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2014年北京市海淀区高三一模试题(理数)


海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (理科) 2014.4
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.已知

集合 A ? ?1, 2, ? , 集合B ? y y ? x 2 , x ? A , 则A

? ?

1? 2?

?

?

B?

A. ? ?

?1 ? ?2?

B. ? 2?

C. ? 1?

D. ?

2.复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0, 2) C. ?0,1? D. (2,0)

3.下列函数 f ( x ) 图象中,满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是

1 4

y

y

y

y

O

x
O x O 1 x
O x

A 4.已知直线 l 的参数方程为 ? A. x ? y ? 2 ? 0

B

C

D

? x ? 1 ? t, ( t 为参数),则直线 l 的普通方程为 ? y ? ?1 ? t
C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

5.在数列 ?an ?中,“ an ? 2an?1 , n ? 2,3, 4, A.充分不必要条件 C.充要条件

”是“ ?an ?是公比为 2 的等比数列”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相 邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种

7.某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动, 在 11 日当天购物还可以再享受 “每 张订单金额 (6 折后) 满 300 元时可减免 100 元” .某人在 11 日当天欲购入原价 48 元 (单价) 的商品共 42 件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.4

1 相交且交点恰 x 为线段 AB 的中点, 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.记曲线 G 关于曲线 M 的关
8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 M : y ? 联点的个数为 a ,则 A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______.

10. 函数 y ? x ? x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.
主视图
侧视图

俯视图

11.如图, AB 切圆 O 于 B , AB ? 3 , AC ? 1 ,则 AO 的长为_______.
C

A

O
2 2 12. 已知圆 x ? y ? mx ?

B

1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切,则 m ? _______. 4
A

13.如图, 已知 ?ABC 中,?BAD ? 30 ,?CAD ? 45 ,AB ? 3, AC ? 2 , 则

BD ? _____________. DC
B D

C

14.已知向量序列: a1 , a2 , a3 ,

, an ,

满足如下条件: ). 中第_____项最小.

| a1 |? 4 | d |? 2 , 2a1 ? d ? ?1 且 an ? an?1 ? d ( n ? 2,3, 4,
若 a1 ? ak ? 0 ,则 k ? ________; | a1 |,| a2 |,| a3 |,

,| an |,

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的斜率记为 6 6

g (t ) .
(Ⅰ)求 g (0) 的值;

3 3 (II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2

16. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同, 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中 随机抽取 10 天的数据,制表如下:
甲公司某员工 A 乙公司某员工 B

3

9

6

5

8

3

3 0

2 1

3 4

4 4

6 2

6 2

6 2

7

7

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得 的劳务费记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. (本小题满分14分) 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30° ,∠ABC=90° ,D为AC中点, AE ? BD 于 E ,延长 AE交BC于F,将 ? ABD沿BD折起,使平面ABD ? 平面BCD,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD; (Ⅱ)求二面角 A–DC –B 的余弦值. (Ⅲ)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若 不存在,请说明理由. A

A

D B E F
图 1

C B

E F

D C

图 2

18. (本小题满分13分) 已知曲线 C : y ? eax . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知 A, B 是椭圆 C : 2 x2 ? 3 y 2 ? 9 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 两点关于 x 轴对称,且 ?MAB 为等边三角形时,求 AB 的长; (Ⅱ)当 A, B 两点不关于 x 轴对称时,证明: ?MAB 不可能为等边三角形.

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中, 对于任意相邻三点都不共线的有序整点列 (整点即横纵坐标都是 整数的点) A(n) : A1 , A2 , A3 , , An 与 B (n) : B1 , B2 , B3 , , Bn ,其中 n ? 3 ,若同时满足: ①两点列的起点和终点分别相同;②线段 Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ,其中 i ? 1, 2,3, 则称 A(n) 与 B (n) 互为正交点列. (Ⅰ)求 A(3) : A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列 B (3) ; (Ⅱ) 判断 A(4) :A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 是否存在正交点列 B (4) ?并说明理由; (Ⅲ) ?n ? 5,n ? N,是否都存在无正交点列的有序整点列 A(n) ?并证明你的结论.

, n ?1 ,

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数 学 (理科) 2014.4

阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 96 分) 10.

1 6

11. 2

12.

3 4

13.

3 2 4

14. 9;3 (本题第一空 3 分,第二空 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

π x 3

---------------------------2 分

g (0) ?

f (1) ? f (0) 1
π 3 . ? sin 0 ? 3 2

------------------------------3 分

? sin
分 (Ⅱ) g (t ) ?

-------------------------------5

f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t t ?1? t 3 3 3

------------------------------6 分

? sin

?

π ? π π t cos ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3 3

------------------------------7 分

1 π 3 π ? ? sin t ? cos t 2 3 2 3

------------------------------8 分

π π ? ? sin( t ? ) 3 3
分 因为 t ? [ ?

------------------------------10

3 3 π π 5π π , ] ,所以 t ? ? [? , ] , 2 2 3 3 6 6

------------------------------11 分

所以 分

? π 1 sin(t? ? ) ?[ 1, , ] 3 3 2

-----------------------------12

1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ? ,1] 2 2 2
分 16.解: (Ⅰ)甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. 分 (Ⅱ)设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则

-----------------------------13

--------------------------------2

当 a =34 时, X =136 元,当 a >35 时, X ? 35 ? 4 ? (a ? 35) ? 7 元,

X 的可能取值为 136,147,154,189,203

-------------------------------4

分 {说明:X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止}

X 的分布列为: X
136 147 154 189 203

P

1 10

3 10

2 10

3 10

1 10

--------------------------------------9 分 {说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

E ( X ) ? 136 ?

1 3 2 3 1 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10
--------------------------------------11

=

1655 =165.5(元) 10

分 (Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月 收 入 4965 元 . ------------------------------------13 分 17. (Ⅰ)因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD , 又在 ?ABD 中, AE ? BD 于 E , AE ? 平面 ABD 所以 AE ? 平面 BCD . --------------------------------------3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF . 由题意可知 EF ? BD ,又 AE ? BD . 如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 EF , ED, EA 所在直线 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz
B D Fx y C z

A1

E

--------------------------4 分 不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ,则 BE ? ED ? 1 . 由图 1 条件计算得, AE ? 3 , BC ? 2 3 , BF ?

3 3

则 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F (

3 , 0, 0), C ( 3, 2, 0) -------5 分 3

DC ? ( 3,1,0), AD ? (0,1, ? 3) .
由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . -----------------------------------6 分 设平面 ADC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ?n ? DC ? 0, ? ? ? n ? AD ? 0.

? ? 3x ? y ? 0, 即? ? ? y ? 3 z ? 0.

令 z ? 1 ,则 y ? 3, x ? 1,所以 n ? (1, 3, ?1) .------------------------------------8 分 平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos ? n, EA ??

EA ? n 5 , ?? 5 | EA | ? | n |
5 5
------------------------------9 分

所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为 (Ⅲ)设 AM ? ? AF ,其中 ? ? [0,1] . 由于 AF ? (

3 , 0, ? 3) , 3 3 ,0, ? 3) ,其中 ? ? [0,1] 3
--------------------------10 分

所以 AM ? ? AF ? ? (

所以 EM ? EA ? AM ? ?

? 3 ? ? , 0, (1 ? ? ) 3 ? ? 3 ? ? ?

--------------------------11 分

由 EM ? n ? 0 ,即

3 ? -(1-?) 3 ? 0 3

---------------------------12 分

解得 ? =

3 ? (0,1) . 4

-----------------------------13 分

所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM∥平面ADC ,且 18.解 (Ⅰ) y? ? ae ,
ax

AM 3 ? .-------------14 分 AF 4

-----------------------------------2 分

因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m , 所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 . 解得 m ? 1 , a ? 2 (Ⅱ)法 1: ----------------------------------4 分 -----------------------------------5 分

对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b , 即?x, a ?R, eax ? ax ? b ? 0 恒成立, 令 g ( x) ? e ? ax ? b ,
ax

--------------------------------------6 分 ----------------------------------------7 分

①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; ②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ?1) ,
ax

----------------------------------------8 分

由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 , g '( x), g ( x) 的情况如下:

----------------------------------------9 分

x
g '( x ) g ( x)

(-?, 0)
?

0 0 极小值

(0,+?)
+ -----------------------------------------11 分

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; 综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 .

-------------------------------------------12 分

--------------------------------------13 分

法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于
ax ?x, a ? R ,都有 e ? ax ? b ,即 ax ?x, a ?R, b ? e ? ax 恒成立,

-------------------------------------------6 分

t 令 t ? ax ,则等价于? t ? R , b ? e ? t 恒成立,

令 g (t ) ? e ? t ,则 g ?(t ) ? e ? 1,
t t

-----------------------------------------7 分 ----------------------------------------9 分

由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 , g '(t ), g (t ) 的情况如下:

t
g '(t ) g (t )

(-?, 0)
?

0 0 极小值

(0,+?)
+ -----------------------------------------11 分

所以 g (t ) ? e ? t 的最小值为 g (0) ? 1 ,
t

------------------------------------------12 分 --------------------------------------------13 分

实数 b 的取值范围是 b ? 1 . 19.解: (Ⅰ) 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 因为 ? ABM 为等边三角形,所以 | y0 |? 又点 A( x0 , y0 ) 在椭圆上,

---------------------------------------1 分

3 | x0 ? 1| . ---------------------------------2 分 3

? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? 所以 ? 消去 y0 , 3 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 0 ? 0

-----------------------------------------3 分

得到 3x02 ? 2x0 ? 8 ? 0 ,解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?

4 ,----------------------------------4 分 3

当 x0 ? 2 时, | AB |?

2 3 ; 3
-----------------------------------------5 分

当 x0 ? ?

4 14 3 时, | AB |? . 3 9

{说明:若少一种情况扣 2 分} (Ⅱ)法 1:根据题意可知,直线 AB 斜率存在. 设直线 AB : y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 2 2 2 联立 ? 消去 y 得 (2 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 9 ? 0 , ------------------6 ? y ? kx ? m
分 由 ? ? 0 得到 分

2m2 ? 9k 2 ? 6 ? 0



----------------------------7

所以 x1 ? x2 ? ?

6km , 2 ? 3k 2 4m , 2 ? 3k 2
----------------------------8

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ?
分 所以 N (?

3km 2m , ) ,又 M (1, 0) 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2
--------------------------9

如果 ? ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , 分

2m 2 所以 kMN ? k ? ?1, 即 2 ? 3k ? k ? ?1 , 3km ? ?1 2 ? 3k 2
分 化 简

------------------------------10

3k 2 ?

2?k



m?0



------------------------------11 分 由②得 m ? ?

3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2) 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 , ,代入① 得 2 2 k k
-------------------------------------13

化简得 分

3k 2 ? 4? 0 , 不成立,

{此步化简成 故 14 分

9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 (3k 2 ? 2)(3k 2 ? 4) ? 0 都给分} k2
不 能 为 等 边 三 角 形 . -------------------------------------

?ABM

法 2:设 A( x1 , y1 ) ,则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ,且 x1 ? [?3,3] , 所以 | MA |? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ? 分 设 B( x2 , y2 ) ,同理可得 | MB |? 分

2 2 1 x1 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 , ----------------8 3 3

1 ( x2 ? 3) 2 ? 1 ,且 x2 ?[?3,3] 3

-----------------9

因为 y ?

1 ( x ? 3) 2 ? 1 在 [?3,3] 上单调 3
---------------------------------11

所以,有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | , 分 因为 A, B 不关于 x 轴对称,所以 x1 ? x2 . 所以 | MA |?| MB | , 分 所以 ? ABM 不可能为等边三角形. 分 20.解:

---------------------------------13

---------------------------------14

(Ⅰ)设点列 A 1 (0,2), A 2 (3,0), A 3(5,2) 的正交点列是 B1 , B2 , B3 , 由正交点列的定义可知 B1 (0, 2), B3 (5, 2) ,设 B2 ( x, y) ,

A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2,2) , B1B2 ? ( x, y ? 2), B2 B3 ? (5 ? x,2 ? y) ,
由正交点列的定义可知 A 1A 2 ?B 1B2 ? 0 , A 2A 3 ? B2 B3 ? 0 , 即?

?3x ? 2( y ? 2) ? 0, ?x ? 2 , 解得 ? ?2(5 ? x) ? 2(2 ? y) ? 0 ?y ? 5

所以点列 A 的正交点列是 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) .------3 A3 (5, 2) 1 (0, 2),A 2 (3, 0), 分 (Ⅱ)由题可得 A A3 A4 ? (3,1) , 1A 2 ? (3,1), A 2A 3 ? (3, ?1), 设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列, 则可设 B1B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3), B3 B4 ? ?3 (?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 因为 A 1与B 1 , A4与B4 相同,所以有

? ?-?1 +?2 -?3 =9 , (1) ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 . (2)
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程(2)显然不成立, 所以有序整点列 A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列;---------------8 分

(Ⅲ) ?n ? 5,n ? N ,都存在整点列 A(n) 无正交点列.

-------------------------9 分

?n ? 5,n ? N ,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3
若有序整点列 B1 , B2 , B3 ,

, n ?1

Bn 是点列 A1 , A2 , A3 ,

An 正交点列,

则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1,2,3,
n ?1 ? n ?1 ? ? b ? ?? i i ? ai , (1) ? i =1 i ?1 ? n ?1 n ?1 ? ? a ? b . (2) ? ii ? i ? i ?1 ? i =1

, n ?1 ,

则有

①当 n 为偶数时,取 A1 (0,0), ai =3,bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,

?1, i为奇数 , i ? 1, 2,3, ?-1,i为偶数

, n ?1 .

Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1, 2,3,

, n ?1.

等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A 1, A 2, A 3, ②当 n 为奇数时, 取 A1 (0,0), a1 =3, b1 ? 2 , ai =3,bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,

An 无正交点列;

?1, i为奇数 , i ? 2,3, ?-1,i为偶数

, n ?1 ,
, n ?1.

Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1, 2,3,

等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A 1, A 2, A 3,

An 无正交点列.

综上所述, ?n ? 5,n ? N ,都不存在无正交点列的有序整数点列 A(n) ----------13 分


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