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上海市重点中学2014-2015学年高一上学期期末考试(数学)


上海市某重点高中 2014-2015 学年度第一学期 高一数学期终试卷
(满分 100 分, 90 分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上)

一.填空题: 1.命题“若 a>b,则 a 3 ? b3 ”的逆命题是 . .

2. 已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? a} , 且 A ?

B ? R, 则实数 a 的取值范围是 3.不等式 | 2 x ? 1 |? 2 的解为 . . . .

?1 x ? Q 4.设函数 D( x) ? ? ,令 F ( x) ? D( x ? 1) ,则 F ( D( x)) = ?0 x ? Q
5.设函数 f ( x) ?
( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则实数 a= x

6.若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的反函数的图像过点 (2,?1) ,则 a= 7.方程 lg( x 2 ? x ? 2) = lg(6 ? x ? x 2 ) 的解为 .

8. 若 函 数 y ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 区 间 ?- ?, 4? 上 单 调 递 减 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 9.函数 f ( x) ? .

x2 ? 2 x2 ? 2

( x ? R) 的最小值是



10.若函数 f ( x) ?

1 ? k 只有一个零点,则实数 k= | x | ?1



? ?? 2 ? a ? x ? 1, ? x ? 1? 11.已知 f ? x ? ? ? x ( a >0, a ? 1 )是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范 a , x ? 1 ? ? ? ? 围是 .
[来源:学科网 ZXXK]

12.若不等式 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是



13 .定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ,则当
x ? [?4 , ?2] 时,函数 f ( x) 的最小值为_______________.

14.已知函数 f ( x ) ?

1 的图像关于点 P 对称,则点 P 的坐标是 4 ? 2x



二.选择题: 15.下列函数中,与函数 y ? (A) f ( x) ? log2 x
1 有相同定义域的是 x
1 x

( (D) f ( x) ? 2x ( (D)4 (

)

(B) f ( x ) ?

(C) f ( x) ?| x |

1 1 16.幂函数 y ? f ( x) 的图像 经过点 ( 4, ) ,则 f ( ) 的值为 2 4

)

(A) 1

(B)2

(C)3

17. “ a ? 2 ”是函数 f ( x) ?| x ? a | 在 ?2, ? ? ? 上为增函数的 (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B )必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

)

18.定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c(d ? c) . 已知实数 a ? b ,则满足
1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 x ?a x ?b

(

)

(A)a-b

(B)a+b

(C)2

(D)4

三.解答题: 19.设函数 f ? x ? ? ln ? x 2 ? x ? 6 ? 的定义域为集合 A ,

? ? 5 集合 B ? ? x >1 ? . ? x ?1 ?
请你写出一个一元二次不等式,使它的解集为 A ? B ,并说明理由.

20.设 f(x)=

a ? 2x ?1 是 R 上的奇函数. 1? 2x

(1)求实数 a 的值;(2)判定 f(x)在 R 上的单调性并加以证明.

21.某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元,为了增加企业竞争力,决定优化 产业 结构,调整出 x 名员工从事第三产业 ,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利
(a ? 润为 10 3x (a ? 0) ) 万元 ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. 500

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总 利润,则 a 的取值范围是多少?
[来源:Zxxk.Com]

22.已知集合 M={f(x)|在定义域内存在实数 x 0 ,使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f( 成立}. 1 ) (1)函数 f ( x ) ?
1 是否属于集合 M?说明理由. x

(2)证明:函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 ? M . (3)设函数 f ( x) ? lg
a ? M ,求实数 a 的取值范围. 2 ?1
x

[来源:Z#xx#k.Com]

[来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网]

上海市某重点高中 2014-2015 学年度第一学期
高一数学期终试卷(参考答案) (满分 100 分, 90 分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上) 一.填空题(本大题共 14 题,每题 3 分,满分 42 分) : 1.命题“若 a>b,则 a ? b ”的逆命题是___________________。
3 3

解:若 a>b,则 a ? b 。
3 3

2.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? a} ,且 A ? B ? R, 则实数 a 的取值范围是_______。 解: a ? 1 。▋ 3.不等式 | 2 x ? 1 |? 2 的解为_____________。 解: ? - ?, - ??? , ? ? ? 。▋ 2 2

? ?

3? ?

?1 ?

? ?

4.设函数 D( x) ? ? 解:1。▋ 5.设函数 f ( x) ? 解:-1。▋

?1 x ? Q ,令 F ( x) ? D( x ? 1) ,则 F ( D( x)) =_____________。 ?0 x ? Q

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则实数 a=_____________。 x

6.若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的反函数的图像过点 (2,?1) ,则 a=_____________。
x

解:

1 。▋ 2

7.方程 lg( x 2 ? x ? 2) = lg(6 ? x ? x 2 ) 的解为_____________。 解:-2。▋ 8.若函数 y ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ?- ?, 4?上单调递减,则实数 a 的取值范围是______。
2

解: ?- ?, - 3? 。▋ 9.函数 f ( x) ? 解:4。▋ 10.若函数 f ( x) ? 解: ?1 。▋
1 ? k 只有一个零点,则实数 k ? _____________。 | x | ?1

x2 ? 2 x2 ? 2

( x ? R) 的最小值是_____________。

?(2 ? a) x ? 1 x ? 1 11.已知 f ( x) ? ? x ( a ? 0 , a ? 1 )是 R 上的增函数,那么 a 的取 值范围是_____________。 x ≥1 ?a

3 解: [ ,2) 。▋ 2
,2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是___________。 12.若不等式 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1

解: ( ??,2] 。▋ 13. 定义在 R 上 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) , 当 x ? [0 , 2] 时,f ( x) ? x 2 ? 2 x , 则当 x ? [?4 , ?2] 时,函数 f ( x) 的最小值为_____________。 解: -

1 。▋ 4
1 的图像关于点 P 对称,则点 P 的坐标是_____________。 4 ? 2x

14.已知函数 f ( x) ?

1 解: (2, ) 。▋ 8
二.选择题(本大题共 4 题,每题 3 分,满分 12 分) : 15.下列函数中,与函数 y ?

1 有相同定义域的是 x
1 x (C) f ( x) ?| x | (D) f ( x) ? 2 x
1 2 1 4

(

)

(A) f ( x) ? log2 x (B) f ( x ) ? 解:A。▋

16.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ( 4, ) ,则 f ( ) 的值为 (A) 1 (B)2(C)3(D)4 解:B。▋ 17.“ a ? 2 ”是函数 f ( x) ?| x ? a | 在 ?2, ? ? ? 上为增函数的 (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件 解:A。▋

(

)

(

)

18 .定义区间 (c,d ) , [c,d ) , (c,d ] , [c,d ] ( c ? d )的长度均为 d ? c 。已知实数 b ? a ,则满足

1 1 ? ≥1 的 x 构成的区间的长度之和为 x ?a x ?b
(A) a ? b 解:C。▋ 三.解答题(本大题共 4 题,满分 46 分): (B) a ? b (C)2 (D)4

(

)

19.(本题 10 分)设函数 f

? x ? ? ln ? x 2 ? x ? 6 ? 的定义域为集合 A ,集合 B ? ? x
?

?

? 5 > 1 ? .请 x ?1 ?

你写出一个一元二次不等式,使它的解集为 A ? B ,并说明理由. 解:由 x ? x ? 6 ? 0 得 A ? ?? ?,?2? ? ?3,??? ,……………………………………2 分
2

又由

5 5 x-4 ? 1 ,1 ? 0, ? 0, x ?1 x ?1 x ?1

?x ? 1??x ? 4? ? 0 ,得 B ? ??1,4? ,……………………………………5 分
所以, A ? B ? ?3,4? ,……………………………………7 分 所以,不等式 x ? 7 x ? 12 ? 0 的解集为 A ? B .(答案不唯一)………………10 分
2

20.(本题 10 分,第(1)小题,5 分,第(2)小题 5 分) 设 f(x)=

a ? 2x ?1 是 R 上的奇函数. 1? 2x

(1)求实数 a 的值;(2)判定 f(x)在 R 上的单调性并加以证明。 解: (1)因为 f ( x) 是奇函数,

a ? 2- x ? 1 a ? 2x ?1 ? 所以 f (- x) ? f ( x) ,即 ,……… ……………………………2 分 1 ? 2- x 1? 2x a - 2x a ? 2x ?1 ? , 2x ?1 1? 2x
a ? 2 x ? ?a ? 2 x ? 1, a(2x ? 1) ? 2x ? 1 ,所以 a ? 1 .……………………………5 分

2x ?1 (2)f(x)= , 1? 2x
设任意 x1 ? x2 ,

f(x1)-f(x2)=

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 …………………………6 分 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

2(2 x1 ? 2 x2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) = ? ? 0 .……………………9 分 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
所以,f(x1)<f(x2),函数 f(x)在 R 上的单调递增.…………………………10 分 22.(本题 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10

万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出 x 名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的

(a ? 员工平均每人每年创造利润为 10
0.2x%.

3x (a ? 0) ) 万元 ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 500

(3)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员 工从事第三产业? (4)在(1)的条件下,若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则 a 的 取值范围是多少? 解: (1)由题意得 10(1000? x)(1 ? 0.2 x%) ? 10?1000…………………………2 分,
2 即 x ? 500x ? 0 ,解得 0 ? x ? 500 ,又 x ? 0 ,所以, 0 ? x ? 500 ,…………4 分

即最多调整出 500 名员工从事第三产业.…………………………5 分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a ?

3x ) x 万元,从事原来产业的员工的年总利润为 500

10(1000? x)(1 ? 0.2 x%) .
则 10(a ?

3x ) x ? 10(1000? x)(1 ? 0.2 x%) ,…………………………8 分 500

ax ?

3x 2 x2 2x2 ? 1000? x , ax ? 1000? x ? , 500 500 500
2 x 1000 ? ? 1 恒成立,…………………………10 分 500 x

即a ?

因为

2 x 1000 2 x 1000 ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 5, 500 x 500 x
2 x 1000 ? ,即 x ? 500 时,等号成立. 500 x

当且仅当

所以, 0 ? a ? 5 ,即 a 的取值范围是 ?0, 5? .…………………………12 分 23.(本题 14 分)已知集合 M={f(x)|在定义域内存在实数 x 0 ,使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f( 成立}. 1 ) (4)函数 f ( x ) ?

1 是否属于集合 M?说明理由. x
x 2

(5)证明:函数 f ( x) ? 2 ? x ? M . (6)设函数 f ( x) ? lg

a ? M ,求实数 a 的取值范围. 2 ?1
x

解: (1)假设 f ( x) ? M ,则存在 x0 ,使得

1 1 1 ? ? , ………………2 分 x0 ? 1 x0 1

2 即 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,而此方程的判别式 ? ? 1 ? 4 ? ?3 ? 0 ,方程无实数解,

所以, f ( x) ? M 。………………4 分 (2)令 h( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) ,
2 则 h( x) ? 2 x?1 ? ,………………………7 分 (x ? 1 ) - 2 x ? x 2 ? 2 ?1 ? ( 2 2x?1 ? x ?1 )

又 h(0) ? ?1, h(1) ? 2, 故 h(0) ? h(1) ? 0 , 所以 h( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) ? 0 在上有实数解 x0 , 也即存在实 数 x0 , 使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立, 所以, f ( x) ? 2 x ? x 2 ? M 。………………………9 分

a ?M , 2 ?1 a a a 所以存在实数 x0 ,使得 lg x ?1 = lg x + lg ,…………………11 分 0 0 3 2 ?1 2 ?1
(3)因为函数 f ( x) ? lg
x

a a 3(2 x0 ? 1) 3(2 x0 ? 1) ? ,所以, a ? x0 ?1 ? = , 2 x0 ?1 ? 1 2 x0 ? 1 3 2 ? 1 2 ? 2 x0 ? 1 a
令 t ? 2 0 ,则 t>0,所以, a ?
x

3(t ? 1) 3 3 ? ? , 2t ? 1 2 ( 2 2t ? 1)

由 t>0 得

3 ?3 ? ? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 ? ,3 ? .……………………14 分 2 ?2 ?


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