF2| =100.② ①-②得 1 2|PF1|?|PF2|=96,S= |PF1|?|PF2|=24. 2 2 2 7.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2),那么 k=____. y2 x2 5 2 解析:焦点在 y 轴上,则 + =1,c = -1=4,k=1. 5 1 k

x2

y2

k
8.与椭圆 x +4y =4 有公共的焦点,且经过点 A(2,1)的椭圆的方程为______. 解析:椭圆 x +4y =4 的标准方程为 +y =1, 4 ∴c= a -b = 4-1=3.
2 2 2 2 2 2

x2

2

3

设椭圆的方程为 2+

x2 y2 2 =1.(a >3), 2 a a -3

4 1 把点 A(2,1)代入 2+ 2 =1, a a -3 2 2 解得 a =6,或 a =2(舍去), ∴所求椭圆方程为 + =1. 6 3 答案: + =1. 6 3 2 2 9.一动圆过定点 A(1,0),且与定圆(x+1) +y =16 相切,则动圆圆心轨迹方程是 __________. 2 2 解析:设定圆(x+1) +y =16 的圆心为 C,动圆圆心为 P,则|PA|+|PC|=4. ∵P 点的轨迹为椭圆,且 a=2,c=1,b= 3, ∴动圆圆心轨迹方程为 + =1. 4 3 答案: + =1 4 3 10.已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16,求定点 A 的轨迹方程.

x2 y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2

解析:如图,建立直角坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6, 有|AB|+|AC|=10>|BC|=6, 即点 A 的轨迹是椭圆,且 2c=6,2a=10. 2 2 2 ∴c=3,a=5,b -a -c =25-9=16. 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形. ∴点 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16 → → → 11.已知 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足MN?MP=6|NP|,求动点 P 的轨迹方程. → → → → → 解析:设动点 P(x,y),MP=(x-4,y),MN=(-3,0),NP=(x-1,y),由MN?MP= 2 2 x y → 2 2 2 2 6|NP|,得-3(x-4)=6 (x-1) +y ,平方化简得 3x +4y =12,即 + =1. 4 3 ∴点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 ?体验高考 1.(2014?辽宁卷)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦 9 4 点 的 对 称 点 分 别 为 A , B , 线 段 MN 的 中 点 在 C 上 , 则 |AN| + |BN| = ________________________________________________________________________.

x2

y2

x2 y2

x2 y2

4

解析:(1)椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D,则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.

x2 y2

y2 2.(2014?安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 b 的 直 线 交 椭圆 E 与 A , B 两 点 , 若 |AF1| = 3|BF1| , AF2 ⊥ x 轴, 则 椭圆 E 的 方 程为
2

________________________________________________________________________. x=c ? ? ? ?x=c ?-5c,-1b2?, 2 解析:由? 2 y2 ,得? 2,设 A(c,b ),由|AF1|=3|BF1|,得 B? 3 ? ? 3 ? ?y=±b x + 2=1 ?

? ?

b

?-1b2? ? ? 2 5 ? ? 3 ? ? 2 2 ∴?- c? + =1,∴25c +b =9, b2 ? 3 ?
2 2 2 2 ∴25(1-b )+b =9,b = , 3 3 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2 3 2 2 答案:x + y =1 2 3.设椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1),O 为坐标原点,求椭圆 E 的 方程. 解析:将 M,N 的坐标代入椭圆 E 的方程得 4 2 2+ 2=1,

2

x2 y2 a b

? ?a b 解得 a =8,b =4. ?6 1 ?a +b =1, ?
2 2 2 2

所以,椭圆 E 的方程为 + =1. 8 4 4.在平面直角坐标系 x0y 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1(-1,0), 且 P(0,1)在 C1 上,求 C1 的方程. 解析:由题意得: b=1,c= a2-b2=1∴a= 2,b=c=1, 故椭圆 C1 的方程为: +y =1. 2 2 2 2 2 5.(2013?新课标全国卷Ⅰ)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P
5

x2 y2

x 2 y2 a b

x2

2

与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 解析:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2 =4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2,当且仅 当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q. |QP| R 则 = ,可求得 Q(-4,0),

x2 y2

QM

r1

所以可设 l:y=k(x+4). |3k| 由 l 与圆 M 相切得 =1, 2 1+k 解得 k=± 当 k= 2 . 4
2 2

2 2 x y 2 时,将 y= x+ 2代入 + =1,并整理得 7x +8x-8=0, 4 4 4 3

-4+6 2 -4-6 2 解得 x1= ,x2= . 7 7 18 2 所以|AB|= 1+k |x2-x1|= . 7 2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7 当 k=-

6


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