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2015高中数学 第二章 基本初等函数(I)阶段质量检测 新人教A版必修1


阶段质量检测(二)

基本初等函数(Ⅰ)

(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.2
1 1+ log 2 5 2

等于(

) B.2 5 D.1+ 5 2

A.2+ 5

C.2+ 5 2
3

2.已知 f(x )=lg x,则 f(2)等于( A.lg 2 C.lg 1 8 1 log0.5?4x-3?

) B.lg 8 1 D. lg 2 3

3.函数 y=

的定义域为(

)

?3 ? A.? ,1? ?4 ?
C.(1,+∞) 4.若 0<a<1,且 logba<1,则 ( A.0<b<a C.0<a<b<1
x a

?3 ? B.? ,+∞? ?4 ? ?3 ? D.? ,1?∪(1,+∞) ?4 ?
) B.0<a<b D.0<b<a 或 b>1

5.已知函数 f(x)=a ,g(x)=x ,h(x)=logax(a>0,且 a≠1),在同一平面直角坐标 系 中画出其中 两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是( )

? ?3 ,x≤0, 6.已知函数 f(x)= ? ?log2x,x>0, ?

x+1

若 f(x0)>3,则 x0 的取值范围是( A.x0>8 C.0<x0<8

) B.x0<0,或 x0>8 D.x0<0,或 0<x0<8

7.对于函数 f(x)=lg x 的定义域内任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:

1

① f(x1 +x2) = f(x1) + f (x2) ;② f(x1·x2)= f(x1) + f(x2) ;③

f?x1?-f?x2? >0 ;④ x1-x2

x1+x2 f?x1?+f?x2? f( )< 上述结论正确的是(
2 2 A.②③④ C.②③ 8.定义运算 a?b=?
? ?a,a≤b, ?b,a>b, ?

)

B.①②③ D.①③④ 则函数 f(x)=1?2 的图象是(
x

)

9.若 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=e ,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)

x

)

10.设函数 f(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2) 的大小关系为( ) B.f(a+1)>f(2) D.不确定

A.f(a+1)=f(2) C.f (a+1)<f(2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
- ? 1 ? 11.计算?lg -lg 25?÷100 2 =________. ? 4 ? 1

?2e ,x<2, ? 12.设 f(x)=? x ?log3?2 -1?,x≥2, ?

x-1

则 f[f(2)]等于______ __.

13.函数 f(x)=a

x-2 011

+2 011 的图象一定过点 P,则 P 点的坐标是________.

14.若 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg 2+lg x+lg y,则 =________. 三、 解答题(本大题共 4 小题, 共 50 分. 解答时应写出文字说明, 证明过程或运算步骤. ) 15.(10 分)计算:(1)

x y

?3?0 ?9?-0.5 4 4 -? ? +? ? + ? 2-e? ; 2-1 ?5? ?4?
1

8 1 2 (2 )lg 500+lg - lg 64+50(lg 2+lg 5) . 5 2

16.(12 分)已知函数 f(x)=4 -2·2

x

x+1

-6,其中 x∈[0,3].

2

(1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若实 数 a 满足:f(x)-a≥0 恒成立,求 a 的取值范围.

17.(14 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≤0 时,f(x)=log 1 (-x+1 ).
2

(1)求 f(0),f(1); (2)求函数 f(x)的解析式; (3)若 f(a-1)<-1,求实数 a 的取值范围.

2 18.(14 分)已知函数 f(x)=a- x . 2 +1 (1)求 f(0); (2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若 f(x)为奇函数,求满足 f(ax)<f(2)的 x 的取值范围.

答 案 阶段质量检测(二) 1.选 B 2
1 1+ log 5 2 2
1

=2×2

log 5 2
2

=2×2

log 2 5

l=2 5.

1 3 3 3 2.选 D 令 x =2,则 x= 2,∴f(2)=lg 2= lg 2. 3
? ?log0.5?4x-3?>0, 3.选 A 由题意得? ?4x-3>0, ?

3 解得 <x<1 4

4.选 D 当 b>1 时,logba<1=logbb. ∴a<b,即 b>1 成立. 当 0<b<1 时,logba<1=logbb,0<b<a<1,
3

即 0<b<a. 5.选 B 本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象,分 a>1 和 0<a<1 两种 情况,分别画出幂函数、指数函数、对数函数的图象,对比可得选项 B 正确. 6.选 A 依题意,得
? ?x0≤0, ? ? ?3x0+1>3, ? ?x0>0, 或? ? ?log2x0>3, ?x0>0, ? 或? ?log2x0>log28. ?

即?

?x0≤0, ? ?x0+1>1, ?

所以 x0∈?,或 x0>8,故选 A. 7.选 C 由对数的运算性质可得 f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2)=f(x1x2),所 以①错误,②正确; 因为 f(x)是定义域内的增函数,所以③正确;

f?

?x1+x2?=lgx1+x2,f?x1?+f?x2?=lg x1+lgx2=lg x x , ? 1 2 2 2 2 ? 2 ?
x1+x2
2 > x1x2(x1≠x2),所以 lg

因为

x1+x2
2

>lg x1x2,即 f?

?x1+x2?>f?x1?+f?x2?,所 ? 2 ? 2 ?

以④错误. 8.选 A
? ?1,1≤2 , f(x)=1?2 =? x x ?2 ,1>2 , ?
x x

? ?1,x≥0, 即 f(x)=? x ?2 ,x<0, ?

结合选项知选 A.
-x -x

9.选 D 用-x 代 x,则有 f(-x)-g(-x)=e ,即-f(x)-g(x)=e ,结合 f(x) e -e e +e x -g(x)=e ,可得 f(x)= ,g(x)=- . 2 2 所以 f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)=0,g(0)=-1,所以 f(3)>f(2)>f(0)>g(0),故 选 D. 10.选 B 易知 f(x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 0<a<1,所以 1<a+1<2,所以 f(a+1)>f(2).
? ? 1 ? 11.解析:?lg -lg 25?÷100 2 ? 4 ? ? 1 1 =lg ÷100 2 =-2÷ =-20. 100 10 1 1
x
-x -x

x

答案:-20 12.解析:∵f(2)=log3(2 -1)=1, ∴f[f(2)]=f(1)=2e
1-1 2

=2.
4

答案:2 13.解析:当 x-2 011=0,即 x=2 011 时,

f(x)=a0+2 011=2 012,
∴定点 P 的坐标为(2 011,2 012). 答案:(2 011,2 012) 14.解析:lg(x-y)(x+2y)=lg 2xy

? ?x+2y>0, ? ?x>0, y>0, ? ??x-y??x+2y?=2xy,
x-y>0,
? ?x>y>0, ∴? ??x-2y??x+y?=0. ?

∴x=2y,即 =2. 答案:2 2 2 15.解:(1)原式= 2+1-1+ +e- 2= +e. 3 3 1 2 3 6 2 (2)原式=lg 5+lg 10 +lg 2 -lg 5- lg 2 +50(lg 10) =lg 5+2+3lg 2-lg 5 2 -3lg 2+50=52. 16.解:(1)f(x)=(2 ) -4·2 -6(0≤x≤3). 令 t=2 ,∵0≤x≤3,∴1≤t≤8. 令 h(t)=t -4t-6=(t-2) -10(1≤t≤8). 当 t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当 t∈(2,8]时,h(t)是增函数. ∴f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26. (2)∵f(x)-a≥0 恒成立,即 a≤f(x)恒成立, ∴a≤f(x)min 恒成立. 由(1)知 f(x)min=-10,∴a≤-10. 故 a 的取值范围为(-∞,-10]. 17.解:(1)因为当 x≤0 时,f(x)=log 1 (-x+1),所以 f(0)=0.
2
2 2

x y

x 2

x

x

又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(1)=f(-1)=log 1 [-(-1)+1]=log 1 2
2 2

=-1,即 f(1)=-1.

5

(2)令 x>0,则-x<0, 从而 f(-x)=log 1 (x+1)=f(x),
2

∴x>0 时,f(x)=log 1 (x+1).
2

?log ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=? log ?
∴1-x1>1-x2>0. ∵f(x2)-f(x1)=log 1 (-x2+1)-
2

1 2 1 2

?x+1?,x>0, ?-x+1?,x≤0.

(3)设 x1,x2 是任意两个值 ,且 x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0,

log 1 (-x1+1)=log 1
2 2

1-x2 >log 1 1=0,∴f(x2)>f(x1 ), 1-x1
2

∴f(x)=log 1 (-x+1)在(-∞,0]上为增函数.
2

又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得 a>2 或 a<0. 故实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 2 18.解:(1)f(0)=a- 0 =a-1. 2 +1 (2)∵f(x)的定义域为 R,∴任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) =a-
x

2 2 2×?2x1-2x2? -a+ = . 2x1+1 2x2+1 ?1+2x1??1+2x2?

∵ y=2 在 R 上单调递增,且 x1<x2, ∴0<2x1<2x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上单调递增. 2 2 (3)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 a- -x =-a+ x ,解得 a=1.(或用 2 +1 2 +1

f(0)=0 求解)
∴f(ax)<f(2)即为 f(x)<f(2). 又 f(x)在 R 上单调递增,∴x<2.(或代入化简亦可) 故 x 的取值范围为(-∞,2).

6


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