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用均值不等式求最值的类型及方法


高三理应培优
(用均值不等式求最值的类型及解题技巧)
均值不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重 要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ① a ? b ? 2 ab ? ab ?
2 2

a

2

/>?b 2

2

( a 、 b ? R ), 当且仅当 a = b 时,“=”号成立;

② a ? b ? 2 ab ? ab ? ?

?a?b? ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; ? ( a 、 b ? R ), ? 2 ?

2

③ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ?
3 3 3

a ?b ?c
3 3

3

( a 、 b 、 c ? R ), 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立;

?

3
?a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? ? ( a 、 b 、 c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
3 3

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:
2 1 a ? 1 b
? ab ? a?b 2 ?
a ?b
2 2



2

二、函数 f ( x ) ? a x ?

b x

( a、 b ? 0 ) 图象及性质

y

(1)函数 f ( x ) ? ax ?

b x b x

?a 、 b ?a 、 b

? 0 ? 图象如图:
?

b 2 ab a

o
b
?2 ab

x
a

(2)函数 f ( x ) ? ax ?

? 0 ? 性质:

①值域: ( ?? , ? 2 ab ] ? [ 2 ab , ?? ) ;
b a
b a

②单调递增区间: ( ? ? , ?

] ,[

, ? ? ) ;单调递减区间: ( 0 ,

b a

] ,[?

b a

, 0) .

三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?
1 2 ( x ? 1)
2

( x ? 1) 的最小值。

(技巧 1: 凑项) y ? x ? 解:

1 2 ( x ? 1)
2

( x ? 1) ? ( x ? 1) ?

1 2( x ? 1)
2

? 1( x ? 1) ?

x ?1 2

?

x ?1 2

?

1 2 ( x ? 1)
2

? 1( x ? 1)

-1-

? 33

x ?1 x ?1 1 3 5 ? ? ?1 ? ?1 ? , 2 2 2 2 2 2 ( x ? 1)

当且仅当

x ?1 2

?

1 2 ( x ? 1)
2

( x ? 1) 即 x ? 2 时,“=”号成立,故此函数最小值是

5 2



评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添 加常数、拆项(常常是拆低次的式子)等方式进行构造。

类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。
例 2、求下列函数的最大值: ① y ? x 2 (3 ? 2 x )(0 ? x ? ② y ? sin x co s x (0 ? x ?
2

3 2

)

?
2

)

解析:①? 0 ? x ?

3 2

,∴3 ? 2 x ? 0 , 3 2 ) ? x ? x ? (3 ? 2 x ) ? [
x ? x ? (3 ? 2 x ) 3 ] ?1,
3

2 ∴ y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。 ? 2 (技巧 2、取平方)②? 0 ? x ? ,∴ sin x ? 0, co s x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求 y 的最
2

大值。
y ? sin x ? cos x ? sin x ? sin x ? cos x ?
2 4 2
2 2 2

1 2

(sin x ? sin x ? 2 cos x ) ?
2 2 2

1 2

?(

sin x ? sin x ? 2 cos x
2 2 2

) ?
3

4 27

,

3
2 时,

2 2 当且仅当 sin x ? 2 cos x (0 ? x ?

?
2

) ? tan x ?

2 ,即 x ? arc tan

不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是
x ? 7 x ? 10
2

2 3 9



技巧 3: 分离

例 3. 求 y ?

x ?1

( x ? ? 1) 的值域。

解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 ( x ? 1) ?

4 x ?1

? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。

技巧 4:换元 解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。
y ? ( t ? 1) ? 7 ( t ? 1) 0 +1
2

=

t ? 5t ? 4
2

?t?

4 t

?5

t

t



,即 t=

时, y ? 2 t ?

4 t

? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。

评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 值。 即化为 y ? m g ( x ) ?
A g (x)
-2-

? B ( A ? 0, B ? 0 ) , g(x)恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以 或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。
技巧 5:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x ) ? x ?
a x
4 x

的单调性。

例 4、若 x、y ? R ,求 f ( x ) ? x ?

?

( 0 ? x ? 1) 的最小值。

解法一: (单调性法) 由函数 f ( x ) ? a x ?

b x

当 函数 f ( x ) ? x ? ( a、 b ? 0 ) 图象及性质知, x ? (0,1] 时,

4 x



减函数。证明:任取 x1 , x 2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x 2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? (
4 x1 ? 4 x2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? x 2 ? x1 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 4 x1 x 2



∵ 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,∴ x1 ? x 2 ? 0,
4 x

x1 x 2 ? 4 x1 x 2

? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,

即 f (x) ? x ?

在 (0,1] 上是减函数。
4 x

故当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?

在 (0,1] 上有最小值 5。
4 x

解法二: (配方法)因 0 ? x ? 1 ,则有 f ( x ) ? x ?

?(

2 x

?

x) ? 4 ,
2

易知当 0 ? x ? 1 时, ? ?
4 x

2 x

?

x ? 0 且单调递减,则 f ( x ) ? (

2 x

? x ) ? 4 在 ( 0 ,1] 上也是减函数,
2

即 f (x) ? x ?

在 (0,1] 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?
4 x

4 x

在 (0,1] 上有最小值 5。
4 x 4 x
2

解法三: (导数法)由 f ( x ) ? x ? 则函数 f ( x ) ? x ?
4 x

得 f ?( x ) ? 1 ?

4 x
2

,当 x ? (0,1] 时, f ? ( x ) ? 1 ?

? 0,

在 (0,1] 上是减函数。故当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?

在 (0,1] 上有最小值 5。

评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法也是较为 简洁实用得方法。

类型Ⅳ:条件最值问题。
例 5、已知正数 x、y 满足
8 x ? 1 y ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。

技巧 6:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。

解法一: (利用均值不等式) x ? 2 y ? ( ?
x

8

1 y

)( x ? 2 y ) ? 1 0 ?

x y

?

16 y x

? 10 ? 2

x 16 y ? ? 18 , y x

-3-

1 ?8 ?x ? y ?1 当且仅当 ? 即 x ? 1 2, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 ? x 16 y ? ? ?y x ?

技巧 7 消元.解法二: (消元法)由

8 x

?

1 y

?1得y ?

x x?8
16 x?8

,由 y ? 0 ?

x x?8

? 0又 x ? 0 ? x ? 8

则x ? 2y ? x? 当且仅当 x ? 8 ?

2x x?8

? x?

2( x ? 8) ? 16 x?8

? x?2?

? ( x ? 8) ?

16 x?8

? 10 ? 2 ( x ? 8) ?

16 x?8

? 10 ? 18 。

16 x?8

即 x ? 12, 此 时 y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。
8 x 1 y
2

? ? 解法三: (三角换元法)令 ? ? ? ? ?

? s in

2

x

? cos

2

8 ? x ? 2 ? s in x 则有 ? ? 1 ?y ? x 2 ? cos x ?
2 2 2 2 2

则: x ? 2 y ?

8 sin x
2

?

2 cos x
2
2

? 8 csc x ? 2 sec x ? 8(1 ? cot x ) ? 2(1 ? tan x ) ? 10 ? 8 cot x ? 2 tan x
2

? 10 ? 2 (8 cot x ) ? (2 tan x ) ? 1 8 ,

易求得 x ? 12, 此 时 y ? 3 时“=”号成立,故最小值是 18。 评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:
x ? 2y ? ( 8 x ? 1 y )( x ? 2 y ) ? 2 8 1 ? ? x y x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。

技巧 8:凑系数 例 6. 当

时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x ) ? 8 为定值,故只需将 y ? x (8 ? 2 x ) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值为 8。 评注: 本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ?
3 2

,求函数 y ? 4 x ( 3 ? 2 x ) 的最大值。
3 2
? 2x ? 3 ? 2x ? ? 2 ? ?
2

解:∵ 0 ? x ?

∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x (3 ? 2 x ) ? 2 ? 2 x (3 ? 2 x ) ? 2 ?
? 3? ? ? 0 , ? 时等号成立。 4 ? 2? 3

?

9 2

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x , 即 x ?

-4-

类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例 7、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 x y 、 x ? y 的范围。 解法一:由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy , 即 ( xy ) ? 2 xy ? 3 ? 0 解得
2

xy ? ? 1 舍 ) 或 (

xy ? 3 ,

当且仅当 x ? y 且 xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x y 的取值范围是 [9, ? ? ) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? (
x? y 2 ) ? ( x ? y ) ? 4( x ? y ) ? 12 ? 0 ? x ? y ? ? 2 ( 舍 ) 或 x ? y ? 6 ,
2
2

当且仅当 x ? y 且 xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ? ? ) 。 解法二:由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 , 则: y ?
x?3 x ?1

,由 y ? 0 ?
x ? 3x
2

x?3 x ?1

? 0 ? x ? 1,
2

则: xy ? x ?

x?3 x ?1

?

x ?1

?

( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 4 x ?1

? ( x ? 1) ?

4 x ?1

? 5 ? 2 ( x ? 1) ?

4 x ?1

?5?9,

当且仅当 x ? 1 ?
x?3 x ?1

4 x ?1
? x?

( x ? 0 )即 x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 x y 的取值范围是 [9, ? ? ) 。
x ?1? 4 x ?1 4 x ?1 4 x ?1 4 x ?1

x? y ? x?

? x?

? 1 ? ( x ? 1) ?

? 2 ? 2 ( x ? 1) ?

?2?6,

当且仅当 x ? 1 ?

4 x ?1

( x ? 0 )即 x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 x y 的取值范围是 [9, ? ? ) 。

评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。

四、均值不等式易错例析:
例 8. 求函数 y?
? ? ? x? ? x 4? 9
x

的最值。

? ?? ? ? 3 6 3 6 x 4 9 x? x 3 x ? 1? 3 6 ? ?? ? ? x 1 x 3 1 32 ? ? 2 5 错解: y ? ? x x x x
2

当且仅当 x ?

36 x

6 6 即 x?? 时取等号。所以当 x?? 时,y 的最小值为 25,此函数没有最大值。

分析: 上述解题过程中应用了均值不等式, 却忽略了应用均值不等式求最值时的条件, 两个数都应大于零, 因而导致错误。因为函数 y? 分类讨论。 正解:1)当 x ?0时, y ? 13 ? x ? 当且仅当 x ?
36 x
36 x ? 13 ? 2 x? 36 x ? 25

? ? ? x? ? x 4? 9
x

? 0 0 ? , , ? 的定义域为 ?? ?? ? ,所以必须对 x 的正负加以 ?

即 x ? 6 时取等号。所以当 x ?6时, y in ?2 5 m

-5-

2)当 x ?0时, ? x ? 0 , ?
36 x

36

3 6 6 ? ?3 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ?? ? ?x ? ? 1 ? 2 ? 0 , ?x ? ? x ? ? x ? x

? y ? 13 ? [( ? x ) ? ( ?

)] ? 13 ? 12 ? 1

当且仅当 ?x ? ?

36 x

,即 x?? 时取等号,所以当 x?? 时, y m ax ? 1 3 ? 1 2 ? 1 . 6 6
9 x
2

例 9. 当 x ?0时,求 y ? 4x ?

的最小值。
9 6 ? 2 x x

错解:因为 x 0y 4 2? 4 ? ,x ? ? 2x ?
x
3

9

所以当且仅当 4 x ?

9 x
2

即x ?

9 4

时, y in ? m

6 x

? 31 。 2 8

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中 4 x 与
9 x
2

的积不是定值,导致应用错误。
9 93 9

3 正解:因为 x , 2 2 ? 3 ?x ?6 ?y x ? 2 2 0? 4 ? xx ?x ?2 3 ? 2 2 3

x

x

x
3

当且仅当 2 x ?
x ? 5
2

9 x
2

3

,即 x ?

36 2

时等号成立,所以当 x ?

36 2

时, y m in ? 3 3 3 6 。

例 10. 求 y?

x ? 4
2

( ? )的最小值。 x R

x5 2 ? 1 1 2 错解:因为 y ,所以 y in ?2 ? ? ? x4 ? ? x4 2 ? ? ? 2 m 2 2 2 x4 ? x4 ? x4 ?
2

分析:忽视了取最小值时须 x ? ? 4
2

1
2

x ? 4

成立的条件,而此式化解得 x

2

? ? 3 ,无解,所以原函数

y 取不到最小值 2 。

正解:令 t ? x ? ? ? ? 4t 2 ,则 y ? t ?
2

1 t

(t ? 2 )

又因为 t ?1时, y ? t ?
?

1 t

是递增的。所以当 t ? 2 ,即 x ?0时, y min ?

5 2



例 11.已知 x , y ? R 且

1 x

?

4 y

? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值.

错解:? 1 ?

1 x

?

4 y

?

4 xy

?

xy ? 4 ,? u ? x ? y ? 2

xy ? 8 ,? u 的最小值为 8 .

-6-

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 故取不到最小值 8 . 正解: u ? ( x ? y )(
1 x
4x y y x

1 x

?

4 y

和 x ? y ,而这两个式子不能同时成立,

?

4 y

)? 5?

4x y

?

y x

? 5?4 ? 9

当且仅当

?

即 x ? 3 , y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为 9 .

综上所述,应用均值不等式求最值要注意:
一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不 出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。

巩固练习: 1、已知: x ? y ? a , m ? n ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为(
2 2 2 2

)
2

(A) ab
?

(B)

a?b 2

(C)
y ? a

a

2

?b 2

2

(D)

a

2

?b 2

2、若 a , x , y ? R ,且 x ? (A) 2 2 (B) 2 3、已知下列不等式: ① x ? 3 ? 2 x( x ? R ) ;
3 ? 5 5 3 2 2 3

x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(

)

(C)2

(D)1

② a ? b ? a b ? a b (a, b ? R ) ; ③ a ? b ? 2 ( a ? b ? 1) . 其中正确的个数是( ) (A)0 个 (B)1 个
2 2 ?

?

(C)2 个
a
2

(D)3 个 ) (C) ab ?
1 ab
2 2

4、设 a , b ? R ,则下列不等式中不成立的是( (A) ( a ? b )(
1 a
?

?

1 b

)? 4

(B)

?b ab

2

? 2 ab

? 2

(D)

2 ab a?b

?

ab

5、设 a , b ? R 且 2 a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4 a ? b 的最大值是( (A) 2 ? 1 (B)
2 ?1 2
a

)
2 ?1 2

(C) 2 ? 1
b

(D) )

6、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是( (A)18 (B)6 (C) 2 3 7、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 8、若 x , y ? R ,且 2 x ? y ? 1 ,则
?

(D) 2 4 3 . .

1 x

?

1 y

的最小值为
2 2

9、若 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 且 a ? b ,则 a ? b , 2 ab , a ? b , 2 ab 中最大的是

.

-7-


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