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黑龙江省大庆铁人中学2015-2016学年高一上学期期中考试 数学


2015-2016 学年度上学期高一期中考试
数学试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分 2015.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分)
* 1.设全集 U ? {x x ? 6且x ? N } ,集合 A ? {1,3} , B ? {3,5} ,则 CU ( A ? B) =(

/>
)

A. {1, 4}

B. {1 , 5 }

C. {2, 4}

D. {2,5}

2.设集合 M ? { x x ? 900 k ? 450 , k ? Z }N ? { x x ? 1800 k ? 450 , k ? Z },则 M、N 的 关系是( )

A.

M ?N

B.

M ?N

C. M


N

D. N

M

3.函数 y ?

ln ? x ? 1? 2? x

的定义域为 (

A. ?? ?,2?

B.

?? 1,2?

C. ?1,2?

D.


?2,???

4.函数 f ( x) ? ln( x ?1) ?

2 的零点所在的大致区间是( x

A. (0 , 1)

B. (1 , 2)

C. (2 , e)

D. (3 , 4)


5.下列函数中,既是偶函数又在 (0,??) 上单调递增的函数是(

A. y ? x 3

B. y ? 2 ?| x|

C. y ? ? x 2 ? 1

D. y ?| x | ?1

6.函数 y ? f ?x ? 的图象如图所示.观察图象可知函 数 y ? f ?x ? 的定义域、值域分别是( )

A. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,5? ;

B. ?? 5,6?, ?0,???

C. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,??? ; D. ?? 5,???, ?2,5?
?? 1 ? x ?? ? , ( x ? 4) 7.设函数 f ( x) ? ?? 2 ? 则 f (log2 3) ? ( ) ? f ( x ? 3), ( x ? 4) ? 23 1 1 1 A. ? B. C. D. 8 11 48 24 1 1 0.2 8. 设 a ? log 1 3 , b ? ( ) , c ? 2 3 ,则( ) 3 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

? ax, x ?1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 9.已知 f ( x) ? ? 对任意 x1 ? x 2 ,都有 ? 0 成立,那么 a 的 a ( 4 ? ) x ? 2 , x ? 1 x ? x 1 2 ? 2 ?
取值范围是( )

A. (1,??)

B. [4,8)

C. (4,8)

D. (1,8)
1 3

10.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, f ( x ) 在 ?0, ??? 上为增函数且 f ( ) ? 0 ,则 不等式 f (log 1 x) ? 0 的解集为(
8



1 1 1 A.( B. ( 2 ?? C. ( ,1) ? (2, ??) D. ( 0 0,) , ) ? (2 ?,? ) , ) 2 2 2 11.已知函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) ,若 f ( x1 ? x2 ? x3 ??x2015 ) ? 50 ,则
2 2 ) f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( x2015 ) 的值等于( A. 10 B. 100 C. 1000 D. 2015 1 x 1 x ?1 12. 若方程 ( ) ? ( ) ? a ? 0 有正实数解,则实数 a 的取值范围是( 4 2 A. (?3,0) B. (?3,?2) C. (??,?2) D. (??,1)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. 若函数 f ( x ? 1) 的定义域是 [?2, 4] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 14. 函数 y ? 4
1 x? 2



? 3 ? 2 x ? 5?0 ? x ? 2? 的值域是_________________. 1 15.已知函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? ax ? a) 在区间 (?? ,? ) 上是减函数,则 a 的取值范围 2 是 .
16.给出下列四个命题: 1 函数 f ( x) ? loga (2 x ? 1) ? 1 的图象过定点(1,0); ○ 2 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) , ○
2 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ;

(0, ) ? ( 2,?? ) ; 3 若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是 ○ 2 2
4 若 2? x ? 2 y ? ln x ? ln(? y ) ○ ( x ? 0 , y ? 0 ),则 x ? y ? 0 . .

1

1

其中所有正确命题的序号是 三、解答题 17(本题满分 10 分)
1 3 1 3

求值: (1)若 x ? 0 ,求 (2 x 4 ? 3 2 ) (2 x 4 ? 3 2 ) ? 4 x (2) lg 5(lg 8 ? lg1000 ) ? (lg 2
3

?

1 2

1

(x ? x 2 )

1 ) 2 ? lg ? lg 0.06 6

18(本题满分 12 分) 已知集合 A ? x y ?

?

x 2 ? 5 x ? 14 , B ? {x | y ? lg(? x 2 ? 7 x ? 12)} ,

?

C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .
(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

19(本题满分 12 分) 幂 函 数 y ? xm
m
2

?2m?3

?m ? N? ? 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 在 ?0,??? 上 是 减 函 数 . 求 满 足
m

?1 ? a ?? 3 ? ?3 ? 2a ?? 3 的实数 a 的取值范围.

20(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1? a ? 2x 是奇函数 2x ?1

(1)求实数 a 的值 (2)判断函数 f ( x) 在 R 上的单调性,并用定义加以证明

21(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1
2

(1)当 a =1 时,求函数在区间[-2,3]上的值域;

(2)函数 f ( x) 在 [?5,5] 上单调,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 在 [0,2] 上的最小值 g (a) 的解析式。

22(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln

x ?1 . x ?1

(1)求函数 f ( x) 的定义域,并判断函数 f ( x) 的奇偶性. (2)对于 x ? ?2,6? , f ( x) ? ln

x ?1 m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)

答案
一、 选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 C A C B D C D A B 答案 填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 10 D 11 B 12 A

二、 13 15

3? ?0,
1 5 [ , ] 2 2
1 1

; ;

14 16

1 [ ?1, ] 2
2 ○ 4 ○

; .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) (1)原式= (4 x 2 ? 3 ) ? 4 x 2 ? 4 = ?23
3

(2)原式= lg5(3lg 2 ? 3lg10) ? 3lg 2 ? lg 6 ? lg 6 ? 2
2

= 3lg 2 ? lg5 ? 3lg 2 ? 3lg5 ? 2 =1 18 (本题满分 12 分) B ? ( ?4 , ? 3 ) 解(1)? A ? (??, ?2] ? [7, ??)
2

? A ? B ? (? 4 ? , 3)

(2)? A ? C ? A,?C ? A

1 C ? ?, 2m ? 1 ? m ? 1, ? m ? 2 ○

?m ? 6 2 C ? ?, 则 ? 或? ○ 2m ? 1 ? ?2 m ?1 ? 7

? ?

m?2

? m?2 ?

综上, m ? (??, ?2) ? [6, ??) 19 (本题满分 12 分) (1)因为函数 y ? x m
2

?2m?3

?m ? N? ? 在(0,+∞)上是减函数,所以 m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,所以

2 所以 m ? 2m ? 3 是偶数, ?1 ? m ? 3, m ? N? .所以 m=1 或 2.又函数图象关于 y 轴对称,

所以 m=1. (2)不等式 ?1 ? a ?
? m 3

? ?3 ? 2a ?
1 3

?

m 3

即为 ?1 ? a ?

?

1 3

? ? 3 ? 2a ? 3 .
?

1

结合函数 y ? x

?

的图象和性质知:

a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a.解得 a ? ?1 或 即实数 a 的取值范围是 {a a ? ?1或 20(本题满分 12 分) 解:因为函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,? a ? ?1 定义法证明单调性(略)函数 f ( x ) 是 R 上的减函数。 21 (本题满分 12 分)

2 3 ?a? , 3 2

2 3 ? a ? }. 3 2

解:○ 1 因为函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 1 ,当 a =1 时 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2, x ?[?2,3] 考 虑 函 数

f ( x)









x ? ?1?[?2,3]

? fm i ( 1 fm a ( ? 17 n x) ? f (? 1 )? ? x x) ? f ( 3 )
2 ○

? 函 数

f ( x)



[?5,5]









? 函 数 的 对 称 轴

x ? ?a ?[?5,5] ? a ? (??, ?5] ? [5, ??)
2 3 (1)当 ? a ? 0 时,即 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1在区间[0,2]上是增函数, ○

故当 x=0 时,函数取得最小值是 f (0) ? a ? 1 (2)当 0 ? ? a ? 2 时,即 ?2 ? a ? 0 由于函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 1对称轴是 x=-a, 故当 x=-a 时,函数在区间[0,2]上取得最小值是 f (?a) ? a ? a ? 1 .
2

(3)当 ? a ? 2 时,即 a ? ?2 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1在区间[0,2]上是减函数,
2

故当 x=2 时,函数取得最小值是 f (2) ? 5a ? 5 .

a ? 1, a ? 0 ? ? 2 综上可得 g (a ) ? ?a ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ? 5a ? 5, a ? ?2 ?
22 (本题满分 12 分)

解: (1)? f ( x) ? ln

x ?1 x ?1 ? 0 解不等式可得其定义域 x ? (??, ?1) ? (1, ??) ,? x ?1 x ?1 ?x ?1 x ?1 x ?1 f (? x) ? ln ? ln ? ? ln ? ? f ( x) 故此函数是奇函数 ?x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 m (2)由 x∈[2,6]时, f ( x) ? ln 恒成立 ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x) x ?1 m ∴ >0∵x∈[2,6] ? x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x) ∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x∈[2,6]成立
令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3)2 ? 16, x ?[2,6] 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减, x∈[2,6]时, g ( x)min ? g (6) ? 7 . ∴ m ? (0,7) .


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