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2018届高三数学二轮复习 角与距离 专题卷(全国通用) word版(含参考答案)


专题对点练 17 1. 角与距离 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (1)证明 由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE, 所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF? 平面 ABEF,故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,由(1)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点, 标系 G-xyz. 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐 由(1)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|= 可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ). , 由已知,AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF. 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°. 从而可得 C(-2,0, 所以 ). =(1,0, ), =(0,4,0), =(-3,-4, ), =(-4,0,0),设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量, 则 所以可取 n=(3,0,- ). 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则 同理可取 m=(0, ,4), 则 cos<n,m>= =- . 故二面角 E-BC-A 的余弦值为2.(2017 山东,理 17) . 如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的,G 是 (1)设 P 是 的中点. 上的一点,且 AP⊥BE,求∠CBP 的大小; (2)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E-AG-C 的大小. 解 (1)因为 AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP? 平面 ABP,AB∩AP=A,所以 BE⊥平面 ABP,又 BP? 平面 ABP, 所以 BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°. (2)解法一:取 的中点 H,连接 EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°, 所以四边形 BEHC 为菱形,所以 AE=GE=AC=GC= 取 AG 中点 M,连接 EM,CM,EC,则 EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC 为所求二面角的平面角. 又 AM=1,所以 EM=CM= . =2 . 在△BEC 中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得 EC =2 +2 -2×2×2×cos 120°=12,所以 EC=2 2 2 2 ,因此△EMC 为等边三角 形,故所求的角为 60°. 解法二:以 B 为坐标原点,分别以 BE,BP,BA 所在的直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系. 由 题 意 得 A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,0), ,3),C(-1, ,0), 故 =(2,0,-3), 由 =(1, 可得 =(2,0,3),设 m=(x1,y1,z1)是平面 AEG 的一个法向量. 取 z1=2,可得平面 AEG 的一个法向量 m=(3,设 n=(x2,y2,z2)是平面 ACG 的一个法向量. 由 可得 ,2). 取 z2

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