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7.指数与指数函数


高二升高三数学

指数与指数函数
知识总结
一、指数
1、根式 若 x =a(n>1,且 n ? N ),则 x 叫做 a 的 n 次方根.
n

?

当 n 为奇数时,a 的 n 次方根是 n a . 当 n 为偶数时,若 a>0,a 的 n 次方根有 2 个,这两

个方根互为相反数,即 ? n a ,其 中正的一个 n a 叫做 a 的 n 次算术根;若 a=0,0 的 n 次方根只有一个,是 0;若 a<0,a 的 n 次方根不存在(在实数范围内). 当 n 为奇数时, n a n ? a . 当 n 为偶数时, n a n ? ? 2、指数概念的推广 ①零指数.若运用指数运算法则, a ? a ? a
n n n?n

?a ?? a

(a?0), (a<0).

? a 0 ,又有 a n ? a n ? 1 ,因此规定

a 0 ? 1(a ? 0) .
②负 整 数 指 数 . 若 运 用 指 数 运 算 法 则 , 1 ? a ? a ? a ? a
n 0 n 0? n

? a ?n , 又 有

1? an ?

1 1 ?n ? ,因此规定 a ? n ( a ? 0, n ? N ) . n a a
m n n m ?n n

③正 分 数 指 数 . 若 运 用 指 数 运 算 法 则 , (a ) ? a
m

? am , 因 此 规 定

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1).
m 0 m

④负 分 数 指 数 , 若 运 用 指 数 运 算 法 则 , 1 ? a n ? a ? a n ? a

0?

m n

?a

?

m n

,又有

1? a ?

m n

1 a
m n

,因此规定 a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n
p

a

m

(且a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1) .

⑤无理数指数,若 a>0 ,p 是无理数,则 a 也表示一个实数(因知识的原因,教材中对 具体的规定已省略) 3、指数运算法则 若 a>0,b>0, r , s ? Q ,则有下列指数运算法则: ①a ?a ? a
r s r ?s


让结局不留遗憾 1 让过程更加完美

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② (a r ) s ? a rs ; ③ (ab) r ? a r b r . 实际上上述法则当 r,s 为无理数时也成立.

二、指数函数
(1)形如 y=a (a ? 0, a ? 1) 的函数叫做指数函数,因此 y ? ( ) , y ? ? 都是指数函数,
x

1 3

x

x

而 y ? 2 ? 3x , y ? ?4 x 均不能称为指数函数.
x x (2)在 y=a 中,当 a ? 0 时 a 可能无意义,当 a>0 时 x 可以取任何实数,当 a=1 时,

a x ? 1( x ? R) , 无 研 究 价 值 , 且 这 时 y ? 1x ? 1 不 存 在 反 函 数 , 因 此 规 定 y=ax 中
a ? 0, 且a ? 1.
(3)指数函数的图象和性质

y ? ax

0 < a < 1

a > 1





定义域 值域 性 质 定点

R
(0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数

单调性 对称性
x

y ? a x 和 y ? a ? x 关于 y 轴对称
x x

(4)指数函数 y=a 的性质可以由 y ? 10 , y ? 2 , y ? ( ) 的图像这三条曲线来记忆.
x

1 2

由图可见,当 a>1 时,指数函数 y=a 的底数越大,

x

y=( 2 )
它的图象在第一象限部分越 “靠近 y 轴” ,在第二象限部分越
x “靠近 x 轴”.又因函数 y=a 和 y ? ( ) 的图像关于 y 轴对称,

1x

yy=10x x y=2 1 0 1 x

1 a

x

1 x ?x x 实际上 y ? ( ) ? a ,因此当 0<a<1 时,指数函数 y=a 的底数 a

越小,它的图像在第二象限部分越“靠近 y 轴” ,在第一象限部分越“靠近 图11-1 x 轴”.

让结局不留遗憾

2

让过程更加完美

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例题分析
3
2 1、化简[ 3 ( ?5) ] 4 的结果为 (

B ) D.-5

A.5

B. 5

C.- 5

3

2、化简
3

ab 2 ? a 3 b 2
1 6 1 2 4

(a, b 为正数)的结果是( C )

b ? (a b )
b a
1 2 1 3

A.
2 3 1 2

B.ab
1 5

C.

a b

D.a b

2

1 3、 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) =__________ 3
4、已知 x ?

2 ab 1 a b 的值。 ( ? ), (a ? b ? 0), 求 2 b a x ? x2 ?1
3

5、若 x ? x

1 2

?

1 2

x2 ? x 2 ?3 ? 3 ,求 2 的值。 x ? x ?2 ? 2

?

3

6、若函数 y ? a x ? (b ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第一、三、四象限,则一定有( A ) A. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0
|x|

B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 1

7、方程 2 +x=2 的实根的个数为___2____ 8、函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x

D



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2 B )
x

D、 1 ? a ? 2

9、若 ? 1 ? x ? 0 ,则下列不等式中成立的是(

?1? A.5? x ? 5 x ? ? ? ? 2?

x

?1? B.5 x ? ? ? ? 5 ? x ? 2?

x

?1? C.5 x ? 5 ? x ? ? ? ? 2?

?1? D.? ? ? 5 ? x ? 5 x ? 2?

x

10、求下列函数的定义域和值域

?1? (1) y ? ? ? ?2?

? x2 ? x?2

(2) y ?

2x 1? 2x

让结局不留遗憾

3

让过程更加完美

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1 2 (3) y ? ( ) 2 x ? 2 3

?1?x (4) y ? ? ? ?2?

1

11、函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是 A、 ?? ?,0? 12、若函数 f ? x ? ?

(A )

B、[0,+∞) C、 (-∞,0) D、 (-∞,+∞)

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围



13、函数 y ? a x?3 ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点____________。

?1? 14、函数 y ? ? ? ?2?

x2 ?2 x

的单调增区间为_____________
2

15、函数 f ( x) ? 2 x A. [6,+ ?)

?2( a?1) x?1

在区间 [5,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( C ) C. (??,6] D. (??,6)

B. (6,??)
x2 ? 2 x ?5

?1? 16、已知函数 y ? ? ? ? 3?

,求其单调区间及值域。

17、函数 y ? A、奇函数

2x ? 1 是( A 2x ? 1
B、偶函数

) C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

1 1 18、若函数 f ( x ) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ ? 2 4 ?1
19、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数。

让结局不留遗憾

4

让过程更加完美


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