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高中数学新人教A版选修2-2同步练习:2.1.2 演绎推理


选修 2-2
一、选择题

2.1.2 演绎推理
)

1.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前提是( A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B

/>[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形.故应选 B. 2.“①一个错误的推理或者前提不成立,或者推理形式不正确,②这个错误的推理不是前提不成立, ③所以这个错误的推理是推理形式不正确.”上述三段论是( A.大前提错 B.小前提错 C.结论错 D.正确的 [答案] D [解析] 前提正确,推理形式及结论都正确.故应选 D. 3. 《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不 兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( A.类比推理 B.归纳推理 C.演绎推理 D.一次三段论 [答案] C [解析] 推理形式. 1 1 4.“因对数函数 y=logax(x>0)是增函数(大前提),而 y=log x 是对数函数(小前提),所以 y=log x 3 3 是增函数(结论)”.上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A ) 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎 ) )

[解析] 对数函数 y=logax 不是增函数,只有当 a>1 时,才是增函数,所以大前提是错误的. 5.推理:“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是 ( ) A.① B.② C.③ D.①② [答案] B [解析] 由①②③的关系知,小前提应为“三角形不是平行四边形”.故应选 B. 6.三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘 船是准时起航的”中的小前提是( A.① B.② C.①② D.③ [答案] B [解析] 易知应为②.故应选 B. 7.“10 是 5 的倍数,15 是 5 的倍数,所以 15 是 10 的倍数”上述推理( A.大前提错 B.小前提错 C.推论过程错 D.正确 [答案] C [解析] 大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.故应选 C. 8.凡自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数,以上三段论推理( A.正确 B.推理形式正确 C.两个自然数概念不一致 D.两个整数概念不一致 [答案] A [解析] 三段论的推理是正确的.故应选 A. 9.在三段论中,M,P,S 的包含关系可表示为( ) ) ) )

[答案] A [解析] 如果概念 P 包含了概念 M,则 P 必包含了 M 中的任一概念 S,这时三者的包含可表示为



如果概念 P 排斥了概念 M, 则必排斥 M 中的任一概念 S, 这时三者的关系应为 应选 A.

. 故

10.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理 错误的原因是( )

A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错误. 二、填空题 11.求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是 a有意义时,a≥0, 小前提是 log2x-2 有意义,结论是________. [答案] log2x-2≥0 [解析] 由三段论方法知应为 log2x-2≥0. 12.以下推理过程省略的大前提为:________. ∵a +b ≥2ab, ∴2(a +b )≥a +b +2ab. [答案] 若 a≥b,则 a+c≥b+c [解析] 由小前提和结论可知, 是在小前提的两边同时加上了 a +b , 故大前提为: 若 a≥b, 则 a+c≥b
2 2 2 2 2 2 2 2

+c. 1 13.(2010·重庆理,15)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 4

f(2010)=________.
[答案] 1 2

[解析] 令 y=1 得 4f(x)·f(1)=f(x+1)+f(x-1) 即 f(x)=f(x+1)+f(x-1) ①

令 x 取 x+1 则 f(x+1)=f(x+2)+f(x) ② 由①②得 f(x)=f(x+2)+f(x)+f(x-1), 即 f(x-1)=-f(x+2) ∴f(x)=-f(x+3),∴f(x+3)=-f(x+6) ∴f(x)=f(x+6) 即 f(x)周期为 6, ∴f(2010)=f(6×335+0)=f(0) 对 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令 x=1,y=0,得 4f(1)f(0)=2f(1), 1 1 ∴f(0)= 即 f(2010)= . 2 2 14.四棱锥 P-ABCD 中,O 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满足条件________时,VP-AOB 恒为定值(写出一 个你认为正确的一个条件即可). [答案] 四边形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 1 [解析] 设 h 为 P 到面 ABCD 的距离,VP-AOB= S△AOB·h, 3

1 又 S△AOB= |AB|d(d 为 O 到直线 AB 的距离). 2 因为 h、|AB|均为定值,所以 VP-AOB 恒为定值时,只有 d 也为定值,这是一个开放型问题,答案为四边 形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等. 三、解答题 15.用三段论形式证明:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,则∠B=∠C.

[证明] 如下图延长 AB,DC 交于点 M.

①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中 AD∥BC 小前提 ③

MB MC = 结论 BA CD

①等量代换大前提 ②AB=CD 小前提 ③MB=MC 结论 在三角形中等边对等角大前提

MB=MC 小前提
∠1=∠MBC=∠MCB=∠2 结论 等量代换大前提 ∠B=π -∠1 ∠C=π -∠2 小前提 ∠B=∠C 结论 16.用三段论形式证明:f(x)=x +x(x∈R)为奇函数. [证明] 若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数 大前提 ∵f(-x)=(-x) +(-x)=-x -x=-(x +x)=-f(x)小前提 ∴f(x)=x +x 是奇函数结论 17.用三段论写出求解下题的主要解答过程. 若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),求实数 a 的值. [解析] 推理的第一个关键环节: 大前提:如果不等式 f(x)<0 的解集为(m,n),且 f(m)、f(n)有意义,则 m、n 是方程 f(x)=0 的实数 根, 小前提:不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),且 x=-1 与 x=2 都使表达式|ax+2|-6 有意义, 结论:-1 和 2 是方程|ax+2|-6=0 的根. ∴|-a+2|-6=0 与|2a+2|-6=0 同时成立. 推理的第二个关键环节: 大前提:如果|x|=a,a>0,那么 x=±a, 小前提:|-a+2|=6 且|2a+2|=6,
3 3 3 3 3

结论:-a+2=±6 且 2a+2=±6. 以下可得出结论 a=-4. 18.设 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. [解析] (1)F∈l?|FA|=|FB|?A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意,y1,y2 不同时为 0. ∴上述条件等价于
2 y1=y2?x2 1=x2?(x1+x2)(x1-x2)=0. 2

∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0,即当且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的焦点 F. 1 (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b;过点 A、B 的直线方程为 y=- x+m, 2 1 1 2 所以 x1,x2 满足方程 2x + x-m=0,得 x1+x2=- . 2 4

A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 Δ = +8m>0,即 m>- .设 AB 的中点 N 的坐标
为(x0,y0),则

1 4

1 32

x0= (x1+x2)=- , y0=- x0+m= +m.
1 1 由 N∈l,得 +m=- +b,于是 16 4 1 2 1 16

1 2

1 8

b= +m> - = .
即得 l 在 y 轴上截距的取值范围是?

5 16

5 16

1 9 32 32

? 9 ,+∞?. ? ?32 ?


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