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《导数及其运用》复习课教案


一、课题: 《导数及其应用》复习 二、教学目的: 1、理解导数的概念与运算法则,熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法。 2、熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路,熟练掌握求常见函数的单调区间和极 值与最值的方法。 三、教学重点: 理解导数的概念与运算法则,熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法;熟悉利用 导数处理单调性、极值与最值的一般思路,熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的 方法。 四、教学难点: 切线方程的求法;与参数相关单调性和极值最值问题。 五、教学方法: 讲授法、练习法 六、教学过程: (一)知识梳理: 1、用定义求函数的导数的步骤. (1)求函数的改变量Δ y; (2)求平均变化率

?y ?y .(3)取极限,得导数 f ?(x0)= lim . ? x ? 0 ?x ?x

2、导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线的 物理意义:若物体运动方程是 s=s(t) ,在点 P(i0,s(t0) )处导数的意义是 t=t0 处 的 解析:斜率.;瞬时速度. 3、几种常见函数的导数
n ?1 n c ' ? 0 ( c 为常数) ; ( x )? ? nx ( n ? R ) ;

(sin x)' ?
(ln x)? ?

; (cos x) ?
'



1 1 ; (log a x)? ? log a e ; x x

(e x )' ? e x ; (a x )' ? a x ln a .
解析: cos x; ? sin x; 4、运算法则 ①求导数的四则运算法则:

(u ? v) ? u ? v ; (uv) ?
'
' '

'

?u? ;? ? ? ?v?

'

(v ? 0) .

解析: u v ? uv ;
' '

u 'v ? uv ' v2
' '

②复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f (u )? ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x

5、函数的单调性与导数的关系 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 解析:单调递增;单调递减 6、 判别 f(x0)是极大、极小值的方法 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号, 则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的 , f ( x0 ) 是极 . ;如

大值;如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是 解析:极大值点;极小值. 7、解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) . (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右 正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 8、求函数最值的步骤: (1)求出 f ( x ) 在 ( a, b) 上的极值.(2)求出端点函数值 f (a), f (b) . (3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值. (二)范例分析: 考点 1: 导数概念 题型 1.求函数在某一点的导函数值 [例 1] 设函数 f ( x ) 在 x0 处可导,则 lim A. f ' ( x0 ) B. ? f '( x0 )

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
C. f ( x0 ) D. ? f ( x0 )

【解题思路】由定义直接计算 [解析] lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f [ x0 ? (??x)] ? f ( x0 ) ? ? lim ? ? f ?( x0 ) .故选 B ?x ?0 ?x (??x)
, 则

考点 2.求曲线的切线方程 [例 2] 如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8

f (5) ? f ?(5) =

.

【解题思路】区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同,后者的 P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设 P(5, f (5)) ,过 P 点的切线方程为

y ? f (5) ? f '(5)( x ? 5) 即 y ? f '(5) x ? f (5) ? 5 f '(5)

它与 y ? ? x ? 8 重合,比较系数知: f '(5) ? ?1, f (5) ? 3 故 f (5) ? f ?(5) =2 题型 3.求计算连续函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的瞬时变化率 [例 3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下,10 s 内其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单 位:s),求小球在 t=5 时的加速度. 【解题思路】计算连续函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的瞬时变化率实际上就是 y ? f ( x) 在点

x ? x0 处的导数.
解析:加速度 v= lim

s(5 ? ?t ) ? s(5) (5 ? ?t ) 2 ? 52 ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

? lim (10+Δ t)=10 m/s.
?t ?0

∴加速度 v=2t=2×5=10 m/s. 题型 4:求导运算 [例 4] 求下列函数的导数: (1) y ? e x cos x 【解题思路】按运算法则进行 [解析] (1) (2) y ? x2 ? tan x (3) y ? ln( x ? 1)

y ? e x cos x,? y ' ? ? e x ? cos x ? e x (cos x)' ? e x cos x ? e x sin x
'

(2)

y ? x 2 ? tan x,? y ' ? ? x 2 ? ? (
'

sin x ' cos 2 x ? sin x(? sin x) ) ? 2x ? cos x cos 2 x

? 2x ?

1 cos 2 x
'

(3) y ?

1 1 ? ( x ? 1)' ? x ?1 x ?1
2 3 x ? 2ax 2 ? 3x( x ? R ). 3

题型 5:求导运算后求切线方程 例 5. (广州市 2008 届二月月考)已知函数 f ( x) ?

(1)若 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x)在(0,??) 上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a. 【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程. 解析: (1)设切线的斜率为 k,则 k ? f ?( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ? 1) ? 1
2 2

又 f (1) ?

5 5 ,所以所求切线的方程为: y ? ? x ? 1 即 3x ? 3 y ? 2 ? 0. 3 3
B. y ? ex ? 2 C. y ? 2 x ? e D. y ? 2 x ? e

A. y ? ex ? 2

题型 6:求导运算后的小应用题 例 6. 某 市在一次 降雨过 程中 , 降雨量 y (mm) 与 时间 t (min) 的函 数关系可 近似地表 示为

y ? f (t ) ? 10t ,则在时刻 t ? 40 min 的降雨强度为(
A. 20mm B. 400 mm C.

)

1 mm / min 2

D.

1 mm / min 4

【解题思路】先对 t 的求导,再代 t 的数值. 解析: f '(t ) ?

1 5 5 1 ? 10 ? , ? f '(40) ? ? 选D 2 10t 10t 400 4

考点 7: 导数与函数的单调性 题型 1.讨论函数的单调性

? 1 ,x ? 1 ? 例 7、 设k ?R , 函数 f ( x) ? ?1 ? x ,F ( x) ? f ( x) ? kx ,x ? R , 试讨论函数 F ( x) ?? x ? 1,x ≥1 ?
的单调性. 【解题思路】先求导再解 f '( x) ? 0 和 f '( x) ? 0

? 1 ? kx, ? 【解析】 F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ?
对于 F ( x) ?

x ? 1, x ? 1,

? 1 ? k, 2 ? ? (1 ? x) F '( x) ? ? ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1

x ? 1, x ? 1,

1 ? kx( x ? 1) , 1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ( ??,1 ?

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

对于 F ( x) ? ?

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? 上是减函数,在 ?1 ? , ?? ? 上是增函数。 2 ? 2 4k ? ? 4k ?

题型 8.由单调性求参数的值或取值范围 例 8: 若 f ( x) ? ax ? x 在区间[-1,1]上单调递增,求 a 的取值范围.
3

【解题思路】解这类题时,通常令 f '( x) ? 0 (函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递增)或

f '( x) ? 0 (函数 f ( x) 在区间 [a, b ] 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法
获解. 解析:

f ?( x) ? 3ax2 ? 1 又 f ( x) 在区间[-1,1]上单调递增
1 1 在 xt [-1,1]的最大值为 ? 2 3x 3

? f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ? 0 在[-1,1]上恒成立 即 a ? ?
?a ? ? 1 3
故 a 的取值范围为 [? , ??]

1 3

题型 9.借助单调性处理不等关系 例 9. 当 x ? 0 ,求证 e ? 1 ? x
x

【解题思路】先移项,再证左边恒大于 0 解析:设函数 f ( x) ? ex ? (1 ? x)
x 0

f ?( x) ? ex ?1

当 x ? 0 时, e ? e ? 1 , ? f ?( x) ? e x ?1 ? 0 故 f ( x) 在 [0, ??) 递增, ? 当 x ? 0 时,

f ( x) ? f (0) ,又 f (0) ? e0 ? (1 ? 0) ? 0 ,? f ( x) ? 0 ,即 e x ? (1 ? x) ? 0 ,故 e x ? 1 ? x
(三)课堂练习:

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 . x 1 2 解析: 曲线 y ? 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1, 1), 两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x x 3 -1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4
1. 曲线 y ? 点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可. 2. 某质点的运动方程是 S ? t? (2t ? 1) ,则在 t=1s 时的瞬时速度为
2





A.-1 解:B 点拨:计算 lim
?x?0

B.-3

C .7

D.13

?s s (1 ? ?t ) ? s(1) ? 即可 ?t ?t

3. 已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程. 解:设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x12),与 C2 相切于 Q(x2,-(x2-2)2) 对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ① 2 对于 C2:y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2) =-2(x2-2)(x-x2),即 y=-2(x2-2)x+x22-4 ② 2 2 ∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x1 =x2 -4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 ∴直线 l 方程为 y=0 或 y=4x-4 点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率. 4. f ?( x ) 是 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3



解析: f '( x) ? x2 ? 2 故 f ?(?1) =3 5. (广东省 2008 届六校第二次联考) y ? x cos x 在 x ? 解析: y ' ? cos x ? x sin x 故填

?
3

处的导数值是___________.

1 3 ? ? 2 6

6. 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、 B 两点, O 是坐标原点, P 是抛物线的弧 上求一点 P,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 .

解析:|AB|为定值,△PAB 面积最大,只要 P 到 AB 的距离最大,只要点 P 是抛物线的平 行于 AB 的切线的切点,设 P(x,y).由图可知,点 P 在 x 轴下方的图象上 ∴y=-2

x ,∴y′=-

1 1 1 1 ?? ,∵kAB=- ,∴- 2 2 x x

∴x=4,代入 y2=4x(y<0)得 y=-4. ∴P(4,-4) (四)课堂小结: 这节课复习了导数的定义、物理意义与几何意义、8 个导数公式、4 个导数法则及其导数的单 调性、极值、最值,同学们要在理解的基础上好好好掌握它们,并能在今后解题中灵活合理 运用。 (五)作业设计: 1、复习巩固消化本节课所讲内容,完成所发配套练习。 2、作业: (1) 若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3 分析:本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

2 2 解析:f′(x)=3x2-2ax=3x(x- 3 a),由 f(x)在(0,2)内单调递减,得 3x(x- 3 a)≤0, 2 即 3 a≥2,∴a≥3.答案:A
(2)函数 y=x3+x 的单调增区间为 A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.不存在 2 3 解析:∵y′=3x +1>0 恒成立,∴y=x +x 在(-∞,+∞)上为增函数,没有减区间. 答案:A

(3)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(Ⅰ )求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ ) 若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; 解析: (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

1 2

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴ ∵ F ? x ? 在 ? a, ??? 上单调递增。
由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ??? 。 (II) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 x0 2 ? 2 ?max

1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 。 2 2 1 1 a ? ,∴ amin ? ∴ 2 2
当 x0 ? 1 时, ? (六)板书设计:

七、教学后记:对本章知识点要梳理清楚,要求学生能熟练掌握。结合例题、练习题进一步 强调知识点的理解掌握。常见题型及其常见解法,在例题及练习题中加以强调。容量或许太 大,可以根据学情及实际情况作适当处理。


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