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常用放缩方法技巧


常用放缩方法技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: ⑵将分子或分母放大(或缩小)

a2 ?1 ? a



n(n ? 1) ? n
n ? (n ? 1) 2

n(n ? 1) ? lg 3 ? lg 5 2 lg 3 ? lg 5 ? ( ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ⑶利用基本不等式,如: ; 2
⑷二项式放缩:
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

(5)利用常用结论: Ⅰ.
1 k

的放缩 :

2 2 2 ? ? k ? k ?1 2 k k ? k ?1

Ⅱ. 1 的放缩(1) :
k2

1 1 1 (程度大) ? ? k (k ? 1) k 2 k (k ? 1)
k 1 1 1 1 1 (程度小) ? ? ( ? ) k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1
2

Ⅲ. 1 的放缩(2): 1 ? 2 2
k

4 1 1 (程度更小) Ⅳ. 1 的放缩(3): 12 ? 2 ? 2( ? ) 2 k 4k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k

Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f ( x) ?

x ( x ? 0) ,从而实现利用函数单调性质的放缩: 1? x

f ( a ?b ) ? f ( a ? b ) 。
一. 先求和再放缩 例 1. a n ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,求证: sn ? 1 n ? (n ? 1)

例 2. an ? ( )

1 3

n

, 前 n 项和为 Sn ,求证: sn ?

1 2

1/6

二. 先放缩再求和 (一)放缩后裂项相消

例 3.数列

{an } ,

an ? (?1) n ?1

1 2 s2 n ? n ,其前 n 项和为 s n ,求证: 2

(二)放缩后转化为等比数列。 例 4.

{bn } 满足: b1 ? 1, bn?1 ? bn2 ? (n ? 2)bn ? 3

(1) 用数学归纳法证明:

bn ? n

Tn ?
(2)

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? Tn ? 3 ? b1 3 ? b2 3 ? b3 3 ? bn ,求证: 2

三、裂项放缩 例 5.(1)求 ?
k ?1 n

2 4k ? 1
2

的值;

n (2)求证: ? 1 ? 5 . 2 k ?1

k

3

例 6.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2

3 5 1 1 (2)求证: ? ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 4 16 36 4n 2 2 4n
2 3

1 7 1 ? ? (n ? 2) 2 6 2 ( 2 n ? 1) (2n ? 1)

(3)求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
n

2/6

例 7.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 8.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n
2

四、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例 9. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 和
3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 也可以表示成为 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 2n ? 1
1 2n ? 1

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)

1 1 1 例 10.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

3/6

五、均值不等式放缩 例 11.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ?S
2

n

?

(n ? 1) 2 . 2

例 12.已知函数 f ( x) ? 求证: f (1) ?

1 1 ,a>0,b>0,若 4 ,且 f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 , f (1) ? bx 2 1? a ? 2 5
1 1 ? . 2 n ?1 2

f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

六、二项式放缩
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)
3 8 . (n ? 1)(n ? 2)

例 13.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?

例 14.

an ? 2 ? 3n ,

试证明:.

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1 ? an 4

4/6

七、部分放缩(尾式放缩) 例 15.求证: 1 ?
3 ?1

1 1 4 ??? ? 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7

例 16. 设 a

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. n 2a 3

八、函数放缩 例 17.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3

6

? ? ? 2 例 18.求证: ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2

3

n

2(n ? 1)

例 19. 求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2

n

5/6

九、借助数列递推关系 例 20. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

例 21.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 2 ? 1

十、分类放缩 例 22.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 n ? 2n ?1 2

6/6


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