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2014广东高考数学文科试卷及答案(WORD版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学 (文科)
一、选择题
1. 已知集合M ? ?2,3, 4? , N ? ?0, 2,3,5? , 则M A.?0, 2?
答案:B

N ? ( ). D.?3,5?

B.?2,3?

C.?3, 4?

2.

已知复数z满足(3 ? 4i) z ? 25, 则z ? ( ). A. ? 3 ? 4i B. ? 3 ? 4i
答案:D

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i

提示 : z ?

25 25( ?3 i 4 ) 2 ?5 i (3 4 ) = ? ? 3 ? i4故选 , D 3? 4 i (? 3 i 4 )? (3 i 4 ) 25

.

3. 已知向量a ? (1, 2), b(3,1), 则b ? a ? ( ). A. (?2,1) B. (2, ?1) C. (2,0)
答案:B

D. (4,3)

?x ? 2 y ? 8 ? 4. 若变量x, y满足约束条件 ?0 ? x ? 4 , 则z ? 2 x ? y的最大值等于( ). ?0 ? y ? 3 ? A. 7 B. 8 C. 10 D. 11
答案:C 提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值 10. 选 C. 5.下列函数为奇函数的是( ). A. 2 ?
x

1 2x

B. x sin x

3

C. 2cos x ? 1

D. x ? 2
2

x

答案:A

提示 : 设f ( x ) ? x2?

1 1 1 则 , f x ( 的定义域为 ) R 且, ? f (? x ? ) x ? 2 ? x ? x? x 2 2 2 ? f (x ) 为奇函数 故选 , A.

x

? ?2

f x( ) ,

6. 为了解1000名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法, 从中抽取容量为40的样本, 则分段的间隔为( ). A. 50 答案 : C 提示 : 分段的间隔为 1000 ? 25. 40 B. 40 C. 25 D. 20

7. 在? ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 则“a ? b”是“sin A ? sin B”的( ). A. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 答案 : A 提示 :由正弦定理知 a b ? , a, b,sin A,sin B都为正数,? a ? b ? sin A ? sin B. sin A sin B B. 充分非必要条件 D. 非充分非必要条件

8. 若实数k 满足0 ? k ? 5, 则曲线 A. 实半轴长相等 C. 离心率相等 答案:D

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与曲线 ? ? 1的( ). 16 5 ? k 16 ? k 5 B. 虚半轴长相等 D. 焦距相等

提示: 0 ? k ? 5,? 5 ? k ? 0,16 ? k ? 0, 从而两曲线均为双曲线, 又16 ? (5 ? k ) ? 21 ? k ? (16 ? k ) ? 5, 故两双曲线的焦距相等,选D.
9. 若空间中四条两两不同的直线l1 , l2 , l3 , l4 , 满足l1 ? l2 , l2 / / l3 , l3 ? l4 , 则下列结论一定正确的是( ). A. l1 ? l4 C. l1与l4既不垂直也不平行 答案:D
10. 对任意复数?1 , ?2 , 定义?1 ? ?2 =?1?2 , 其中?2是?2的共轭复数, 对任意复数z1 , z2 , z3 有如下四个命题:
① ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ( z1 ? z3 ) ? ( z2 ? z3 ); ③ ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ); 则真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 ② z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z3 ) ; ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 ;

B. l1 / / l4 D. l1与l4的位置关系不确定

答案 : B 提示:①( z1 ? z2 ) * z3= ( z1 ? z2) z = ? ) 3 ( z1 z 3 ②z1 *( z2 ? z3) ? z1( z2? z) z( 3? 1 z? 2 ( z2 = z) * z1 + z) 故①是真命题 z) 3 ( 3 (*z 2 , 3 z )3? ( z1 z )2 ? ( z1 z ) ? z1 z )* , z1 z )3 3* ( + 2 ( ②对 (z1 z2 ? )z3 ( z1 左边 z2 )z ,3 ? 右边 ③错, ; ; ;

③左边=( z1 *z2 ) z3 = z1 z2 z , 右边 ? * z1( z2 ? ) z3 3 综上,只有①②是真命题,故选B.

④左边=z1 *z2 ? z1 z2 , 右边=z2 *z1 ? z2 z1 , 左边 ? 右边, 故④不是真命题.

二、填空题
(一)必做题(11-13)

11. 曲线y ? ?5e x ? 3在点(0, ?2)处的切线方程为 _______ . 答案 : 5 x ? y ? 2 ? 0 提示 : y ' ? ?5e x ,? y '
x ?0

? ? 5,? 所求切线方程为y ? 2 ? ?5 x, 即5 x ? y ? 2 ? 0 .

12. 从字母a, b, c, d, e 中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 ________ . 答案 : 2 5

1 C4 4 2 提示 : P ? 2 ? ? C5 10 5

13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.
答案 : 5 提示 : 设S ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a 4 ? log 2 a 5 , 则S ? log 2 a5 ? log 2 a4 ? log 2 a3 ? log 2 a 2 ? log 2 a1 , ? 2 S ? 5log 2 (a1a5 ) ? 5log 2 4 ? 10, ?S ? 5 .
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2 ? cos 2 ? ? sin ? 与? cos ? =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标 系, 则曲线C1与C2交点的直角坐标为 _____________ .

答案 : (1, 2)
2 提示 :由2 ? cos2 ? ? sin ? 得( 2 ? cos ?) =? sin ? ,故C1的直角坐标方程为:y ? 2x 2 ,

C2的直角坐标方程为:x ? 1,? C1 , C2交点的直角坐标为(1, 2).
15. (几何证明选讲选做题) 如图 1, 在平行四边形ABCD中, 点E在AB上且EB ? 2 AE , AC与DE交于点F , ?CDF的周长 ? ___________ . ?AEF的周长 答案 : 3 则 提示 : 显然?CDF ?AEF ,? ?CDF的周长 CD EB ? AE ? ? ? 3. ?AEF的周长 AE AE

三、解答题

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值; (2) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0,

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?

) ,求 f ( ? ? ) 2 6

?

解 : (1) f (

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 3 ? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 3 3 ? 3(sin ? cos ? 6 cos ? sin ? 3 3 cos ? ? 3 1 ? ? ? ? 1 ? cos ? ? ,? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 1. 3 6 6 3 2 3

?

?

?

?

? cos ? sin ) ? 3(sin( ?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 3 3 3 3

?

?

?

?
3

17. 某车间 20 名工人年龄数据如下表:

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差.

解 : (1)这20名工人年龄的众数为30, 极差为40 ? 19 ? 21.
(2)茎叶图如下:

1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0

? 3? 年龄的平均数为 :

(19 ? 28 ? 3 ? 29? 3 ? 30? 5 ? 31? 4? 32? 3? 40) ? 30 , 20 1 故这20名工人年龄的方差为 : ? (?11) 2 ? 3 ? (?2) 2 ? 3 ? (?1) 2 ? 5 ? 0 2 ? 4 ?12 ? 3 ? 2 2 ? 10 2 ? ? 20 ? 1 ? (121 ? 12 ? 3 ? 4 ? 12 ? 100) 20 1 ? ? 252 20 ? 12.6

1 8 .如图 2 四边形 , ABCD为矩形 PD , ? 平面ABCD AB ? 1 ,BC ? PC ? 2 作如图 . 折叠 3 折痕 : EF 叠在线段AD上的点记为M , 并且MF ? CF . (1)证明 : CF ? 平面MDF ; (2)求三棱锥M ? CDE的体积. DC / /

, ,

其中点E , F 分别在线段PD ,PC上 沿 , EF 折叠后点P

解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD,? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD ? CD, MD ? 平面ABCD, MD ? CD, ? MD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? MD, 又CF ? MF , MD, MF ? 平面MDF , MD ? CF ? 平面MDF . 1 1 (2) CF ? 平面MDF ,? CF ? DF , 又易知?PCD ? 600 ,??CDF ? 300 , 从而CF = CD = , 2 2 1 DE CF DE 2 3 3 3 1 3 EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? ,? PE ? , S ?CDE ? CD ? DE ? , DP CP 4 4 2 8 3 2 MD ? ME 2 ? DE 2 ? PE 2 ? DE 2 ? ( 3 3 2 3 6 ) ? ( )2 ? , 4 4 2 MF ? M ,

1 1 3 6 2 ?VM ?CDE ? S ?CDE ? MD ? ? ? ? . 3 3 8 2 16
2 19. 设各项均为正数的数列?an ?的前n项和为S n , 且S n满足S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, n ? N ? .

(1)求a1的值;

(2)求数列?an ?的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

解 : (1)令n ? 1得 : S12 ? (?1) S1 ? 3 ? 2 ? 0, 即S12 ? S1 ? 6 ? 0,? ( S1 ? 3)( S1 ? 2) ? 0, S1 ? 0,? S1 ? 2, 即a1 ? 2.
2 2 (2)由S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, 得 : ( S n ? 3) ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ? 0,

an ? 0(n ? N ? ),? S n ? 0, 从而S n ? 3 ? 0,? S n ? n 2 ? n,
2 ?当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? ? ?(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 2n,

又a1 ? 2 ? 2 ?1,? an ? 2n(n ? N ? ). (3)当k ? N ?时, k 2 ? k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )(k ? ), 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 2 4 4 ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? 1 1? 1 ? 1? 4 ? 4 k? (k ? 1) ? ? (k ? ) ? ?(k ? 1) ? ? ? 4 4? 4 ? 4? ? 1 1 ? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) ? 1 an (an ? 1)

? ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? ? ? 1 1 1 1? 4 ? 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? ( n ? 1) ? ? ? 4 4 4 4 4 4? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? . 1 1 4 1? 3 4n ? 3 3 (n ? 1) ? 4 4

20. 已知椭圆C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个焦点为( 5, 0), 离心率为 . 2 a b 3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P( x0 , y0 )为椭圆C外一点, 且点P到椭圆C的两条切线相互垂直, 求点P的轨迹方程. 解 : (1)c ? 5, e ? c 5 5 ? ? ,? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 5 ? 4, a a 3 x2 y 2 ? 椭圆C的标准方程为: ? ? 1. 9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(?3, ?2), (3, ?2). 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ), x2 y 2 ? ? 1 中并整理得: 9 4 2 (9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? ? 0, 依题意, ? ? 0, 即y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 将之代入椭圆方程
2 2 2 2 即:(18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? (9k ? 4) ? 0, 即4( y0 ? kx0 ) ? 4(9k ? 4) ? 0,

? ( x0 2 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 2 ? 4 ? 0, 两切线相互垂直,? k1k2 ? ?1, 即 : ? x0 2 ? y0 2 ? 13, 显然(?3, ?2), (3, ?2)这四点也满足以上方程, ?点P的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 13 .
1 21. 已知函数f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax ? 1(a ? R ). 3 (1)求函数f ( x)的单调区间; 1 1 1 (2)当a ? 0时, 试讨论是否存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 )=f ( ). 2 2 2

y0 2 ? 4 ? ?1, x0 2 ? 9

解 : (1) f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? a, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的判别式 : ? ? 4 ? 4a, ?当a ? 1时, ? ? 0,? f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)在(??, ??)上为增函数. 当a ? 1时, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的两根为 ? 1 ? 1 ? a , 当x ? (??, ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0,? 此时f ( x)为增函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为减函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ??)时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为增函数, 综上, a ? 1时, f ( x)在( ??, ??)上为增函数, 当a ? 1时, f ( x)的单调递增区间为( ??, ?1 ? 1 ? a ), ( ?1 ? 1 ? a , ??), f ( x)的单调递减区间为(?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ).

1 1 1 1 ?1 1 ? (2) f ( x0 ) ? f ( ) ? x03 ? x0 2 ? ax0 ? 1 ? ? ( )3 ? ( ) 2 ? a( ) ? 1? 2 3 2 2 ?3 2 ? 1? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? x03 ? ( )3 ? ? ? x0 2 ? ( ) 2 ? ? a( x0 ? ) 3? 2 ? ? 2 ? 2 x 1 ? 1? 1 1 1 1 ? ?( x0 ? )( x0 2 ? 0 ? ) ? ? ( x0 ? )( x0 ? ) ? a( x0 ? ) 3? 2 2 4 ? 2 2 2 1 x0 2 x0 1 1 ? ( x0 ? )( ? ? ? x0 ? ? a ) 2 3 6 12 2 1 1 ? ( x0 ? )(4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ) 12 2 1 1 1 ? 若存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 ) ? f ( ), 2 2 2 1 1 必须4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ? 0在(0, ) ( ,1)上有解. 2 2 2 a ? 0,?? ? 14 ? 16(7 ? 12a ) ? 4(21 ? 48a) ? 0, 方程的两根为 : 依题意, 0 ? ?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ? , x0 ? 0,? x0只能是 , 8 4 4

?7+ 21 ? 48a 25 7 ? 1, 即7 ? 21 ? 48a ? 11,? 49 ? 21 ? 48a ? 121, 即 ? ?a?? , 4 12 12 ?7+ 21 ? 48a 1 5 5 又由 = , 得a ? ? , 故欲使满足题意的x0 存在, 则a ? ? , 4 2 4 4 25 5 5 7 1 1 1 ?当a ? (? , ? ) (? , ? )时, 存在唯一的x0 ? (0, ) ( ,1)满足f ( x0 ) ? f ( ). 12 4 4 12 2 2 2 25 7 1 1 1 ? 5? 当a ? (??, ? ] [? , 0) ?? ? 时, 不存在x0 ? (0, ) ( ,1)使 f ( x0 ) ? f ( ). 12 12 2 2 2 ? 4?


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