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卓越联盟自主招生数学试题及答案(2013年)


2013 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.在每小题给出的 4 个结论中,只有一项是符 合题目要求的. ) (1)已知 f ( x) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (0, ??) 上递增,则 (A) f (2 ) ? f (? log 2 5) ? f ( ?3)
0.7

(B) f (?3

) ? f (2 ) ? f (? log 2 5)
0.7

(C) f (?3) ? f (? log 2 5) ? f (2 )
0.7

(D) f (2 ) ? f (?3) ? f (? log 2 5)
0.7

(2)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 相邻两个零点的距离为

?
2

) 的图象经过点 B(?

?
6

, 0) ,且 f ( x) 的

? ,为得到 y ? f ( x) 的图象,可将 y ? sin x 图象上所有点 2 1 ? (A)先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 1 ? (B) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? (C) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? (D) 先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3
(3)如图,在 A, B, C, D, E 五个区域中栽种 3 种植物,要求同一区域中只种 1 种植物,相 邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数为 (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,对任意的 x ? R ,有

f (? x) ? f ( x) ? x 2 ,且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x .若

f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为
(A) [1, ??) (B) (??,1] (C) (??, 2] (D) [2, ??)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) (5)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐 8 p
???? ????

近线方程为



(6)设点 O 在 ?ABC 的内部,点 D , E 分别为边 AC , BC 的中点,且 OD ? 2 DE ? 1 , 则 OA ? 2OB ? 3OC ? (7)设曲线 y ?

??? ?

??? ?

????



2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为 D ,向区域 D 内随机投一点,则该点落
2 2

入区域 {( x, y ) ? D x ? y ? 2} 内的概率为



1

(8)如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD 与 OE 垂直,垂足是 D ,割线 EC 交圆 O 于 B, C ,且

?ODC ? ? , ? DBC ? ? ,
则 ?OEC ? (用 ? , ? 表示) .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.

(10) (本题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 ,斜率为 k 的直线 l 过点 E (0,1) 且与椭圆交于 2 3 a 4

??? ??? ? ? (1)求椭圆方程; (2)若直线 l 与 x 轴相交于点 G ,且 GC ? DE ,求 k 的值; C , D 两点.
(3)设 A 为椭圆的下顶点, k AC 、 k AD 分别为直线 AC 、 AD 的斜率,证明对任意的 k 恒 有 k AC ? k AD ? ?2 .

2

(11) (本题满分 15 分) 设 x ? 0, (1)证明: e x ? 1 ? x ? (2)若 e x ? 1 ? x ?

1 2 x ; 2

1 2 y x e ,证明: 0 ? y ? x . 2

3

(12) (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? nan ? ? , n ? N , ? ? R .
2 *

(1)若 an ? 2n 对 ?n ? N 都成立,求 ? 的取值范围;
*

(2)当 ? ? ?2 时,证明

1 1 1 ? ?? ? ? 2(n ? N * ) . a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

4

答案:(1)A;

(2)B;

(3)C; (7) 1 ?

(4)B.

(5) y ? ? x ; (6)2;

1

?

; (8) ? ? ? .

5

6

7


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