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江苏省2015届高考数学解答题每日一练系列——应用题,解析几何10


江苏高考数学解答题每日一练——应用题, 解析几何

编号: 010

1、某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,

? 1 ? 96 ? x ?1 ? x ? c, x ? N ? 次品率 P 与日产量 x(件)之间大体满足关系: P ? ? . ? 其中c为小

于96的正常数? ? ? 1 2 1 ? x ? c , x ? N ? ? ? ? ? x ? c, x ?N? ? 96 ? x ? ?3 P ?? ? 其中c为小于96的正常数? ?2 ? x ? c, x ? N ? ? 次品数 ?3 P ? 0.1 注:次品率 P ? ,如 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品.

生产量

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损

A 元,故厂方希望定出合适的日产量. 2

(Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?

2、已知圆 C 过点 P(1,1) ,且与圆 M : ( x ? 2) (Ⅰ)求圆 C 的方程;

2

? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称.

(Ⅱ)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判 断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

江苏高考数学解答题每日一练——应用题, 解析几何

编号: 010

2 1 2 A 1、讲解: (Ⅰ)当 x ? c 时, P ? ,所以,每天的盈利额 T ? xA ? x ? ? 0 . 3 3 3 2
当 1 ? x ? c 时, P ? 每天的盈利额
? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T ? ?1 ? x ? ?A ? xA ? ? ? x? ? ? 2 ? 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ? ?

1 1 ? ? ? 1 ? ,所以,每日生产的合格仪器约有 ?1 ? x 件,次品约有 ? ? ? x 件.故, 96 ? x ? 96 ? x ? ? 96 ? x ?

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? x?c ?0,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0. 当 1 ? x ? c 时, T ? ? x ?

1? x ? c



? ? ?

? 3x ?A. 2 ? 96 ? x ? ? ?

为表达方便,令 96 ? x ? t ,则 0 ? 96 ? c ? t ? 95 .故

? 11 ? t ? ? ? ? ? 11 ? ? 3 ? 96 144 144 144 ? ? 147147 144 ? 144 ? A ?? 97 T ? ?T 96 t ?? t ? 3 ? 96 ??t ? A ? t t? ? 2 t ? A ? A ? 0 . (等号当且仅当 t ? ,即 ? ? ?? A? ?97 97 ?? ? A?? 97 ? 2 t ? A ? A ? 0 ? ? ? 96 ? ? ? ?? 22 ? ? 2 2 t 2t 2t ? ? ? ? 22 tt ? t t ? ? ? ? ? ?
.所以, t ? 1 2?即x ? 8 8 ? 时成立) (1)当 c ? 88 时, Tmax ?

147 A (等号当且仅当 x ? 88 时成立) . 2 144 在 t ? (12, ??) 上单调递 t

(2) 当 1 ? c ? 88 时,由 1 ? x ? c 得 12 ? 96 ? c ? t ? 95 ,易证函数 g ? t ? ? t ? 增(证明过程略) . 所以, g (t ) ? g ?96 ? c ? .所以,

2 ? 144 ? 189c ? 2c 2 ? 144 144 ? 1 144? 1 ?? 1 ? ? ? 1 T A ? 97 ? 96 ? c ? A ? A? ?0 0. T? ???97 97 ? ?tt ? ? A ? 97 ? ? ? ? ?A ? ? ? ? ? tt ? 96 ? c ? 2 2 192 ? 2c ?? 2 ? ? ? 2 ? ?

即 Tmax ? ?

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? (等号当且仅当 x ? c 时取得) ? A. 192 ? 2c ? ?

综上,若 88 ? c ? 96 ,则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 88 ,则当日产量为 c 时,可获得最 大利润.

江苏高考数学解答题每日一练——应用题, 解析几何

编号: 010

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 2、解:(Ⅰ)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? (3 分) b ? 2 b ? 0 ? ? ?1 ? a?2 ?

? y 2 ? r 2 ,将点 P 的坐标代入得 r 2 ? 2 ,故圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 2 ………(5 分) 2 2 (Ⅱ)设 Q ( x, y ) ,则 x ? y ? 2 , 2 2 且 PQ ? MQ ? ( x ?1, y ?1) ? ( x ? 2, y ? 2) = x ? y ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2
则圆 C 的方程为 x
2

所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)…(10 分) (Ⅲ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) 2 2 2 ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 2 2 ? x ?y ?2

(11 分)

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 同理, xB ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2

(13 分)

k 2 ? 2k ? 1 , 1? k 2 yB ? yA ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) ? ? ? 1 = kOP 所以 k AB ? xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行… ………(16 分)


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