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高一(I)部数学学案(17)-对数的性质 (8)


用二分法求方程的近似解
一、 学习目标: 1、了解二分法是求方程近似解的一种方法,能够借助于计算器用二分法求方程的近似 解 2、理解二分法的步骤与思杨 3、已知方程零点的情况,求参数的取值范围 二、学习方法指引: 1、自学课本 89 页,90 页,做 92 页练习 1、2 2、本节课主要是理解 3、体会化归与转化的思想方法的应用 三、基础知识再现: 1、二分法的概念 对

于在区间[a, b]上连续不断且_________< 0 的函数 y ? f (x) , 通过不断把函数 f (x) 的 零点所在的区间__________, 的方法叫二分法。 使区间的两个端点逐步逼近________,进而得到零点________

2、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤: (1)确定区间[a, b], 验证:________,确定精确度 ? (2)求区间(a , b)的中点 c (3)计算 f (c) 若 f (c) =________, 则 c 就是函数的零点 若 f (a ) · f (b) ________0,则令 b = c(此时零点 x0∈(a, c)) 若 f (c) · f (b) ________0,则令 a = c(此时零点 x0∈(c, b)) (4)判断是否达到精确度 ? 即若 | a – b | ________ , 则得到零点的近似值为 a(或 b) ,否则重复(2)~(4) 3、二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方程的________ 四、对概念的分析和理解 1、用二分法求函数零点的条件 若函数零点左右两侧函数值符号相反,则此零点为函数的变号零点,从图象来看,若图 象穿过零点,则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例 如函数: (1) y ? x
2

?

(2) y ? x ? 2 x ? 3
2

函数(1)不能用二分法 函数(2)可用二分法 2、用二分法求方程的近似解需注意的问题: (1)看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束 (2)初始区间的选定要尽可能的小,不同的初始区间结果是相同的,但二分法的次数却 相差较大。
1

(3)在二分法的第四步,由 | a – b | < ? , 便可判断零点的近似值为 a 或 b, 即只需进行 有限次运算即可。 (4)用二分法求出的零点,一般是零点的近似值,并不是所有函数都可以用二分法求零 点。 五、典型例题: 例 1:下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

解:应选 B,利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。在选项 B 中不满足

f (a ) · f (b) < 0 , 不能用二分法求零点,由于选项 A、C、D 中零点两侧函数值异号,故采
用二分法求零点。 例 2:关于 x 的方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 ,a 取何值时方程: (1)有一正一负根
2

(2)一个根比 1 大,另一个根比 1 小? 解:令 f ( x) ? ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0   ? 0) (a
2

(1) 转化为二次函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有两个交点,一个在 x 正半轴上,一个在 x 负半 轴上,即两种情况: 满足条件为:

? a?0 ? ? f (0) ? 0



? a?0 ? ? f (0) ? 0



0 < a < 1 因此, a 的取值范围是 (0, 1)

(2)转化为二次函数 f (x) 的图象与 x 轴的两个交点,一个在(1, 0 )的左侧,一个在右侧。 即有两种情况: 满足条件为:

? a?0 ? ? f (1) ? 0



? a?0 ? ? f (1) ? 0

∴ a > 0 因此, a 的取值范围是 (0, +∞) 例3: (1)关于 x 的方程 x ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 14 ? 0 ,有两个实根,一根小于1,另一
2

根大于 3, 求 m 的取值范围。
2 (2) 关 于 x 的 方 程 x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 , 有 两 个 实 根 ? , ? , 且 满 足

0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 ,求 m 的取值范围
2

解: (1)令 f (x) = x 2 ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 14的图象与 x 轴的 两个交点,一个点在区间(-∞, 1)内,另一个点在区间(3, +∞) 内,其条件为:

21 ? ?m ? ? 4 ? f (1) ? 0 21 , 即: ? , ∴m ? ? ? 41 4 ? f (3) ? 0 ?m ? ? 8 ? 21 因此,m 的取值范围(-∞, ). 4
(2)令 f ( x) ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 的图象与 x 轴有两个交 点,一个点在区间 (0, 1) 内,另一个点在区间 (1, 4) 内,其条件为:

? f ( 0) ? 0 ? 2m ? 6 ? 0 7 5 ? ? ? f (1) ? 0 , 即: ? 4m ? 5 ? 0 , ∴ ? ? m ? ? 5 4 ? f ( 4) ? 0 ?10m ? 14 ? 0 ? ?
因此,m 的取值范围 ( ?

7 5 ,  ) ? 5 4

小结:解决一元二次方程根的分布的方法: (1) 把方程根的问题转化成对应函数的零点 (2) 借助于函数的图像,利用函数的图象的直观性,画出适合条件的图形。 (3) 从图形上观察所需的条件。 (4) 解一个等价的不等式或不等式组即可 六、课后练习与提高 1、定义在 R 上的函数 f (x) 的图像是连续不断的曲线,已知函数 f (x) 在区间 (a, b) 上有一 个零点 x0, 且 f (a ) · f (b) < 0。用二分法求 x0 时,当 f ( 是( A ) (a, b)外的点 B

a?b ) ? 0 时,则函数 f (x) 的零点 2

x?

a?b 2

C 区间 (a,

a?b a?b ) 或 ( , b)内的任意一个实数 D 2 2

x?a 或

x?b

2、已知函数 y ? f (x) 的图像是连续不断的,有如下的 x, f (x) 对应值 x 1 136.136 2 15.552 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488 ) D ) D (2, 3 ) 4个 6 -232.064 7 11.238

f (x)

则方程 f (x) =0存在实数解的端点处为整数的区间有( A 1个 B 2个 C 3个

3、用二分法求函数 f (x) =2x – 3 的零点时,初始区间可选为( A (-1, 0 ) B (0, 1 ) 4、下列函数零点不能用二分法求解是( C (1, 2 ) )
3

A C

f ( x) ? x 3 ? 1 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

B f ( x) ? ln x ? 3 D

f ( x) ? ? x 3 ? 4 x ? 1
( )

5、已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的连续函数且 f (1) · f ( 2) > 0, 则 y ? f (x)

A 在区间 [1, 2]上没有零点 B 在区间 [1, 2]有两个零点 C 在区间 [1, 2]上零点个数为偶数 D 零点个数不确定 6、若函数 f (x) 的图像是连续不断的,且 f (0) ? 0 , f (1) ? f (2) ? f (4) ? 0 ,则下列命题正 确的是( ) A 函数 f (x) 在区间 (0, 1) 内有零点 B 函数 f (x) 在区间 (1, 2) 内有零点 C 函数 f (x) 在区间 (0, 2) 内有零点 D 函数 f (x) 在区间 (0, 4) 内有零点 7、若函数 f (x) 唯一零点同时在区间(0, 16), (0, 8) , (0, 4) , (0, 2)内,那么下列命题正确 的是( ) A 函数 f (x) 在区间 (0, 1) 内有零点 B 函数 f (x) 在区间(0, 1) 或 (1, 2) 内有零点 C 函数 f (x) 在区间 [2, 16] 内无零点 D 函数 f (x) 在区间 (1, 16) 内无零点 8、用二分法研究函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 的零点时,第一次算得 f (0) ? 0,  f (0.5) ? 0 ,可 得其中一个零点 x0∈_________, 第二次应计算_____________ 9、已知函数 f (x) 的图像是连续不断的, f (1) · f ( 2) < 0,用二分法求 f (x) 在 (1, 2)内的零 点时,第一步是__________. 10 、 在 用 二 分 法 求 方 程 f (x) = 0 在 [0, 1] 上 的 近 似 解 时 , 经 计 算 , f (0.625) ? 0 ,

f (0.75) ? 0 , f (0.6875 ? 0 ,即得出方程的一个近似解为__________(精确度为 0.1) ) 11、已知图象连续不断的函数 y ? f (x) 在区间 (0, 0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零
点(精确度为 0.01)的近似值,则应将区间(0, 0.1)等分的次数至少为___________ 12、关于 x 的方程 mx2 ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 14 ? 0 有两实根,且一个大于 4, 一个小于 4, 求 m 的取值范围

13、已知二次函数 f (x) 满足 f (0) ? 3,  f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3x (1)求函数 f (x) 的解析式

(m (2)令 g ( x) ? f (| x |) ? m   ? R) ,若函数 g(x)的4个零点,求实数 m 的取值范围。

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