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浙江省一级重点中学(六校)2013届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案


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2013 年浙江省六校联考 数学(理)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 P ? { y | y ? k , k ? R }, Q ? { y | y ? a ? 1, a ? 0 且 a ? 1, x ? R } ,若集合 P ? Q 只有
x

一个子集,则 k 的取值范围是( A. ( ?? ,1 ) B. ( ?? ,1 ]
1 ? 2i a ? bi

▲ ) C. (1, ?? ) ▲ )
1 2 ,b ? 3 2

D. [1, ?? )

2.设 a , b 为实数,若复数 A. a ?
3 2 ,b ? 1 2

? 1 ? i ,则(

B. a ? 3, b ? 1

C. a ?

D. a ? 1, b ? 3

3. 设 m , n 是空间两条不同直线; ? , ? 是空间两个不同平面;则下列选项中不正确的是 ... ( ▲ ) A.当 n ? ? 时, n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 “ B.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 “ C.当 m ? ? 时, n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 “ D.当 m ? ? 时, n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 “ 4. 阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( ▲ ) A.
1 2

B.

3 2

C. ?

3

D. 3

开始

s= 0,n= 1 n≤2013? 是 n? s = s + sin 3 n = n+1
第 4 题图


输出s 结束 第 5 题图

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5 . 函 数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?
?
6

?
2

) 的部分图象如上图所示,则将

y ? f ( x ) 的图象向右平移

个单位后,得到的图象解析式为
?
6 2? 3

( ▲ )

A. y ? sin 2 x
? 6.在 ? ? ? 1 ? x ? ? ? 3 x ?
24

B. y ? sin( 2 x ?

)

C. y ? sin( 2 x ?

)

D. y ? cos 2 x

的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有( ▲ ) B .4 项 C. 5 项 D. 6 项 )

A. 3 项

7.已知数列 { a n } 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 ? a 6 ? ? 8 ,则 a 1 ? a 10 的值为( ▲ A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7

?x ? 1 ? 8.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值为 1, ?ax ? by ? c ? 0 ?

[ 其中 b ? 0 , 则 A. 4
?
6

c b

的值为 ( ▲ B.3
?
4

) C.2
?
3

D.1 ▲ )
?
2

uuu r uuu r uur 9.在△ ABC 中, A B ? 3 A C ) ? C B , 则角 A 的最大值为( (

A.

B.

C.

D.

10. 一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体, 若正方体可以在纸盒内任意转动, 则正 方体棱长的最大值为( ▲ ) A.2 B. 3 C.1 D. 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的 数据,则这个几何体的体积为 _ ▲ .
1 正视图 2 2 侧视图

3

12.若不等式

1 a ?b

?

1 b ? c

?

?
c ? a

>0 对于满足条件

a > b > c 的实数 a 、 b 、 c 恒成立,则实数 ? 的 取值范围是 ▲ . 俯视图 13. 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位。现 在安排甲、乙 2 人就座,规定前排 中间的 3 个座位不能坐,并且甲、乙不能左右相邻,则一共有不同安排方法多少种? ▲ (用数字作答).

14. 已知直线 y

? k (x ? m)

与抛物线 y 2

? 2 px( p ? 0)

交于 A , B 两点, O A 且

? OB

, O 又D

? A B

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于 D , 若动点 D 的坐标满足方程 x 2

? y

2

? 4x ? 0

,则 m

?





15.在 Rt ? ABC 中, AC ? 2 , BC ? 2 ,已知点 P 是 ? ABC 内一点,则 PC ? ( PA ? PB ) 的最小值是 16.函数 ▲ .
3 cos x ?
2

f ( x ) ? s in 2 x ? 2

3

,函数 g ( x )

? m cos(2 x ?

?
6

) ? 2m ? 3 (m ? 0)

,若存在

x1 , x 2 ? [ 0 ,

?
4

] ,使得 f ( x 1 ) ? g ( x 2 )

成立,则实数 m 的取值范围是 _ ▲

.

17 . 袋 中 装 有 大 小 、 形 状 完 全 相 同 的 m 个 红 球 和 n 个 白 球 , 其 中 m , n 满 足 :
m ? n ? 1且 m ? n ? 1 5 ,

m,n ? N . 已知从袋中任取 2 个球,取出的 2 个球是同色的
*

概率等于取出的 2 个球是异色的概率.现从袋中任取 2 个球,设取到红球的个数为ξ , 则ξ 的期望 E ? = ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在 ? ABC 中,内角 A , B , C 所对边的边长分别是 a , b , c ,已知 C ? (Ⅰ)若 a ? 2 , b ? 3 , 求 ? ABC 的外接圆的面积; (Ⅱ)若 c ? 2 , sin C ? sin( B ? A ) ? 2 sin 2 A ,求 ? ABC 的面积.
?
3

.

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 1 ?
( ? ) 若数列 ?a n ? 为等比数列,求 t 的值; ( ? ? ) 若 t ? ? 4 , b n ? lg a n ? 1 ,数列 { b n } 前 n 项和为 T n ,当 且 仅 当 n = 6 时 T n 取最小值,求实

1 4

, a n ?1 ? S n ?

t 16

( n ? N , t为 常 数 )
*

.

数 t 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 如图:在直三棱柱 A B C
? A1 B 1 C 1

中, A B

? AC ? 1 , ? BAC ? 90

?



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(Ⅰ) 若异面直线 A1 B 与 B 1 C 1 所成的角为 6 0 ? , 求棱柱的高 h ; (Ⅱ)设 D 是 B B 1 的中点, D C 1 与平面 A1 B C 1 所成的角为 ? , 当棱柱的高 h 变化时,求 s in ? 的最大值.

21.(本题满分 15 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

1 2

;直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) , B ( 0 , 2 ) ,且与

椭圆 C 相切于点 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A ( 4 , 0 ) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得
36 AP
2

? 35 AM ? AN

? 若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知函数

f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

1 2

x

2

? bx

(b 为常数) .

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象在点( 1, f (1 ) )处的切线与函数 g ( x ) 的图象相切,求实数 b 的值; (Ⅱ) h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) , 设 若函数 h ( x ) 在定义域上存在单调减区间, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 b
? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x 2

,都有

| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) | 成立,求 b

的取值范围.

2013 年 浙 江 省 六 校 联 考 数学(理)答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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选项

B

A

C

D

B

C

D

A

A

D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)
(8 ? ? ) 6 3

11.

; 12. (-∞,4) ; 13.
2 3

346 ;



14.

4



15.

?1



16.

[

, 2]



17.

4 3

三、解答题(共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理 : 2 2 2 c ? a ? b ? 2 ab cos C 得c ? 由2R ?
7

,令 ? ABC 的外接圆的半径为 R
c

,得 R ?

21 3


7? 3

sin C

所以 ? ABC 的外接圆的面积为 S ?

????????6 分

(Ⅱ)由题意: sin( B ? A ) ? sin( B ? A ) ? 4 sin A cos A 即 sin B cos A ? 2 sin A cos A
1 :当 cos A ? 0 时, A ?
?

?
2

,B ?

?
6

;b ?

2 3

3

;

此时 S ? ABC ?
?

1 2

bc ?

2 3

3

????????8 分

2 :当 cos A ? 0 时,则 sin B ? 2 sin A

由正弦定理得 b ? 2 a ,又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos C ? a 2 ? b 2 ? ab ? 4 解得 a ?
2 3 3 ,b ? 4 3 3

,此时 S ? ABC ?
2 3 3

1 2

ab sin C ?

2 3

3



综上可知: ? ABC 的面积为

????????14 分

19 . (本题满分 14 分) 解:( ? ) ? a n ? 1 ? S n ?
t 16 ....(1); a n ? S n ? 1 ? t 16 ....( 2 )

(1) ? ( 2 ) 得 : a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 2 ) ???2 分

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a 2 ? S1 ? 4?t 4
( ??) a 2 ?

t 16

?

4?t 16

,? 数列 ?a n ? 为等比数列, ?

a2 a1

? 2 ?.. 4 分

? 2 ,? t ? 4 4?t 16

?.. 6 分
4?t 16 ?2
n ?1

, a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 1) ? a n ? 1 ?

( n ? N ) ??.8 分
*

? a 2 , a 3 , a 4 ? ? ? a n ?1 ?

成等比数列, b n = l g a n ? 1 ,? 数 列 { b n } 是 等 差 数 列 ?? 10分

数列 { b n } 前 n 项和为 T n , 当 且 仅 当 n = 6 时 T n 取最小值, ? b 6 ? 0 且 b 7 ? 0 可得 0 ? a 7 ? 1且 a 8 ? 1 , ??12 分
7 2

解得 t的范围是

:?

15 4

? t ? ?

?? 14 分

20. (本题满分 14 分) 解法 1: (Ⅰ)由三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 是直三棱柱可知, AA 1 即为高, 如图 1,因为 BC // B 1 C 1 ,所以 ? A 1 BC 是异面直线 A 1 B 与 B 1 C 1 所成的角或其补角, 连接 A1 C ,因为 A B
? AC

,所以 A1 B

? A1C ?

1 ? A A1
?

2

.
?
?

在 Rt△ A B C 中,由 A B

? AC ? 1 , ? BAC ? 90

,可得 B C
? 60

2

.

3分

又异面直线 A1 B 与 B 1 C 1 所成的角为 6 0 ? ,所以 ? A1 B C 于是 A1 B
? B1C 1 ? 2

,即△ A1 B C 为正三角形.

.
1 ? A A1 ? A1 B ?
2

在 Rt△ A1 A B 中,由 (Ⅱ)设 A A1 由 A1 C 1 而 A1 C 1
? h (h ? 0) ?

2

,得 A A1

?1

,即棱柱的高为 1 .
? A1 B

6分

,如图 1,过点 D 在平面 A1 B 1 B A 内作 D F
?

于 F,则

平面 B A A1 B 1 , D F

平面 B A A1 B 1 ,得 A1 C 1 平面 A1 B C 1 .

? DF

. 9分

? A1 B ? A1 ,所以 D F ?

故 ? D C 1 F 就是 D C 1 与平面 A1 B C 1 所成的角,即 ? D C 1 F 在 R t △ D F B 中,由 B D
? h 2

??

.

,得 D F
h 2

? 2

h h
2
2


?1

在 R t △ D B 1 C 1 中,由 B 1 D

?

, B1C 1
h

?

,得 D C 1

?

1 2

h ?8
2



在 R t △ D F C 1 中, s in ?

?

DF D C1

?

2 1 2

h h

2

?1 ? 8

? h
4

h ? 9h
2

2

? 8

.

12 分

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f (h) ?
4

h h ? 9h ? 8
2

? h ?
2

1 8 h
2


? 9

(Ⅰ)因为异面直线 即
2 ? 1 a
2

????? ???? | B 1 C 1 ? A1 B | ???? A1 B 与 B 1 C 1 所成的角 6 0 ,所以 c o s 6 0 ? ????? | B 1 C 1 | ? | A1 B |
?
?

,? 4 分

? ?1

1 2

,得

1? h

2

?

2

,解得 h
h 2 )

? 1.
????? h 2

???? 6 分
? ( ? 1,1, )

(Ⅱ)由 D 是 B B 1 的中点,得 D (1, 0 , 设平面
???? ? n ? A B ? 0, ? 1 ????? ? ? n ? A1 C 1 ? 0 , ?

,于是 D C 1

. ,可得

???? A1 B C 1 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,于是由 n ? A1 B

????? , n ? A1 C 1

? y ? 0, ????? 于是 s in ? ? | c o s ? D C 1 , n ? | .

即?

? x ? hz ? 0,

可取 n

? ( h , 0 , 1)



???? 8 分

????? 而 | c o s ? D C 1 , n ? |?

????? | D C1 ? n | ????? ? | D C1 | ? | n |

| ?h ?
2

h 2

| ? h
2

h h
4

h

?1?

1 4

? 2

? 9h

2

? 8

.?? 12 分



f (h) ?
4

h h ? 9h ? 8
2

? h ?
2

1 8 h
2


? 9

因为 h 2 所以

?

8 h
2

?9 ? 2 8 ?9
1 9 ? 2 8

,当且仅当 h 2
1 8 ?1 ? 2 2 ?1 7

?

8 h
2

,即 h

?

4

8

时,等号成立.

f (h) ?

?



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故当 h

?

4

8

时, s in ? 的最大值

2

2 ?1 7

.

??? 14 分

21.(本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由题得过两点 A ( 4 , 0 ) , B ( 0 , 2 ) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .???? 1 分 因为
c a ? 1 2
x
2 2

,所以 a ? 2 c , b ?
y
2 2

3c .

设椭圆方程为

?

?1,

4c

3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 2 由? x2 消去 x 得, 4 y ? 1 2 y ? 1 2 ? 3 c ? 0 . y ? ? 1, ? 2 2 3c ? 4c
2 又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 1 2 ? 4 ? 4 (1 2 ? 3 c ) ? 0 ,解得 c ? 1 .
2 2

所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

?????????????????? 5 分

4

3

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4 ) ,???????? 6 分
? y ? k ( x ? 4 ), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 消去 y ,整理得 (3 ? 4 k ) x ? 3 2 k x ? 6 4 k ? 1 2 ? 0 .???? 7 分 ? ? 1, ? 3 ? 4

由题意知 ? ? (3 2 k ) ? 4 (3 ? 4 k )( 6 4 k ? 1 2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

解得 ?

1 2

? k ?

1 2

.

???????????????????????? 8 分
32k
2 2

设 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?
2

3 ? 4k y
2

, x1 x 2 ?

64k

2

? 12
2

3 ? 4k

.

?? 9 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x

?

? 1 相切,

4

3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由? x2 y2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) . ???????????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4

则 AP

2

?

45 4

. 所以 A M ? A N ?
( 4 ? x1 ) ? y 1 ?
2 2

36 35

?

45 4

?
2

81 7

.
2

又 AM ? AN ?

(4 ? x2 ) ? y2

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?

( 4 ? x1 ) ? k ( 4 ? x1 ) ?
2 2 2
2

(4 ? x2 ) ? k (4 ? x2 )
2 2
2

2

? (k

? 1) ( 4 ? x 1 ) ( 4 ? x 2 ) ? ( k
2

? 1) ( x 1 x 2 ? 4 ( x 1 ? x 2 ) ? 1 6 )
2 2

? (k

2

? 1)(

64k

? 12
2

3 ? 4k

? 4?

32k

3 ? 4k

? 16)

? (k

2

? 1)

36 3 ? 4k
81 7
2

.

所以 ( k ? 1)
2

36 3 ? 4k
2

?

,解得 k ? ?

2 4

.经检验成立.

所以直线 m 的方程为 y ? ? 22. (本小题满分 15 分)

2 4

(x ? 4) .

?????????????? 15 分

解: (Ⅰ)因为

f ( x ) ? ln x f (x)

,所以

f '(x) ?

1 x

,因此

f ' (1 ) ? 1 , ? x ?1

所以函数

的图象在点( 1, 得x2

f (1 )

)处的切线方程为 y ,

,????2 分

? y ? x ? 1, ? 由? 1 2 x ? bx , ?y ? 2 ?

? 2 ( b ? 1) x ? 2 ? 0

由?

? 4 ( b ? 1)

2

?8 ? 0

,得 b

? ?1 ?

2

????????4 分 ,

(Ⅱ)因为 h ( x ) ? 所以 h ' ( x )
?

f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ?
1 x x
2

1 2

x

2

? bx ( x ? 0 )

? x?b ?

? bx ? 1 x



由题意知 h ' ( x ) ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上有解, 因为 x
? 0

,设 u ( x )

? x

2

? bx ? 1 ,因为 u ( 0 ) ? 1 ? 0



?b ? ? 0, 则只要 ? 2 ?(?b)2 ? 4 ? 0 ?

,解得 b

? 2



所以 b 的取值范围是 ( 2 , ?? ) ??????8 分 (Ⅲ)不妨设 x1 因为函数
? x2

, 在区间[1,2]上是增函数,所以
? b
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

f ( x ) ? ln x



函数 g ( x ) 图象的对称轴为 x

,且 b

?1。

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(i)当 b 所以 | 即

? 2

时,函数 g ( x ) 在区间[1,2]上是减函数,所以 g ( x1 ) ?

g ( x2 )



f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) | 等价于 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? g ( x 2 ) ? g ( x 1 ) , f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? g ( x 2 )


1 2 x
2

等价于 h ( x )

? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? 1 x

? bx

在区间[1,2]上是增函数,

等价于 h ' ( x ) ? 等价于 b 所以 b (ii)当 1 ?
? x?

? x?b ? 0

在区间[1,2]上恒成立,

1 x

在区间[1,2]上恒成立,
? 2

? 2

,又 b

,所以 b

? 2

。????????12 分

b ? 2

时,函数 g ( x ) 在区间[1, b]上是减函数,在 [b , 2 ] 上为增函数。 时, 等 价 于
f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? g ( x 2 )

① 当1 ?

x 2 ? x1 ? b

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? | g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |



等价于 h ( x )

? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? 1 x

1 2

x

2

? bx

在区间[1,b]上是增函数, 在区间[1,b]上恒成立,
? 2

等价于 h ' ( x ) ? 等价于 b
? x?

? x?b ? 0

1 x

在区间[1,b]上恒成立,所以 b

,又 1 ?

b ? 2

,所以 1 ?

b ? 2

② 当 b ? x 2 ? x 1 ? 2 时,
| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) | 等价于 f ( x 1 ) ? g ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? g ( x 2 )



等价于 H ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? 等价于 H '( x ) ? 等价于 b ? x ?
1 x 1 x

1 2

x ? b x 在区间[b,2]上是增函数,
2

? x ? b ? 0 在区间[b,2]上恒成立, 3 2

在区间[b,2]上恒成立,所以 b ?

,故

3 2

? b ? 2,

③ 当 1 ? x 2 ? b ? x 1 ? 2 时,由 g ? x ? 图像的对称性知, 只要 |
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) | 对于①②同时成立,

对于③, 存在 t1 ? ?1, b ? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ? | f ( t1 ) ? f ( x 2 ) | ? g ? t1 ? ? g ? x 2 ? = g ? x1 ? ? g ? x 2 ? 恒成立; 或存在 t 2 ? ? b , 2 ? ,
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使 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ? | f ( x1 ) ? f ( t 2 ) | ? g ? x1 ? ? g ? t 2 ? = g ? x1 ? ? g ? x 2 ? 恒成立, 因此当
3 2 ? b ? 2 时,对于③ 成立
3 2 ? b ? 2 ??????????15 分

综上,b 的取值范围是

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