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第5讲 数列的综合应用


第5讲
【2013 年高考会这样考】

数列的综合应用

1.以递推关系为背景,考查等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 2.考查数列与函数、不等式等交汇的问题. 【复习指导】 1.本节复习时,需要有扎实的基本功,通过一定量的题型训练,掌握解题的通 性、通法,但不要一味地做难度较大的题目. 2.认真研究数列与其他知识点

的交汇题,以增加解题经验,选准突破口. 3.对数列应用题,要培养从中筛选信息的能力以及建立数列模型的能 力 .

基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表

不同点 (1)强调从第二项起每一项与前项 等差数列 的差; (2)a1 和 d 可以为零; (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前 等比数列 项的关系; (2)结果都必须是同一个常数; (3)数列都可由 a1,d 或 a1,q 确定 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.

相同点 (1)强调从第二项 起每一项与前项 的比; (2)a1 与 q 均不为 零; (3)等比中项有两 个值

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄 清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解.

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 3.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加 (或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比 模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化 而变化时,应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系.

一条主线 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组 合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中 的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数列题目条件已指明 是等差(或等比)数列,但有的数列并没有指明,可以通过分析,转化为等差数列 或等比数列,然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题. (2)数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列 是两种最基本、 最常见的数列, 它们是研究数列性质的基础, 它们与函数、 方程、 不等式、 三角等内容有着广泛的联系,等差数列和等比数列在实际生活中也有着 广泛的应用, 随着高考对能力要求的进一步增加,这一部分内容也将受到越来越 多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比 数列,则 a2 的值为( A.-4 ). B.-6

C.-8

D.-10

解析 由题意知:a2=a1a4.则(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得:a2=-6. 3 答案 B 2.(2011· 运城模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 4a1,2a2,a3 成等 差数列,则 S4=( A.7 C.15 ). B.8 D.16

解析 设数列{an}的公比为 q,则 4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,即 q2-4q +4=0, 1-24 ∴q=2.∴S4= =15. 1-2 答案 C 3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,且 a6=b7, 则有( ).

A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小关系不确定 解析 记等比数列{an}的公比为 q(q>0),由数列{bn}为等差数列可知 b4+b10= ?1+q ? 2b7,又数列{an}是各项均为正数的等比数列,∴a3+a9=a3(1+q )=a6? 3 ?= ? q ?
6 6 6 1+q 1 ?1+q ? b7? 3 ?,又 q3 =q3+q3≥2(当且仅当 q=1 时,等号成立),∴a3+a9≥2b7, ? q ? 6

即 a3+a9≥b4+b10. 答案 B 4.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c =10,则 a=( A.4 ). B.2 C.-2 D.-4

解析 由 c,a,b 成等比数列可将公比记为 q,三个实数 a,b,c,待定为 cq, cq2,c.由实数 a、b、c 成等差数列得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,又等比数列中 c≠0,所以 2q2-q-1=0,解一元二次方程得 q=1(舍去,否则三个实数相等)

1 a 5 或 q=-2,又 a+3b+c=a+3aq+q=-2a=10,所以 a=-4. 答案 D 5.(2012· 苏州质检)已知等差数列的公差 d<0,前 n 项和记为 Sn,满足 S20>0, S21<0,则当 n=________时,Sn 达到最大值. 解析 ∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0, S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0, ∴n=10 时,Sn 最大. 答案 10

考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例 1】?在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列. [审题视点] 第(1)问列首项 a1 与公差 d 的方程组求 an;第(2)问利用定义证明. (1)解 由 an=a1+(n-1)d,a10=30,

?a1+9d=30, a20=50,得方程组? ?a1+19d=50, ?a1=12, 解得? ∴an=12+(n-1)· 2=2n+10. ?d=2. (2)证明 由(1),得 bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n,

bn+1 4n+1 ∴ b = 4n =4. n ∴{bn}是首项是 4,公比 q=4 的等比数列. 对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的 通项及前 n 项和;分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思 想方法. 【训练 1】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式;

(2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15, 又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn. 解 (1)由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,则 an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1. 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴an=3n-1. (2)设{bn}的公差为 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可设 b1=5-d,b3=5+d,又 a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得 d1=2,d2=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0, ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ n?n-1? 2 2 ×2=n +2n. 数列与函数的综合应用

考向二

【例 2】?(2012· 南昌模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*, 点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; n+1 (2)当 b=2 时,记 bn= 4a (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n [审题视点] 第(1)问将点(n,Sn)代入函数解析式,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2),得到 an,再利用 a1=S1 可求 r. 第(2)问错位相减求和. 解 (1)由题意, n=bn+r, n≥2 时, n-1=bn-1+r, S 当 S 所以 an=Sn-Sn-1=bn-1· (b -1), 由于 b>0 且 b≠1,所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列,又 a1=b+r, b?b-1? a2 a2=b(b-1),a =b,即 =b, b+r 1 解得 r=-1. n+1 n+1 (2)由(1)知,n∈N*,an=(b-1)bn-1=2n-1,所以 bn= n-1= n+1 . 4×2 2

n+1 2 3 4 Tn=22+23+24+?+ n+1 , 2 n+1 1 2 3 n Tn=23+24+?+ n+1+ n+2 , 2 2 2 n+1 1 2 1 1 1 两式相减得2Tn=22+23+24+?+ n+1- n+2 2 2 n+1 3 1 =4- n+1- n+2 , 2 2 3 1 n+1 3 n+3 ∴Tn=2-2n- n+1 =2- n+1 . 2 2 此类问题常常以函数的解析式为载体,转化为数列问题,常用的数学 思想方法有“函数与方程”“等价转化”等. 【训练 2】 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),设 f(a1),f(a2),?,f(an)(n∈N+)是首 项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)设 a 为常数,求证:{an}是等比数列; (2)若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn,当 a= 2时,求 Sn. (1)证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,


∵logaan=2n+2,∴an=a2n 2. a a an ∴ = 2?n-1?+2= a2n =a2(n≥2)为定值. an-1 a ∴{an}是以 a4 为首项,a2 为公比的等比数列. (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.
2n+2 2n+2

当 a= 2时,bn=(2n+2)( 2)2n+2=(n+1)2n+2. Sn=2·3+3·4+4·5+?+(n+1)·n+2,① 2 2 2 2 2Sn=2·4+3·5+4·6+?+n·n+2+(n+1)·n+3,② 2 2 2 2 2 ①-②得 -Sn=2·3+24+25+?+2n+2-(n+1)·n+3 2 2 24?1-2n-1? =16+ -(n+1)·n+3 2 1-2 =16+2n+3-24-n·n+3-2n+3=-n·n+3. 2 2 ∴Sn=n·n+3. 2 考向三 数列与不等式的综合应用

【例 3】?(2011· 惠州模拟)在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; S1 S2 Sn (3)是否存在 k∈N*,使得 1 + 2 +?+ n <k 对任意 n∈N*恒成立,若存在,求出 k 的最小值,若不存在,请说明理由. [审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为 a3+a5 与 a3a5 的关系求 a3 与 a5; 进 Sn 而求 an;第(2)问先判断数列{bn},再由求和公式求 Sn;第(3)问由 确定正负项, n S1 S2 Sn 进而求 1 + 2 +?+ n 的最大值,从而确定 k 的最小值. 解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, ∴a2+2a3a5+a2=25,∴(a3+a5)2=25, 3 5 又 an>0,∴a3+a5=5,又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4,而 q∈(0,1), 1 ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,∴q=2,a1=16, ?1? ∴an=16×?2?n-1=25-n. ? ? (2)∵bn=log2an=5-n, ∴bn+1-bn=-1, b1=log2a1=log216=log224=4, ∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, n?9-n? ∴Sn= 2 . (3)由(2)知 Sn= n?9-n? Sn 9-n ,∴ n = 2 . 2

Sn Sn 当 n≤8 时, n >0;当 n=9 时, n =0; Sn 当 n>9 时, n <0. S1 S2 S3 Sn ∴当 n=8 或 9 时, 1 + 2 + 3 +?+ n =18 最大.

S1 S2 Sn 故存在 k∈N*,使得 1 + 2 +?+ n <k 对任意 n∈N*恒成立,k 的最小值为 19. 解决此类问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和 函数之间的密切联系, 数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究 函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进 行灵活的处理. 【训练 3】 (2012· 岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28, 且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog2an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n·n+1>50 成立的正整数 n 的 2 最小值. (1)解 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.

依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 可得 a3=8,∴a2+a4=20, ? 1 2 ?q= , ?a1q =8, ?q=2, 所以? 解之得? 或? 2 3 ?a1q+a1q =20, ?a1=2 ?a1=32. ? 又∵数列{an}单调递增,所以 q=2,a1=2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. 1 (2)因为 bn=2nlog22n=-n·n, 2 所以 Sn=-(1×2+2×22+?+n·n), 2 2Sn=-[1×22+2×23+?+(n-1)·n+n·n+1], 2 2 两式相减,得 Sn=2+22+23+?+2n-n·n 1=2n 1-2-n·n 1. 2 2 要使 Sn+n·n+1>50,即 2n+1-2>50,即 2n+1≥52. 2 易知: n≤4 时, n+1≤25=32<52; n≥5 时, n+1≥26=64>52.故使 Sn+n·n 当 2 当 2 2
+1 + + +

>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

难点突破 14——数列与解析几何、三角的交汇问题 从近几年新课标高考试题可以看出,不同省市的高考对该内容要求的不尽相同, 考生复习时注意把握.数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题, 关键是充分利用解析几何的有关性质、公式,建立数列的递推关系式,然后借助 数列的知识加以解决. 一、数列与解析几何交汇 【示例】? (2011· 陕西)如图,

从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复上述过程得到一系列 点:P1,Q1;P2,Q2;?;Pn,Qn.记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,?,n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|.

二、数列与三角交汇 【示例】? (2011· 安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成 递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lg Tn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=tan an· an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. tan


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