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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质(含解析)新人教A版


第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题 1.若直线 m?平面 α ,则条件甲:“直线 l∥α ”是条件乙:“l∥m”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D 2.若直线 a∥直线 b,且 a∥平面 α ,则 b 与 α 的位置关系是( A.一定平行 C.平行或相交 B.不平行 D.平行或在平面内 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



解析 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为 D. 答案 D 3.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置 关系是 ( A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 解析 ). B.l⊥α D.l∥α 或 l?α

l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等;l?α 时,直线 l 上所有的点到 α 的

距离都是 0;l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交时,也只能有两个点 到 α 距离相等. 答案 D 4.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一 个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β ( ). B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1∥m 可 得 l1∥α,同理可得 l2∥α 故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不一定能得到 l1∥m,它 们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是 必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符合题意,综 上选 B. 答案 B 5.已知 α1,α2,α3 是三个相互平行的平面,平面 α1,α2 之间的距离为 d1,平面 α2,α3 之间 的距离为 d2.直线 l 与 α1, α2, α3 分别相交于 P1, P2, P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2” 的 ( ). B.必要不充分条件
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A.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 如图所示,由于 α2∥α3,同时被第三个平面 P1P3N 所截,故有 P2M∥P3N.再根据 平行线截线段成比例易知选 C. 答案 C 6.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ).

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析 对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平面 MNP,对 于图形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP,图形②、③都不可以,故选 C. 答案 C 二、填空题 7.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条. 解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的 中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案 6 8.α、β、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥ β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ,且________,则 a∥b”为真命题,则可以 在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上). 解析 ①中,a∥γ,a?β,b?β,β∩γ=b?a∥b(线面平行的性质).③中,b∥β,b?γ, a?γ,β∩γ=a?a∥b(线面平行的性质). 答案 ①③ 9.若 m、n 为两条不重合的直线,α 、β 为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序 号是________.
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①若 m、n 都平行于平面 α ,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α ,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α 、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α ,则 n∥β ; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 解析 ①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,故是假 命题,在④中,m、n 也可能异面,故为假命题. 答案 ② 10.对于平面 α 与平面 β,有下列条件:①α、β 都垂直于平面 γ;②α、β 都平行于平面 γ; ③α 内不共线的三点到 β 的距离相等;④l,m 为两条平行直线,且 l∥α,m∥β;⑤l,m 是异面直线,且 l∥α,m∥α;l∥β,m∥β,则可判定平面 α 与平面 β 平行的条件是 ________(填正确结论的序号). 解析 由面面平行的判定定理及性质定理知,只有②⑤能判定 α∥β. 答案 ②⑤ 三、解答题 11. 如图,在四面体 A-BCD 中,F、E、H 分别是 棱 AB、BD、AC 的中点,G 为 DE 的中点.证明: 直线 HG∥平面 CEF. 证明 法一 如图,连接 BH,BH 与 CF 交于 K, 连接 EK. ∵F、H 分别是 AB、AC 的中点, ∴K 是△ABC 的重心, BK 2 ∴ = . BH 3 BE 2 又据题设条件知, = , BG 3 BK BE ∴ = ,∴EK∥GH. BH BG ∵EK?平面 CEF,GH?平面 CEF, ∴直线 HG∥平面 CEF. 法二 如图,取 CD 的中点 N,连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点,∴GN∥CE. ∵CE?平面 CEF,GN?平面 CEF,∴GN∥平面 CEF. 连接 FH,EN ∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点,

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1 1 ∴FH 綉 BC,EN 綉 BC,∴FH 綉 EN, 2 2 ∴四边形 FHNE 为平行四边形,∴HN∥EF. ∵EF?平面 CEF,HN?平面 CEF, ∴HN∥平面 CEF.HN∩GN=N, ∴平面 GHN∥平面 CEF. ∵GH?平面 GHN,∴直线 HG∥平面 CEF. 12. 如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1 =B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 证明 (1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,

∴BG 綉 A1E,∴A1G 綉 BE. 又同理,C1F 綉 B1G,∴四边形 C1FGB1 是平行四边形, ∴FG 綉 C1B1 綉 D1A1,∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綉 D1F,∴D1F 綉 EB, 故 E、B、F、D1 四点共面. 3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H= . 2 B 1G 2 又 B1G=1,∴ = . B1H 3 FC 2 又 = ,且∠FCB=∠GB1H=90° , BC 3 ∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG, ∴HG∥FB. 又由(1)知 A1G∥BE,且 HG∩A1G=G, FB∩BE=B,∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 13.一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中 M、N 分 别是 AF、BC 的中点).

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(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积. π 解 由三视图可知:AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2,∠CBF= . 2 (1)证明:取 BF 的中点 G,连接 MG、NG,由 M、N 分别 为 AF、BC 的中点可得,NG∥CF,MG∥EF, ∴平面 MNG∥平面 CDEF, 又 MN?平面 MNG, ∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H. ∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 平面 ADE∩平面 CDEF=DE. ∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高, 以矩形 CDEF 为底面的棱锥, 在△ADE 中, AH= 2.S
矩形 CDEF

=DE· EF=4 2,

1 1 8 ∴棱锥 A-CDEF 的体积为 V= · S · AH= ×4 2× 2= . 3 矩形 CDEF 3 3 14.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE= EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上 确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE. (1)证明 ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,

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∴BC⊥平面 ABE, 又 AE?平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,AE?平面 ABE, ∴AE⊥BF, 又 BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)解 在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点, 在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交

1 EC 于 N 点,连接 MN,则由比例关系易得 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE. 又∵GN∩MG=G,∴平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN?平面 MGN, ∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.

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