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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理(山东卷,解析版1)


2013 年山东高考数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( D ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i

(2)设集合 A={0,1,2},则集合 B={x

-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( A. 1 B. 3 C. 5 D.9

C)

1 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ x ,则 f(-1)= (
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

A

)

9 (4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 4 ,底面积是边长为
三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B )

3 的正

5? (A) 12

? (B) 3

? (C) 4

? (D) 6

-1-

? ? (5)将函数 y=sin(2x + )的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图
像,则

? 的一个可能取值为

B

3? (A) 4

? (B) 4

?
(C)0 (D)

?
4

(6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组: 点,则直线 OM 斜率的最小值为

?2x ? y ? 2 ? 0 ? ? x ? 2y ? 1 ? 0 ? 3x ? y ? 8 ? 0 ?
C

,所表示的区域上一动

?
(A)2 (B)1 (C)

1 3

?
(D)

1 2

(7)给定两个命题 p、q,若﹁p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是﹁q 的 (A)充分而不必条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

B

-2-

(8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为

D

(A)

(B)

(C)

(D)

(9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为 A (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0

(10)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A)243 (B)252 (C)261 (D)279

B

1 x2 ? y2 ? 1 (11)抛物线 C1:y= 2 p x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 的右焦点的连线交
C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= D

-3-

2 1 2 xy ? ? z 取得最大值时, x y z 的最 (12)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当
大值



B

(A)0

(B)1

9 (C) 4

(D)3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 (13)执行右面的程序框图,若输入的 ? 的值为 0.25,则输入的 n 的值为

3

(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概率为

1 3
-4-

??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB 与 AC 的夹角为 120 ,且 | AB |? 3,| AC |? 2, 若 (15)已知向量

??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AP ? ? AB ? AC, 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为

7 12

? 0, 0 ? x ? 1 ln ? x ? ? x ? 1 ,现有四个命题: ?ln x, (16)定义“正对数” :
①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (a ) ? b ln a
b ? ?

②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (ab) ? ln a ? ln b

?

?

?

a ln ? ( ) ? ln ? a ? ln ? b b ③若 a ? 0, b ? 0 ,则
④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (a ? b) ? ln a ? ln b ? ln 2 其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号)
? ? ?

-5-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.

7 (17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= 9 .
(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值.

7 14 a 2 ? c 2 ? 4 ? ac 9 解答: (1)由 cosB= 9 与余弦定理得, ,又 a+c=6,解得 a ? c ? 3

sin B ?
(2)又 a=3,b=2,

4 2 9 与正弦定理可得,

sin A ?

1 2 2 cos A ? 3, 3 ,

10 2 所以 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 27

(18) (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的 中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解答: (1)因为 C、D 为中点,所以 CD//AB 同理:EF//AB,所以 EF//CD,EF ? 平面 EFQ, 所以 CD//平面 EFQ,又 CD ? 平面 PCD,所以 CD//GH,又 AB//CD,所以 AB//GH. (2)由 AQ=2BD,D 为 AQ 的中点可得,△ABQ 为直角三角形,以 B 为坐标原点,以 BA、BC、BP

?? n1 ? (0,2,1) , 为 x、 z 轴建立空间直角坐标系, AB=BP=BQ=2, y、 设 可得平面 GCD 的一个法向量为
4 4 ?? ? cos ? ? ? n ? (0,1, 2) ,可得 5 5 5 ,所以二面角 D-GH-E 的余弦 平面 EFG 的一个法向量为 2
4 值为 5 ?
-6-

(19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局

1 2 甲队获胜的概率是 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 3 .假设每局比赛结果互相独立.
(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望.

8 2 1 2 8 1 1 4 3 2 2 2 p1 ? C3 ( )3 ? p2 ? C32 ( ) 2 ? ? p3 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? ? 3 27 , 3 3 3 27 , 3 3 2 27 解答: (1)
(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0

1 4 4 16 7 , , , 相应的概率依次为: 9 27 27 27 ,所以 EX= 9
(20) (本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式;

an ? 1 n (2) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ 2 = λ (λ 为常数) ,令 cn=b2n, (n∈N? . )
求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 解答: (1)由 S4=4S2,a2n=2an+1, {an}为等差数列,可得, 所以

a1 ? 1, d ? 2

an ? 2n ? 1

an ? 1 2n n b ? ? ? 1 ,Tn-1+ 2 n = λ 两式相减可得,当 n ? 2 时, (2)由 Tn+ 2 = λ 可得, 1 bn ? n?2 n ?1 4 3n ? 1 ? n ?1 n ?1 2 ,所以当 ? ? 0 时,cn=b2n= 4 ,错位相减法可得,Rn= 9 9 ? 4 n ?1

?? ? 1 n ? 1 ? ? n ?1 5 3n ? 1 ?? ? ? 4n ?1 n ? 2 9 9 ? 4 n ?1 当 ? ? 0 时,cn=b2n= ? ,可得 Rn=
(21) (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
设函数

x ? c(e ? 2.71828? e2 x 是自然对数的底数, c ? R) .

(1)求 f ( x ) 的单调区间,最大值;

-7-

(2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数.

f ' ( x) ?
解答: (1)

1? 2x 1 x? 2x f ' ( x) ? 0 得, e 2, ,令

1 x ? (??, ), f ' ( x) ? 0, 函数单调递增; 2 当 1 1 x ? ( , ?), f ' ( x) ? 0, 函数单调递减; ? x? 2 2 时,函数取得最的最大值 所以当

f max ( x) ?

1 ?c 2e

1 ?c 2e (2) 由(1) 知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 ,然后递减到 c, 而函数|lnx|是 (0,1)
时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大。

c??
故令 f(1)=0 得,

1 e2 ,

c??
所以当

1 e 2 时,方程有两个根;

c??


1 e 2 时,方程有一两个根; 1 e 2 时,方程有无两个根.

c??


(22) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 椭圆 C: a (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为

3 2 ,过 F1 且

垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公

1 1 ? kk kk2 为定值,并求出这个 共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 1
定值.

c 3 2b 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 a 2 , a 解答: (1)由已知得, ,解得 a ? 4, b ? 1
-8-

x2 ? y2 ? 1 4 所以椭圆方程为:

???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? PF ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 1 ???? ???? ???? ???? ? ? ? ???? ???? ? | PF || PM | = | PF2 || PM | , | PF1 | = | PF2 | , 设 P( x0 , y0 ) 其 中 1 (2)由题意可知:
2 3 2 2 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4x0 ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 x0 ? 4 ,

m?
所以

3 3 3 x0 m ? (? , ) 4 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x 1 1 y0 y0 x0 x k ?? 0 ? k1 ? , k2 ? ? y0 y ? 1 4 y0 ,而 x? 3 x ? 3 ,代入 kk1 kk2 中得: 4 ,所以

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 kk1 kk2 x0 x0 为定值.

-9-


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